第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．计算[(－)2]－的结果是( )
A. B．－
C． D．－
[答案] C
[解析] [(－)2] －＝[()2] －＝()－1＝.
2．下列运算正确的是( )
A．a·a2＝a2 B．(ab)3＝ab3
C．(a2)3＝a6 D．a10÷a2＝a5
[答案] C
[解析] a·a2＝a3，故A错；(ab)3＝a3b3，故B错；a10÷a2＝a8，故D错，只有C正确．
3．()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
[答案] C
[解析] ()4·()4＝()4·()4＝(a－)4·(a)4＝a4.
4．下列等式＝2a；＝；－3＝中一定成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] ＝6·a≠2a，
＝－≠，
－3＝－.
∴以上等式都不成立，故选A.
5．若m＝(2＋)－1，n＝(2－)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2的值是( )
A．1 B．
C. D．
[答案] D
[解析] ∵m＝(2＋)－1＝2－，
n＝(2－)－1＝2＋.
∴(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＝＝.
6.的值为( )
A．3 B．3
C．3 D．
[答案] A
二、填空题
7．64－的值是__________．
[答案]
[解析] 64－＝(26) －＝2－4＝.
8．()2＋＋＝____________.
[答案] a－1
[解析] 要使此式有意义，需a－1≥0，∴a≥1.
∴原式＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
三、解答题
9．(2013～2014学年度河南开封高一月考)计算：
(1)－()0＋0.25×()－4；
(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3] －＋16－0.75＋(0.01) .
[解析] (1)－()0＋0.25×()－4
＝－4－1＋×()4＝－5＋×4＝－3.
(2)(0.064) －－(－)0＋[(－2)3] －＋16－0.75＋(0.01) ＝[(0.4)3] －－1＋(－2)－4＋(24) －＋[(0.1)2]
＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1
＝－1＋＋＋＝.
一、选择题
1．计算(2a－3b －)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得( )
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
[答案] A
[解析] (2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)
.
2．要使＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，需满足：
，解得2≤a<4或a>4.
3．将化简成不含根号的式子是( )
A．－2 B．－2－
C．－2 D．－2
[答案] A
[解析] ∵－2＝－()3＝－2，
原式＝(－2)＝－2.故选A.
4．若m<0，n>0，则m等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] A
[解析] ∵m<0，∴m＝－，
∴m＝－，故选A.
二、填空题
5．2××的值为__________．
[答案] 6
.
6．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－ (x－x)＝__________.
[答案] －23
[解析] ∵x>0，∴原式＝(2x)2－(3)2－4x＋4＝4x－33－4x＋4＝－27＋4＝－23.
三、解答题
7．将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a＞0)；
8．(2013～2014学年度海安县南莫中学高一期中测试)计算：
＝－1－＋＝－.
(2)∵x＋x－＝3，∴＋＝3，
∴x＋x－1＝x＋＝(＋)2－2＝9－2＝7.
(x－x－)2＝(－)2＝x＋－2＝7－2＝5，
∴x－x－＝±.
9．求下列各式的值：
(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)(0.0081)－－－1×[81－0.25＋(3)－]－－10×0.027.
[解析]
(1)原式＝＋－2＋－－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
第三章 3.1 3.1.2 第1课时
一、选择题
1．若函数y＝(2a－1)x＋a－2为指数函数，则a的值为( )
A．0 B．
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 要使函数y＝(2a－1)x＋a－2为指数函数，应满足 ，解得a＝2.
2．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝ax，∴f(x＋y)＝ax＋y，f(x)·f(y)＝ax·ay＝ax＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
3．(2013～2014学年度福建北斗中学高一期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝( )
A. B．2
C．4 D．
[答案] B
[解析] 本题主要考查指数函数的单调性在求最值中的应用．因为函数y＝ax在R上单调，所以最大值与最小值的和即为a0＋a1＝3，得a＝2，故选B.
4．函数y＝2－x的图象是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵y＝2－x＝()x，∴函数y＝()x是减函数，且过点(0,1)，故选B.
5．(2013～2014学年度人大附中高一月考)已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝4a，则实数a等于( )
A. B．
C．2 D．9
[答案] C
[解析] ∵f(0)＝20＋1＝2，
∴f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.
6．若函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[答案] B
[解析] ∵函数y＝(1－a)x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴0<1－a<1，∴0
二、填空题
7．(2013～2014学年度湖南张家界高一联考)比较大小：2.12014________2.12013.(填“>”或“<”)
[答案] >
[解析] ∵指数函数y＝2.1x，x∈R单调递增，
∴2.12014>2.12013.
8．已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝ax·g(x)(a>0，且a≠1)；②g(x)≠0.若＋＝，则a等于________．
[答案] 2或
[解析] 由f(x)＝ax·g(x)，得＝ax.
∵＋＝，∴a＋a－1＝.
解得a＝2或.
三、解答题
9．(2013～2014学年度广东湛江一中高一上学期期中测试)函数f(x)＝(ax＋a－x)，(a>0且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)若函数f(x)的图象过点(2，)，求f(x)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f(－x)＝(a－x＋ax)＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的图象过点(2，)，
∴＝(a2＋a－2)＝(a2＋)，
整理得9a4－82a2＋9＝0，
∴a2＝或a2＝9.
∴a＝或a＝3.
故f(x)＝(3x＋3－x).
一、选择题
1．下图是指数函数：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )
A．aC．1[答案] B
[解析] 直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
[答案] B
[解析] f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，故选B.
3．函数f(x)＝3x－x－4的零点，所在的大致区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] C
[解析] ∵f(－1)＝3－1－1－4＝－1－4＝－<0，
f(0)＝30－4＝1－4＝－3<0，
f(1)＝3－1－4＝－2<0，
f(2)＝32－2－4＝9－2－4＝3>0，
∴函数f(x)的零点所在的大致区间为(1,2)．
4．定义运算：a*b＝，则函数f(x)＝1*()x的图象为( )
[答案] D
[解析] 由题意，得f(x)＝.
