泉州六中2022-2023学年下学期高二年级数学科期中模块测试
一、单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
1.某校有1500人参加一次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），
试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩
不及格（90分以下）的人数约为（ ）
A．240 B．300 C．400 D．500
2.与直线2x-y+4=0平行的曲线y=2x2的切线方程是( )
A.4x-2y+3=0 B.4x-2y-3=0 C. 4x-2y+1=0 D.4x-2y-1=0
3．随机变量X的分布列如下，且，则（ ）
X ﹣1 0 1
P a b
A．，D（X）＝1 B．，D（X）＝1
C．， D．，
4.函数大致的图象是( )
5.已知函数在R上单调递增,则实数m的取值范围为( )
A. (-∞,-2) B. (-4,- 3) C. (-2,4) D. [2,4]
6. 某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有( )
A.444种 B.1 440种 C.1 560种 D.1 776种
7．产品质量检验按过程，主要包括进货检验（IQC），生产过程检验（IPQC），出货检验（OQC）．已知某产
IQC单独通过率为，IPQC单独通过率为p（0＜p＜1），规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通
可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立．
该产品能进入OQC的概率为，则p＝（ ）
A． B． C． D．
8．设函数f（x）的导函数为，将方程的实数根称为函数f（x）的“新驻点”.记函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数
C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点
10. 关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式所有的系数和为-1 B．展开式二项式的系数和为64
C．展开式中不含项 D．常数项为240
11．设某车间的A类零件的质量m（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），且P（m＞10.1）＝0.2．（ ）
A．若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25
B．若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4
C．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg 10.1kg的个数的期望为60
D．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg 10.1kg的个数的方差为24
12．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换
放入另一口袋，重复n（n∈N*）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有
1个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．数列{2pn+qn﹣1}是等比数列
C．Xn的数学期望（n∈N*）
D．数列{pn}的通项公式为（n∈N*）
三、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13. 计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，佛手银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种．
14. 若的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含项的系数为______.
15.已知函数满足,则实数a的取值范围是________.
16．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，
则不合格．新兵A参加射击能力检测，他每次射击相互独立，且击中的概率均为p（0＜p＜1），若当p＝p0时
他至少射击4次合格通过的概率最大，则p0＝ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程
17．已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求在上的最值．
18．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）＝0.99．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（2）若该批产品共100件，从中无放回地一次性任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的数学期望．
19．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
（1）求μ与σ；
（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）．从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E（4X+3）；
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，0.99734≈0.99．
20．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
21．为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
（1）若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p（0＜p＜1）．记小李3：1取胜的概率为f（p）．
①若当p＝p0时，f（p）取最大值，求p0的值；
②若以①中的p0作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及期望．
22．若.
(1)当，时，讨论函数的单调性；
(2)若，且有两个极值点，，证明：.泉州六中2022-2023学年下学期高二年级数学科期中模块测试
一、二、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C C D D C A BD BCD ACD BC
三、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13、240
14、18
15、
16、1
四、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明，证明过程
或演算
17．已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求在上的最值．
【解析】
(1)，，
又，
在处的切线方程为，即
(2)，
令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
又，
，
故在上的最大值为2，最小值为-25.
18．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）＝0.99．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（2）若该批产品共100件，从中无放回地一次性任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的数学期望．
【解析】解：设从该批产品中任取1件是二等品的概率为p，
因为取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）＝0.99，
可得1﹣p2＝0.99，解得p＝0.1，
所以从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.1．
（2）解：因为该批产品共100件，所以二等品有100×0.1＝10（件），
显然X的可能取值为0，1，2，
可得，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以随机变量X的数学期望．
19．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
（1）求μ与σ；
（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）．
（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E（4X+3）；
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，0.99734≈0.99．
【解析】
解：（1），，则σ＝6．
（2）∵Z服从正态分布N（105，36），
∴，
则X～B（5，0.00135），
∴E（4X+3）＝4E（X）+3＝4×5×0.00135+3＝3.027．
20．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
【解析】
(1)解：由题意，函数，可得，
当时，恒成立，此时在上是增函数，
当时，令，解得，
令，可得或 ；
令，可得，
所以在和上是增函数， 在上是减函数.
(2)解：由（1）知，当时，在区间单调递增，
又由，即，
结合零点的存在定理，可得与轴有且只有一个公共点，即题设成立；
当时，在处达到极大值，在处达到极小值，
则曲线与轴有且只有一个公共点，等价于或，
即或，
即或，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
21．为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
（1）若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p（0＜p＜1）．记小李3：1取胜的概率为f（p）．
①若当p＝p0时，f（p）取最大值，求p0的值；
②若以①中的p0作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及期望．
【解析】
解：（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
f′（p）＝3[3p2（1﹣p）+p3×（﹣1）]＝3p2（3﹣4p），
令f′（p）＝0，得，
当时，f′（p）＞0，f（p）在上单调递增，
当时，f′（p）＜0，f（p）在上单调递减，
所以f（p）的最大值点；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望为．
22．若.
(1)当，时，讨论函数的单调性；
(2)若，且有两个极值点，，证明：.
【解析】
（1）由题设可得，讨论、、，研究的符号，进而可得的单调性.
（2）由题设有，根据已知条件有两个正根，，应用判别式求a范围，结合韦达定理有，进而可得，构造中间函数并应用导数研究单调性，即可证结论.
(1)
因为
当，时，，
令，解得或2，
当时，若或时，若时，
即在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
当时，若或时，若时，
即在，上单调递增，在上单调递减；
(2)
当时，，
由函数有两个极值点，即有两个正根，，则且，解得，
由题意得：，
令，，则，即在上单调递减，
所以，即
