八年级数学上册人教版 13.3.2等边三角形的判定 试题（含答案）

13.3.2等边三角形的判定
一．选择题
1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
2．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
3．若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　）
A．4 B．30 C．18 D．12
5．在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（　　）
A．点E在AB的垂直平分线上
B．点E到AB、BC、AC的距离相等
C．点E是AD的中点
D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C
6．如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
8．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD BC
10．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．有一角为60°的等腰三角形是　 　．
12．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　 　（填序号）．
13．在△ABC中,AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是 　（只要写出一个即可）．
14．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　 　三角形．
15．如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝　 　时，△AOP为等边三角形．
16．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　．
17．在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是　 　．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是　 　．（填写序号）
三．解答题
19．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．
（1）求：∠E的度数；
（2）求证：△ABC为等边三角形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．
求证：（1）∠B＝∠C；
（2）△ABC是等边三角形．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．
24.在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，
（1）求证：∠B＝∠DEF；
（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．
答案
一．选择题
D．D．B．D．C．B．C．A．D．D．
二．填空题
11．等边三角形．
12．①②③④．
13．∠A＝60°．
14．等边．
15．a．
16．2．
17．①②③④．
18．①②．
三．解答题
19．（1）在△ABC中，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵CE＝CD，BD＝DE，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠DBE，
∵∠DCB是△DCE的外角，
∴∠DCB＝∠E+∠CDE，
设∠E＝x°，则∠DBE＝∠E＝∠CDE＝x°，
∴∠DCB＝∠E+∠CDE＝2x°，
在△BCD中，
∵∠BDC+∠DCB+∠DBC＝180°，
即：90°+2x°+x°＝180°，
∴x＝30，
故∠E＝30°；
（2）由（1）得，∠DCB＝2∠E＝60°，
∵BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
20．（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴∠A＝∠C，
由（1）知，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
22．（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
23．△BPQ是等边三角形，
当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，
∴BQ＝BP，
又∵∠B＝60°，
∴△BPQ是等边三角形．
24.解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE与△ECF中，
∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，
∴△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°
∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB
∵∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°
∴∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB
∴∠B＝∠DEF．
（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由如下
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
即∠DEF＝60°，
∵△DBE≌△ECF
∴ED＝EF，
∵ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．