∵x≤0时，f(x)＝1，排除A、C，
又∵x>0时，f(x)＝()x，
∴f(1)＝<1，排除B，故选D.
二、填空题
5．已知a＞b，ab≠0，下列不等式①a2＞b2；②2a＞2b；
③0.2－a＞0.2－b；④()a＜()b中恒成立的有________．
[答案] ②③④
[解析] ①若0＞a＞b，则a2＜b2，故①不正确；
②y＝2x为增函数，∴2a＞2b，②正确；
③y＝0.2x为减函数，∴0.2－a＞0.2－b，③正确；
④y＝()x为减函数，∴()a＜()b，④正确．
6．函数y＝的奇偶性是__________．
[答案] 奇函数
[解析] f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
三、解答题
7．已知a>0且a≠1，y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，问当x取何范围内的值时，①y1＝y2；②y1>y2.
[解析] (1)若y1＝y2，则a3x＋1＝a－2x，
即3x＋1＝－2x，解得x＝－，
因此当x＝－时，y1＝y2.
(2)由y1>y2得a3x＋1>a－2x，
当a>1时，由3x＋1>－2x，得x>－，
当0综上可知：当a>1，x>－时，y1>y2；
0y2.
8．(2013～2014学年度甘肃兰州一中高一期中测试)已知f(x)＝x(＋)(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)>0.
[解析] (1)f(－x)＝－x
＝－x
＝x
＝x
＝x＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
(2)当x>0时，2x－1>0，
∴f(x)＝x>0，
又∵函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴当x≠0时，总有f(x)>0.
9．设a＞0，f(x)＝＋(e＞1)是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明： f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)依题意，对一切x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
∴＋＝＋aex，∴(a－)(ex－)＝0，
∴a－＝0，即a2＝1，又a＞0，∴a＝1.
(2)设任意实数x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴Δx＝x1－x2＜0，
Δy＝f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－＝(ex2－ex1)·(－1)＝e x1 (e x2－x1－1)·，
∵Δx＝x1－x2＜0，∴x2－x1＞0，
又x1＋x2＞0，e＞1，
∴e x2－x1－1＞0,1－e x1＋x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝( )
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
[答案] B
[解析] 解法一：验证排除法：由题意可知0?M∩N，故排除C、D；又1?N，∴1?M∩N，故排除A，故选B.
解法二：M＝{－1,1}，
N＝{x|－12．(2013·山东文)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
[答案] A
[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知，即，即，
∴f(x)定义域为(－3,0]．
3．(2014·江西文，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B．
C．1 D．2
[答案] A
[解析] f(－1)＝2，∴f[f(－1)]＝f(2)＝4a＝1，
∴a＝.
4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵y＝a|x|＝，
又∵a>1，∴当x≥0时，取函数y＝ax(a>1)的图象的y轴右侧部分，再作关于y轴对称的图象，得y＝a－x(x<0)的图象，故选B.
5．函数y＝()1－x的单调增区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
[答案] A
[解析] 令u＝1－x，则y＝()u.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝()1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2 B．
C. D．a2
[答案] B
[解析] ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2， ①
得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2， ②
①＋②，得g(x)＝2，
①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
二、填空题
7．函数y＝定义域是__________，值域为__________．
[答案] [－1,2] [，1]
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]，
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
8．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝____.
[答案] 9
[解析] ∵函数f(x)＝a x2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，
∴10＝a0＋m，∴m＝9.
三、解答题
9．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
[解析] ∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1∴f(x1)－f(x2)<0, f(x1)∴f(x)为增函数，
当0ax2，<0，
∴f(x1)－f(x2)<0, f(x1)∴f(x)为增函数，
综上， f(x)在R上为增函数.
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
[答案] B
[解析] ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，
但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝()|x|虽是偶函数，
但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．
2．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如右图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
[答案] A
[解析] 由f(x)的图象，知03．定义运算：a*b＝，如f(x) ＝2x * 2 - x ( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由题意，得f(x)＝.
当x≤0时，2x≤20＝1，又2x>0，∴0<2x≤1；
当x>0时，2－x＝()x<1，
又()x>0，∴0<()x<1，
∴函数f(x)的值域为(0,1]．
4．(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝()x
[答案] B
[解析] 当f(x)＝3x时，f(x＋y)＝3x＋y，
f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；
当f(x)＝()x时，f(x＋y)＝()x＋y，
f(x)f(y)＝()x·()y＝()x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)f(y)，
又f(x)＝()x为单调递减函数，f(x)＝3x为单调递增函数，故选B.
二、填空题
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
[答案] 19
[解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是______________．
[答案] (－∞，－1)
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈?；
当x＝0时，f(x)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知不等式的解集为(－∞，－1)．
三、解答题
7．(2013～2014学年度广东中山一中高一期中测试)已知函数f(x)＝1－.
(1)求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数；
(3)解不等式f(3m＋1)＋f(2m－3)<0.
[解析] (1)∵3x>0，∴3x＋1≠0，
函数f(x)的定义域为R.
f(x)＝1－＝＝，
∴f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴f(x)是定义在R上的奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝1－－(1－)＝－
＝＝，
∵x1又3x1＋1>0,3x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在其定义域内是增函数．
(3)由f(3m＋1)＋f(2m－3)<0得f(3m＋1)<－f(2m－3)，
∵函数f(x)为奇函数，
∴－f(2m－3)＝f(3－2m)，∴f(3m＋1)由(2)已证得函数f(x)在R上是增函数，
∴f(3m＋1)不等式f(3m＋1)＋f(2m－3)<0的解集为{m|m<}．
8．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
[解析] (1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}．
解法一：设y＝，解得ax＝－ ①
∵ax>0，当且仅当－>0，
即－1∴f(x)的值域为{y|－1解法二： f(x)＝＝1－，
∵ax＋1>1，∴0<<2，
∴－1<1－<1，
∴f(x)的值域为{y|－1(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)且定义域为R，
∴f(x)是奇函数．
(3)解法一： f(x)＝＝1－.(注：此处用到分离常数法)
①当a>1时，∵y＝ax＋1为增函数，且ax＋1>0，
∴y＝为减函数，
从而f(x)＝1－＝为增函数．
②当0∵y＝ax＋1为减函数，且ax＋1>0，
∴y＝为增函数，
从而f(x)＝1－＝为减函数．
解法二：设x1、x2∈R且x1Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝.
