高中数学高二（下）期末数学试卷（理科）（含答案）

高二（下）期末数学试卷（理科）
一．选择题（共12小题）
1．若＞，则下列说法错误的是（　　）
A．|a|＞|b| B．0＜＜1 C． D．＞
2．不等式|x+log2x|＜|x|+|log2x|的解集是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）
3．已知随机变量X的分布列满足：P（X＝n）＝an（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上，若直线l与曲线C交于A、B两点，则|FA| |FB|的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
5．某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果量示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　）
A．180 B．240 C．360 D．480
6．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin3x变为曲线y＝sinx的伸缩变换是（　　）
A． B．
C． D．
7．具有相关关系的两个量x，y的一组数据如表，回归方程是＝0.67x+54.9，则m＝（　　）
x 10 20 30 40 50
y 62 m 75 81 89
A．65 B．67 C．68 D．70
8．已知随机变量X的分布列如下，E（X）＝7.5，则ab的值是（　　）
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
A．1.8 B．2.4 C．2.8 D．3.6
9．在极坐标系中，圆心在（1，π）且过极点的圆的方程为（　　）
A．ρ＝2cosθ B．ρ＝﹣2cosθ C．ρ＝2sinθ D．ρ＝﹣2sinθ
10．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解为（　　）
A．x≤﹣2或x≥2 B．x≤﹣1或x≥2 C．x≤﹣2或x≥3 D．x≤﹣3或x≥2
11．在极坐标系中，已知A（1，），B（2，）两点，则|AB|＝（　　）
A． B． C．1 D．
12．若X是一个随机变量，则E（X﹣E（X））的值为（　　）
A．无法求 B．0 C．E（X） D．2E（X）
二．填空题（共4小题）
13．设n为正整数，则不等式|﹣5|＜0.001的解集是　 　．
14．将参数方程（t为参数），转化成普通方程为　 　
15．在极坐标系中，曲线和曲线ρ＝4cosθ+2sinθ交于A，B两点，则|AB|＝　 　．
16．已知a，b∈R，且满足2ab﹣4a+3b﹣8＝0，则a2+2b2+3a﹣8b的最小值是　 　．
三．解答题（共6小题）
17．在直角坐标系xOy中，曲线C1：＝1，曲线C2：（φ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）已知射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（异于原点O），当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．
18．为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如表1：
表1
愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计
男性 100 300
女性 400
总计 400
其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20～60分钟之间，由于堵车、红绿灯等因素，每次的用车时间t（分钟）是一个随机变量，张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如表2：
表2
时间t（分钟） （20，30] （30，40] （40，50] （50，60]
频数 20 40 30 10
（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；
（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；
（3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算？
附：K2＝．
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．设X是离散型随机变量，它的可能取值为1，2，3，4，5，且X取各个值的概率与该值成反比，试求X的分布列．
20．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|，g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） x1∈R， x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．
21．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x 2 3 5 6
y 30 40 50 60
（1）求线性回归方程；
（2）试预测广告费支出为9万元时，销售额多大？
（参考公式：，）
22．为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45]
等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．
质量指标值 频数
[15，20） 2
[20，25） 18
[25，30） 48
[30，35） 14
[35，40） 16
[40，45] 2
合计 100
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．
高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．D．
2．A．
3．B．
4．D．
5．C．
6．B．
7．C．
8．C．
9．B．
10．D．
11．B．
12．B．
二．填空题（共4小题）
13．{x|n＞4999，n∈Z+}．
14．．
15．．
16．2﹣．
三．解答题（共6小题）
17．解：（1）因为，
所以曲线C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1，
由，得曲线C2的极坐标方程ρ＝2sinθ，
对于曲线，，
则曲线C1的极坐标方程为．
（2）由（1）得，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，
，
因为，
则，
故|OA|2+|OB|2的取值范围是（2，）．
18．解：（1）补填表中数据，如图所示；
愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计
男性 100 200 300
女性 300 400 700
总计 400 600 1000
计算K2＝＝≈7.937＞7.879，
所以有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；
（2）根据表2中的数据，计算得
25×+35×+45×+55×＝38，
估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间为38分钟；
（3）计算张先生租用该款汽车平均费用为
（25×0.15+15）×0.2+（30×0.15+5×0.20+15）×0.4+（30×0.15+15×0.2+15）×0.3+（30×0.15+25×0.2+15）×0.1＝21.15（元）；
使用滴滴打车上班需要车费27元，
所以张先生上班租用该款汽车更合算．
19．解：X是离散型随机变量，它的可能取值为1，2，3，4，5，
∵X取各个值的概率与该值成反比，
∴P（X＝k）＝，k＝1，2，3，4，5，
∴＝a＝1，
解得，
∴P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，
P（X＝4）＝，P（X＝5）＝．
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
20．解：（Ⅰ）原不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞6}；
（Ⅱ）∵|x﹣a|﹣|x+a|≥﹣2|a|，
由（Ⅰ）知f（x）≥f（）＝﹣，
故﹣2|a|≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，
故实数a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
21．解：（1）所求线性回归直线方程为；
（2）由（1）可得，当x＝9时，，
∴可预测广告费支出为9万元时，销售额为80万元．
22．解：（Ⅰ）由（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5＝1，
解得a＝0.008，
所以甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5＝0.14，
即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是0.14；
（Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为＝，
二等品的概率为＝，三等品的概率为＝，
由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；
且P（X＝120）＝×＝，P（X＝150）＝××＝，P（X＝180）＝××+×＝，
P（X＝210）＝××＝，P（X＝240）＝×＝，
∴随机变量X的分布列为：
X 120 150 180 210 240
P
所以X的数学期望为E（X）＝120×+150×+180×+210×+240×＝200；
（Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；
①以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，
由图表可知，甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，
所以认为乙企业的食品生产质量更高．
②以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．
③以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4，
乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，
所以乙企业的食品生产质量更高．
④根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．