八年级数学上册人教版 13.3.2等边三角形的性质 试题（含答案）

13.3.2等边三角形的性质
一．选择题
1．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BE，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．60° B．40° C．30° D．20°
2．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠BAD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．18° D．20°
3．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
4．如图，等腰△ABC底边BC上的高AD等于腰AB长度的一半，则它的顶角∠BAC的度数为（　　）
A．60° B．90° C．100° D．120°
5．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　）
A．4 B．30 C．18 D．12
6．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝38°，则∠β等于（　　）
A．22° B．17° C．27° D．32°
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．120° C．270° D．360°
8．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
9．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　）
A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m
10．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大后变小
二．填空题
11．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝75°，则∠B的度数为 　 　．
12．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为　 　cm．
13．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝　 　度，∠B＝　 　度，∠BAC＝　 　度．
14．如图，AB∥ED，BC∥EF，DE＝DF，∠EDF＝70°，则∠B的度数是　 　．
15．如图，AB＝AC，AD∥BC，∠DAC＝50°，则∠B的度数是　 　．
16．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　 　三角形．
17．如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝　 　时，△AOP为等边三角形．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC　 　度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝　 　．（用含α的式子表示）
三．解答题
19．如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．
21．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
22．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
23．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，
（1）求证：DB＝DE．
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．
24．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
一．选择题
D．C．D．D．D．A．B．A．B．A．
二．填空题
11．30°．
12．18．
13．60、30、120．
14．55°．
15．50°．
16．等边．
17．a．
18．25；α﹣90°．
三．解答题
19．证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠DBC＝∠CED，
∴BD＝DE．
20．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．
21．（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
22．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）；
（2）∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝8，
∵AD＝CD，
∴AC＝16，
∴△ABC的周长＝3AC＝48．
24．（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．