＝
当a>1时，y＝ax为增函数，又x2>x1，
∴ax2>ax1，∴2ax2－2ax1>0，
又ax2＋1>0，ax1＋1>0，∴Δy>0，
∴当a>1时， f(x)＝是增函数．
同理，当09．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围．
[解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
∵x10，
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)由于f(x)为减函数，∴t2－2t>k－2t2.
即k<3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－，
∴k<－.
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
一、选择题
1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．0＜a＜且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
[答案] B
[解析] 由对数的性质，得，解得0＜a＜.
2．在下列四个命题中，属于真命题的是( )
①若log2x＝3，则x＝9；
②若log36x＝，则x＝6；
③若logx＝0，则x＝；
④若log3x＝－2，则x＝.
A．①③ B．②④
C．②③ D．③④
[答案] B
[解析] ①中x＝8，排除A；
③中x的值不存在，排除C、D，故选B.
3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] ∵log7[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝8，
∴x－＝8－＝ .
4．如果点P(lga，lgb)关于x轴的对称点为(0，－1)，则( )
A．a＝1，b＝10 B．a＝1，b＝
C．a＝10，b＝1 D．a＝，b＝1
[答案] A
[解析] 点P(lga，lgb)关于x轴的对称点为(lga，－lgb)，
∴，解得.
5．若f(10x)＝x，则f(3)的值为( )
A．log310 B．lg3
C．103 D．310
[答案] B
[解析] ∵f(10x)＝x，令10x＝t，∴x＝lgt，
∴f(t)＝lgt，∴f(3)＝lg3.
6．的值为( )
A．2＋ B．2
C．2＋ D．1＋
[答案] B
二、填空题
7. 的值为________．
[答案] 4
8．设a＝log310，b＝log37，则3a－2b＝________.
[答案]
三、解答题
9．将下列对数式与指数式互化．
(1)2－4＝；
(2)53＝125；
(3)lga＝2；
(4)log0.10.001＝3；
(5)log232＝5.
[解析] (1)log2＝－4.
(2)log5125＝3.
(3)102＝a.
(4)0.13＝0.001.
(5)25＝32.
一、选择题
1．log7(log3x)＝－1，则x的值为( )
A. B．
C．3 D．7
[答案] C
[解析] ∵log7(log3x)＝－1，∴log3x＝7－1＝，
∴x＝3.
2．若f(4x)＝x，则f(2)等于( )
A．42 B．24
C. D．2
[答案] C
[解析] 令4x＝2，则x＝，故选C.
3．下列语句正确的是( )
①对数式logaN＝b与指数式ab＝N(a＞0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表示方法；
②若ab＝N(a＞0，且a≠1)，则alogaN＝N一定成立；
③对数的底数为任意正实数；
④logaab＝b，对于一切a＞0且a≠1恒成立．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] B
[解析] ③错，对数的底数不能为1，排除A、C、D，故选B.
4．若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则等于( )
A．4 B．5
C．3 D．
[答案] B
[解析] ∵log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，
∴log4(log5a)＝1，log3(log5b)＝1，∴log5a＝4，log5b＝3，
∴a＝54，b＝53，∴＝5.
二、填空题
5．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
[答案] －3
[解析] 由对数的性质，得 ，
解得x＝－3.
6．若logx(2＋)＝－1，则x＝________.
[答案] 2－
[解析] ∵logx(2＋)＝－1，∴x－1＝2＋，
∴＝2＋，∴x＝＝2－.
三、解答题
7．求下列各式中的x值：
(1)log2(x2－2)＝0；
(2)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1.
[解析] (1)∵log2(x2－2)＝0，∴x2－2＝1，∴x2＝3，
∴x＝±.
(2)∵log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，
∴，
解得x＝－2.
8．解方程－3lgx＋4＝0.
[解析] 设＝a≥0，则3lgx＝a2＋2，
∴原方程化为a－a2＋2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
∵a≥0，∴a＝2.∴＝2，
∴3lgx－2＝4，∴lgx＝2，x＝100.
经检验知，x＝100是原方程的根．
9．设M＝{0,1}，N＝{11－a，lga,2a，a}，是否存在实数a，使得M∩N＝{1}?
[解析] 若lga＝1，则a＝10，
此时11－a＝1，从而11－a＝lga＝1，此时与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lga无意义；
若a＝1，此时lga＝0，从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lga＝1，与集合元素的互异性相矛盾．
所以，不存在实数a使M∩N＝{1}成立．
第三章 3.2 3.2.1 第2课时
一、选择题
1．lg8＋3lg5＝( )
A．lg16 B．3lg7
C．6 D．3
[答案] D
[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3lg10＝3.
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝3 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
[答案] B
[解析] log26－log23＝log2＝log22＝1，故选B.
3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( )
A．x＝a＋3b－c B．x＝
C．x＝ D．x＝a＋b3－c3
[答案] C
[解析] ∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc
＝lga＋lgb3－lgc5＝lg，
∴x＝.
4．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*时，下列各式不恒成立的是( )
A．logaxn＝nlogax
B．logax＝nloga
C．xlogax＝x
D．logaxn＋logayn＝n(logax＋logay)
[答案] C
[解析] 要使式子xlogax＝x恒成立，
必须logax＝1，即a＝x时恒成立．
5．方程2log3x＝的解是( )
A. B．
C． D．9
[答案] C
[解析] ∵2 log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
6．(2013～2014学年度云南玉溪一中高一期中测试)(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20
＝lg5＋lg20＝lg100＝2.
二、填空题
7．(2013·四川文)lg＋lg的值是________．
[答案] 1
[解析] lg＋lg＝lg(×)＝lg10＝1.
8．log63＝0.6131，log6x＝0.3869，则x＝________.
[答案] 2
[解析] log6x＝0.3869＝1－0.6131＝1－log63
＝log66－log63＝log6＝log62，∴x＝2.
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2).
[解析] (1)原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝(lg2＋lg5)＝.
(2)原式＝＝＝.
一、选择题
1．log(＋1)(3－2)的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] log(＋1)(3－2)＝log(＋1)
＝log(＋1)(＋1)－2＝－2.
2．已知|lga|＝|lgb|，(a＞0，b＞0)，那么( )
A．a＝b B．a＝b或a·b＝1
C．a＝±b D．a·b＝1
[答案] B
[解析] ∵|lga|＝|lgb|；∴lga＝±lgb.
∴lga＝lgb或lga＝lg，∴a＝b或a＝.
3．某企业的年产值每一年比上一年增长p%，经过n年产值翻了一番，则n等于( )
A．2(1＋p%) B．log(1＋p%)2
C．log2(1＋p%) D．log2(1＋p%)2
[答案] B
[解析] 由题意得1·(1＋p%)n＝2，
∴n＝log(1＋p%)2.
4.＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ＝＝＝1.
二、填空题
5．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
[答案] 2＋a
[解析] 2log36＋log30.5＝log336＋log30.5＝log3(36×0.5)＝log318＝log39＋log32＝log332＋log32＝2＋a.
6．方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集是________．
[答案] {－1,2}
[解析] ∵lgx2－lg(x＋2)＝0，
∴，解得x＝－1或x＝2.
∴方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集为{－1,2}．
三、解答题
7．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一期中测试)计算：27－2log23×log2＋2lg(＋)．
[解析] 27－2 log23×log2＋2lg(＋)
＝(33) －3×log22－3＋lg(＋)2＝9＋9＋lg10＝19.
8．(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)设x＝log23，求的值．
[解析] (1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝(aloga2)2·a loga3＝4×3＝12.
(2)＝
＝2x＋2－x
＝2 log23＋(2 log23)－1
＝3＋＝.
9．计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[解析] (1)原式＝log2＋log212－log2
＝log2
＝log2
＝log2＝log22－＝－.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
第三章 3.2 3.2.1 第3课时
一、选择题
1．log52·log425等于( )
A．－1 B．
C．1 D．2
[答案] C
[解析] log52·log425＝·＝·＝1.
2．化简logb－loga的值为( )
A．0 B．1
C．2logab D．－2logab
[答案] A
[解析] logb－loga＝－＝－＋＝0.
3．(2013～2014学年度河北衡水中学高一期中测试)若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为( )
A. B．
C．2 D．1
[答案] B
[解析] ∵xlog34＝1，∴x＝＝log43，
∴4x＝4log43＝3,4－x＝＝，∴4x＋4－x＝3＋＝.
4．若log5·log36·log6x＝2，则x＝( )
A．9 B．
C．25 D．
[答案] D
[解析] ∵log5·log36·log6x＝2，
∴··＝2，∴lgx＝－2lg5＝lg5－2，∴x＝.
5.＋等于( )
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
[答案] C
[解析] ＋＝＋
＝＋＝＋＝＝.
6．eln3－e－ln2等于( )
A．1 B．2
C. D．3
[答案] C
[解析] eln3－e－ln2＝eloge3－＝3－＝.
二、填空题
7．(2013～2014学年度广东湛江一中高一上学期期中测试)计算log43·log98＝________.
[答案]
[解析] log43·log98＝·＝·＝.
8．已知f(3x)＝2x·log23，则f(21 005)的值等于________．
[答案] 2 010
[解析] 令3x＝t，∴x＝log3t，
∴f(t)＝2log3t·log23＝2··＝2log2t，
∴f(21 005)＝2log221 005＝2×1 005＝2 010.
三、解答题
9．若log37·log29·log49m＝log4，求m的值．
[解析] ∵log37·log29·log49m＝log4，
∴··＝＝－，
∴lgm＝－lg2＝lg2－，∴m＝2－＝.
一、选择题
1．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a、b表示为( )
A.(a＋b＋1) B．(a＋b)＋1
C.(a＋b＋1) D．a＋b＋1
[答案] A
[解析] ∵3b＝5，∴b＝log35.
log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)
＝(1＋a＋b)，选A.
2．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4，则logx(abc)等于( )
A. B． C. D．
[答案] D
[解析] 由题意得x＝a2，x＝b，x＝c4，∴(abc)4＝x7，
∴abc＝x，∴logx(abc)＝.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
[答案] A
[解析] ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m＝.故选A.
4．方程eln|x|＝2的解是( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．4
[答案] C
[解析] ∵eln|x|＝2，∴|x|＝2，∴x＝－2或2.
二、填空题
5.＝________.
[答案] 1
[解析] ＝＝＝1.
6．若mlog35＝1，n＝5m，则n的值为________．
[答案] 3
[解析] ∵mlog35＝1，∴m＝＝log53.
∴n＝5m＝5log53＝3.
三、解答题
7．已知log98＝p，log2725＝q，试用p、q表示log52.
[解析] ∵p＝log98＝log32，q＝log2725＝log35，
∴log52＝＝＝.
8．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
[解析] 由logza＝24得logaz＝，
由logya＝40得logay＝，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝，
即logax＋logay＋logaz＝.
∴logax＋＋＝，解得logax＝，
∴logxa＝60.
9．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
[解析] (1)由换底公式，得
logax＋－＝3(a＞1)，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3，
当x＝at时，logax＝logaat＝t，∴logay＝t2－3t＋3，
故y＝at2－3t＋3(t≠0)．
(2)y＝a(t－)2＋，∵0＜t≤2，a＞1，
∴当t＝时，ymin＝a＝8，
∴a＝16，此时x＝a＝64.
第三章 3.2 3.2.2 第1课时
一、选择题
1．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点( )
A．(1,1) B．(2,1)
C．(1,0) D．(2,0)
[答案] B
[解析] 令x－1＝1，即x＝2，loga(x－1)＝0，∴函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1)．
2．下列函数为对数函数的是( )
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
[答案] C
[解析] 根据对数函数的定义可知选C.
3．设f(x)＝，
则f[f(2)]的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ∵x≥2时，f(x)＝log2(x2－2)，
∴f(2)＝log2(4－2)＝log22＝1，
又∵x<2时，f(x)＝2ex－1＋1，
∴f(1)＝2e0＋1＝2＋1＝3，∴f[f(2)]＝f(1)＝3.
4．若函数f(x)＝logax(0A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)＝logax(0f(x)min＝f(2a)＝loga(2a)＝loga2＋logaa＝loga2＋1，
由题意，得1＝2loga2＋2，∴2loga2＝－1，
∴loga2＝－，∴a＝.
5．(2013～2014学年度江西吉安一中高一期中测试)已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵函数y＝loga(－x)中，－x>0，
∴x<0，故其图象应在y轴左侧，排除A、D；
又函数y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除C，
故选B.
6．(2013～2014学年度吉林省长春外国语学校高一期中考试)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
C．[－1,1)
D．(－1,1)
[答案] D
[解析] 本题主要考查函数定义域的求解．为使函数y＝有意义，需，得函数y＝的定义域为(－1,1)，故选D.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝________.
[答案]
[解析] ∵x>0时，f(x)＝log2x，
∴f()＝log2＝－2.
又∵x<0时，f(－2)＝3－2＝，
∴f[f()]＝f(－2)＝.
8．设集合A＝{x|y＝log2x}，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝________.
[答案] {x|x>0}
[解析] A＝{x|y＝log2x}＝{x|x>0}，
B＝{y|y＝log2x}＝R，
∴A∩B＝{x|x>0}．
三、解答题
9．比较下列各题中两个值的大小：
(1)ln2，ln0.9；
(2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)；
(3)log67，log76；
(4)log3π，log20.8.
[解析] (1)考察函数y＝lnx，
∵底数为常数e(e>1)，
∴该函数在(0，＋∞)上是增函数，又2>0.9，
∴ln2>ln0.9.
(2)当0∵5.1<5.9，∴loga5.1>loga5.9.
当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
∵5.1<5.9，∴loga5.1(3)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76.
(4)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8.
一、选择题
1．(2013～2014学年度北大附中高一月考)已知集合A＝{y|y＝ln(x2＋1)，x∈R}，则?RA＝( )
A．? B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题主要考查对数函数的值域和集合的运算．由已知得A＝{y|y≥0}，所以?RA＝{y|y<0}，故选C.
2．(2013～2014学年度广东湛江一中高一上学期期中测试)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(e，＋∞)
C．(1，)和(3,4) D．(2,3)
[答案] D
[解析] f(2)＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3－>0，
∴f(2)·f(3)<0，故选D.
3．若f(x)＝，则f(log42)＝( )
A. B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵log41又∵0≤x≤1时，f(x)＝x2，
∴f(log42)＝(log42)2＝.
4．(2014·辽宁文，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] D
[解析] a＝2－＝∈(0,1)，b＝log2<0，c＝>＝1，∴c>a>b.
二、填空题
5．(2013～2014学年度徐州市高一期中测试)函数y＝lg(x－1)＋的定义域为____________．
[答案] (1,2]
[解析] 要使函数有意义，应满足，
∴1故函数的定义域为(1,2]．
6．(2013～2014学年度湖南省浏阳一中高一月考)若f(2x＋1)＝log ，则f(17)＝__________.
[答案] －8
[解析] ∵17＝24＋1，
∴f(17)＝f(24＋1)＝log
＝log ＝log22－8＝－8.
三、解答题
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝log(x＋2)；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解析] (1)要使函数有意义，
则，∴.
故所求函数的定义域是(－2，－1)∪(－1，－)∪(2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，则1－loga(x＋a)>0，
即loga(x＋a)<1＝logaa.
若0a，∴x>0；
若a>1，则0因此，当a>1时，所求函数的定义域为(－a,0)；
当0(3)由已知，得(1－x－6x2)≥0，
∴0<1－x－6x2≤1，
∴，
解得－故所求函数的定义域为∪.
8．(2013～2014学年度安徽省蚌埠二中高一期末考试)设y1＝loga(3x＋1)，y2＝loga(－3x)，其中0(1)若y1＝y2，求x的值；
(2)若y1[解析] (1)∵y1＝y2，∴loga(3x＋1)＝loga(－3x)，
∴3x＋1＝－3x，解得x＝－，
经检验x＝－在函数的定义域内，∴x＝－.
(2)y1>y2，即loga(3x＋1)>loga(－3x)(0∴，解得－∴x的取值范围为{x|－9．某农药厂今年生产农药8 000 t，计划5年后把产量提高到14 000 t，求平均每年的增长率．
[解析] 设平均每年的增长率为x，则由题意，
得8 000(1＋x)5＝14 000，即(1＋x)5＝＝1.75.
两边取常用对数，得5lg(1＋x)＝lg1.75，
所以lg(1＋x)＝lg1.75≈×0.243 0≈0.048 6，
所以1＋x≈1.118，即x≈0.118＝11.8%.
故平均每年的增长率约为11.8%.
第三章 3.2 3.2.2 第2课时
一、选择题
1．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于( )
A. B．－
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] f(a)＝lg＝，f(－a)＝lg()－1
＝－lg＝－.
2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 要使函数y＝ln(1－x)有意义，应满足1－x>0，∴x<1，排除A、B；
又当x<0时，－x>0,1－x>1，
∴y＝ln(1－x)>0，排除D，故选C.
3．(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
[答案] A
[解析] ∵y＝在[－1，＋∞)上是增函数，
∴y＝在(0，＋∞)上为增函数．
4．设函数f(x)＝，若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] ∵f(3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∵f(－2)＝4－2a＋b＝4－4＋b＝0，∴b＝0.
5．(2013～2014学年度山东潍坊二中高一月考)已知函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是( )
A．(－∞，1) B．(0，)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，
∴log2(1－x)<0，
∴0<1－x<1，∴06．(2013·湖南文)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．
g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可知两个函数的图象有2个交点．
二、填空题
7．函数y＝(－x2＋2x)的单调减区间为________．
[答案] (0,1]
[解析] 要使函数有意义，应满足－x2＋2x>0，
∴x2－2x<0，即0令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴函数u＝－x2＋2x在(0,1]上是递增的，
∴函数y＝(－x2＋2x)的单调减区间为(0,1]．
8．函数f(x)＝lg的值域为________．
[答案] (－∞，lg2]
[解析] ∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴－x2＋4x∈(0,4]，
∴∈(0,2]，
∴函数f(x)的值域为(－∞，lg2]．
三、解答题
9．求函数y＝(x)2－x＋5，x∈[2,4]的最大值和最小值．
[解析] 设t＝x，由于t＝x在[2,4]上为减函数，得4≤t≤2，即－1≤t≤－.则原函数变为y＝t2－t＋5，t∈.
∵y＝t2－t＋5在上为减函数，
∴当t∈时，≤y≤7.
∴y＝(x)2－x＋5在[2,4]上的最小值为，最大值为7.
一、选择题
1．下列函数，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝()x D．y＝x＋
[答案] A
[解析] A中，y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上为增函数，故A正确；B中，y＝－在[－1，＋∞)上为减函数，故B错误；C中，y＝()x在R上为减函数，故C错误；D中，y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故D错误．
2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
[答案] D
[解析] 本题考查了以对数为载体，比较实数大小的问题．
∵1>log54>log53>0，
∴1>log54>log53>(log53)2>0，
而log45>1，∴c>a>b.
3．已知函数f(x)＝，若f(x0)>3，则x0的取值范围是( )
A．x0>8 B．x0<0或x0>8
C．0[答案] A
[解析] 当x0≤0时，3x0＋1>3，
∴x0＋1>1，即x0>0，无解；
当x0>2时，log2x0>3，
∴x0>23，即x0>8，∴x0>8.
4．函数f(x)＝ax＋loga(2x＋1)(a＞0且a≠1)在[0,2]上的最大值与最小值之和为a2，则a的值为( )
A. B．5
C. D．4
[答案] A
[解析] 当a＞1时，ax随x的增大而增大，
loga(2x＋1)随x的增大而增大，
∴函数f(x)在[0,2]上为增函数，
∴f(x)max＝a2＋loga5，f(x)min＝1，
∴a2＋loga5＋1＝a2，∴loga5＋1＝0，
∴loga5＝－1，∴a＝(不合题意舍去)．
当0＜a＜1时，f(x)在[0,2]上为减函数，
∴f(x)max＝1，f(x)min＝a2＋loga5，∴1＋a2＋loga5＝a2，
∴loga5＝－1，∴a＝.
二、填空题
5．(2013～2014学年度江西南昌市联考)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f()＝0，则满足f(x)<0的集合为____________．
[答案] (0，)∪(2，＋∞)
[解析] 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用和对数不等式的解法．因为定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f()＝0，所以f(－)＝0，由f(x)<0可得x<－，或x>，
解得x∈(0，)∪(2，＋∞)．
6．(2014·福建文，15)函数f(x)＝
的零点个数是________．
[答案] 2
[解析] 当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－；
当x>0时，令2x－6＋lnx＝0，
即lnx＝6－2x，
在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图象如图所示．
由图象可知，当x>0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图象只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
综上可知，函数f(x)有2个零点．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝lg(4－x2)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，应满足4－x2>0，∴x2>4，∴－2∴函数f(x)的定义域为(－2,2)．
(2)函数f(x)是偶函数．
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝lg(4－x2)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
8．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的图象关于原点对称．
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)∵f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的图象关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．∴f(－x)＝－f(x)．
∴loga＝－loga＝loga，
∴＝，
∴1－m2x2＝1－x2，∴m2＝1，
∴m＝1或m＝－1.
当m＝1时，不满足题意，舍去，故m＝－1.
(2)f(x)＝loga＝loga.
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝loga－loga
＝loga＝loga
又(x1x2－x1＋x2－1)－(x1x2－x2＋x1－1)＝2(x2－x1)>0，
∴x1x2－x1＋x2－1>x1x2－x2＋x1－1，
又x1，x2∈(1，＋∞)，
∴(x1＋1)(x2－1)＝x1x2－x1＋x2－1>0，
(x2＋1)(x1－1)＝x1x2－x2＋x1－1>0，
∴>1.
当0即f(x1)故函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
当a>1时，loga>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
综上可知，当a>1时， f(x)在(1，＋∞)上为减函数；
当09．(2013～2014学年度四川成都七中高一月考)设函数
f(x)＝.
(1)当a＝时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝时， f(x)＝
当x<1时， f(x)＝x2－3x是减函数，
所以f(x)>f(1)＝－2，
即x<1时， f(x)的值域是(－2，＋∞)．
当x≥1时， f(x)＝logx是减函数，
所以f(x)≤f(1)＝0，
即x≥1, f(x)的值域是(－∞，0]．
于是函数f(x)的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R.
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
则下列①②③三个条件同时成立：
①当x<1时， f(x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4是减函数，
于是≥1，则a≥；
②当x≥1时， f(x)＝logax是减函数，则0③1－(4a＋1)－8a＋4≥loga1＝0，∴a≤.
综上所述，a的取值范围为≤a≤.
第三章 3.2 3.2.3
一、选择题
1．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为( )
A．x＝2－y B．x＝y－2
C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R
[答案] D
[解析] 由y＝x＋2得，x＝y－2，∴y＝x－2.∵x∈R，∴y＝x＋2∈R，
∴函数y＝x＋2，x∈R的反函数为y＝x－2，x∈R.
2．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100·lnx
C．y＝lgx D．y＝100·2x
[答案] A
[解析] ∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又∵e>2，∴y＝ex的图象的增长速度比y＝100·2x的图象的增长速度还要快，故选A.
3．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝( )
A．－1 B．log2
C. D．
[答案] D
[解析] f[f()]＝f[log2]＝f(－1)＝3－1＝.
4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( )
A．－e B．－
C． D．e
[答案] C
[解析] ∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，
∴f(x)＝lnx，
又∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，
∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝.
5．函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,3) D．(3,1)
[答案] D
[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D.
6．函数y＝1－(x≥2)的反函数为( )
A．y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0)
C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0)
[答案] D
[解析] ∵y＝1－，∴＝1－y，
∴x－1＝(1－y)2，∴y＝(1－x)2＋1＝(x－1)2＋1.
又∵x≥2，∴x－1≥1，∴≥1，
∴－≤－1，∴1－≤0.
∴函数y＝1－(x≥2)的反函数为y＝(x－1)2＋1(x≤0)．
二、填空题
7．函数y＝π－x的反函数为________．
[答案] y＝－logπx(x>0)
[解析] 由y＝π－x，得－x＝logπy，∴y＝－logπx.
∵π－x>0，
∴函数y＝π－x的反函数为y＝－logπx(x>0)．
8．设f(x)＝，则满足f(x)＝的x值为__________．
[答案] 3
[解析] 由f(x)＝，得或，
∴x＝3.
三、解答题
9．已知f(x)＝，求f－1()的值．
[解析] 令y＝，
∴y＋y·3x＝1－3x，∴3x＝，
∴x＝log3，∴y＝log3，
∴f－1(x)＝log3.
∴f－1()＝log3＝log3＝－2.
故f－1()的值为－2.
一、选择题
1．若f(10x)＝x，则f(5)＝( )
A．log510 B．lg5
C．105 D．510
[答案] B
[解析] 解法一：令u＝10x，则x＝lgu，∴f(u)＝lgu，∴f(5)＝lg5.
解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5)＝lg5.
2．若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．任意实数
[答案] B
[解析] 因为函数图象本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，)与(，1)皆在原函数图象上，故可得a＝－1.
3．函数y＝10x2－1(0A．y＝－(x>)
B．y＝(x>)
C．y＝－(D．y＝([答案] D
[解析] 由y＝10 x2－1 (0即x＝.
又∵0∴<10 x2－1≤1，即原函数的值域为(，1]．
∴原函数的反函数为y＝(4．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，
∴loga(4－k)＝0，∴k＝3.
∴f(x)＝loga(x－3)，
又反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，
∴f(x)过点(7,1)．
∴loga4＝1，∴a＝4，∴f(x)为增函数．
二、填空题
5．若点(1,2)既在y＝的图象上，又在其反函数的图象上，则a＝________，b＝________.
[答案] －3 7
[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝的图象上，
∴，解得.
6．已知函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，则g[g(－1)]＝________.
[答案] 1
[解析] 由题意，得g(－1)＝－1＋2＝1，
g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．
设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，
即e2(t－1)＝1，∴t＝1，∴g[g(－1)]＝1.
三、解答题
7．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x<0)；
(3)f(x)＝.
[解析] (1)设y＝f(x)＝.
∵x≠－，∴y≠0.
由y＝，解得x＝.
∴f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－.
∵－1≤x<0，∴0由y＝1－，解得x＝－.
∴f－1(x)＝－(0(3)设y＝f(x)＝，
当0≤x≤1时，－1≤y≤0，
由y＝x2－1，得x＝；
当－1≤x<0时，0由y＝x2，得x＝－.
∴f－1(x)＝.
8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay.
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，
∵a>1，x1∴f－1(x2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
9．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
[分析] 解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决．
[解析] 将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，
a＝－b＋3(B点坐标代入)．
故a＋b＝3.
第三章 3.3
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象不经过点(－1,1)
B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝xa是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
[答案] D
[解析]幂函数y＝x2经过点(－1,1)，排除A；幂函数y＝x－1不经过点(0,0)，排除B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C，故选D.
2．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( )
A．k＝3 B．k＝－2
C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2
[答案] C
[解析] 由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.
3．(2013～2014学年度福建厦门一中高一月考)幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为( )
A．4或 B．±2
C．4或 D．或2
[答案] C
[解析] 本题主要考查幂函数的解析式及简单指数方程的求解．设幂函数f(x)＝xa，由图象过点(2，m)，得f(2)＝2a＝m，所以f(m)＝ma＝2a2＝16，
解得a＝－2或2，所以m＝22＝4或m＝2－2＝，
故选C.
4．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．2 B．－1
C．－1或2 D．m≠
[答案] B
[解析] ∵函数y＝(m2－m－1)x5m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝－1或2，
当m＝2时，y＝x7在(0，＋∞)上为增函数，
当m＝－1时，y＝x－8在(0，＋∞)上为减函数，故选B.
5．(2013～2014学年度广东省广雅中学高一期中考试)函数y＝|x|的图象大致为( )
[答案] C
[解析] y＝|x|＝＝，
函数y＝|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B，又函数y＝|x|的图象向上凸，排除D，故选C.
6．如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
[答案] B
[解析] 根据幂函数性质，C1、C2在第一象限内为增函数，C3、C4在第一象限内为减函数，因此排除A、C.又C1曲线下凸，所以C1、C2中n分别为2、，然后取特殊值，令x＝2,2－>2－2，∴C3、C4中n分别取－、－2，故选B.
二、填空题
7．(2013～2014学年度河南信阳市高一期末测试)已知幂函数f(x)过点(4,8)，则f(9)＝________.
[答案] 27
[解析] 设幂函数f(x)＝xα，则4α＝8，∴α＝.
∴f(x)＝x，∴f(9)＝27.
8．(2013～2014学年度河南郑州一中高一期中测试)若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为________．
[答案] －1
[解析] 由幂函数的定义可得，2m＋3＝1，
即m＝－1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则
，解得m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则，
解得m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则，
解得m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1±.
一、选择题
1．下列关系中正确的是( )
A．()<()<()
B．()<()<()
C．()<()<()
D．()<()<()
[答案] D
[解析] ∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
且＜＜，∴()＜()＜()，
即()＜()＜().
2．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1
D．n＜－1，m＞1
[答案] B
[解析] 由幂函数图象的性质知n＜0,0＜m＜1.
3．函数y＝x3与函数y＝x的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] D
[解析] y＝x3与y＝x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，故选D.
4．设函数y＝ax－2－(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数y＝ax－2－(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(2，)，又点A(2，)在幂函数y＝xα的图象上，∴＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y＝x－1，
其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
二、填空题
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则m是__________．
[答案] 1或2
[解析] 由题意得，
解得m＝1或m＝2.
6．如果幂函数y＝xa的图象，当0[答案] a<1
[解析] 分a>1，a＝1,0三、解答题
7．已知幂函数y＝xm2－m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值，并画出它的图象．
[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；
当m＝－1，或m＝3时，有y＝x0，适合题意；
当m＝1时，y＝x－4，适合题意．
∴所求m的值为－1,3或1.
画出函数y＝x0及y＝x－4的图象，
函数y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A(－1,1)，B(1,1)，过A，B作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．
函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值表：
x
…
－2
－1
－
－
1
2
…
y
…
1
16
81
81
16
1
…
描出各点，连线，可得此函数的图象如图②所示．
8．已知函数
(1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间；
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
[解析] (1)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴定义域关于原点对称．
∴函数f(x)为奇函数．
在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1又∵f(x)是奇函数，
∴函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数．
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
由此可推测出一个等式f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x≠0)．
证明如下：
，
故f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．
9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
[解析] ∵f(x)＝max{x2，x－2}，
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．
令x2>x－2，得x2>1，∴x>1或x<－1.
令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，
∴f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示：
由图可知， f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1.
∴函数f(x)的最小值为1.
第三章 3.4
一、选择题
1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年产量确定
[答案] B
[解析] 由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝0.2.故选B.
2．(2013～2014学年度湖北黄冈中学高一月考)某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
[答案] C
[解析] 细菌的个数y与分裂次数x的函数关系为y＝2x，令2x＝212，解得x＝12，又每15 min分裂一次，所以共需15×12＝180 min，即3 h.
3．(2013～2014学年度安徽阜阳一中高一月考)某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[答案] D
[解析] 本题考查指数函数的解析式与图象．设山区第一年绿色植被面积为a，则y＝＝(1＋10.4%)x，故选D.
4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为( )
A．8块 B．9块
C．10块 D．11块
[答案] D
[解析] 设至少需要重叠玻璃板数为n，
由题意，得(1－10%)n≤，解得n≥11.
5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏情况是( )
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
[答案] B
[解析] 设A产品的原价为a元，B产品的原价为b元，则
a(1＋20%)2＝23.04，求得a＝16；
b(1－20%)2＝23.04，求得b＝36.
则a＋b＝52元，而23.04×2＝46.08元．
故亏52－46.08＝5.92(元)．故选B.
6．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )
A．不增不减 B．约增8%
C．约增5% D．约减8%
[答案] D
[解析] 设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.9216a，比原来约减8%.
二、填空题
7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．
[答案] 30
[解析] 由题意，知y1＝y2，∴－x＋70＝2x－20，∴x＝30.
8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号)．
[答案] ①②④
[解析] ∵关系为指数函数，∴可设y＝ax(a>0且a≠1)．由图可知2＝a1.∴a＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．故正确的有①②④.
三、解答题
9．(2013～2014学年度山东实验中学高一期末测试)某乡镇目前人均一年占有粮食360kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有ykg粮食，求函数y关于x的解析式．
[解析] 设该乡镇目前人口量为M，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M.
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口总量为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食为；
经过2年后，人均占有粮食为；
……
经过x年后，人均占有粮食为y＝＝360()x＝360()x.
即所求函数解析式为y＝360()x.
一、选择题
1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 ( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
[答案] A
[解析] 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%)..
所以，经过x年后，y与x的函数关系式为
y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝(0.95) ·m.
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )
A．300 B．400
C．600 D．700
[答案] A
[解析] 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故选A.
3．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
A．10% B．15%
C．18% D．20%
[答案] D
[解析] 设平均每次降价的百分率为x，则2000(1－x)2＝1280，所以x＝20%，故选D.读懂题意正确建立函数模型，求解可得．
4．(2013～2014学年度广东广雅中学高一月考)抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2≈0.3010)( )
A．6次 B．7次
C．8次 D．9次
[答案] C
[解析] 本题考查对数函数的应用．设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(1－60%)x<0.1%，即0.4x<0.001，∴xlg0.4<－3，∴x>＝≈7.5，故选C.
二、填空题
5．如图，由桶1向桶2输水，开始时，桶1有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么桶2的水就是y＝a－ae－nt.假设经过5 min，桶1和桶2的水相等，则再过________min，桶1中的水只有L.
[答案] 10
[解析] 由题意可得，经过5 min时，ae－5n＝，n＝ ln2，那么，所以t＝15，从而再经过10min后，桶1中的水只有L
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系为________．
[答案] y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)
[解析] 成本经过x年降低到y元，则
y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
三、解答题
7．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．据报道中国青海玉树2010年4月14日发生地震的震级为7.1级．而2011年3月11日，日本发生9.0级地震，那么9.0级地震释放的能量是7.1级地震的多少倍(精确到1)?
[解析] 9.0级地震所释放的能量为E1,7.1级地震所释放的能量为E2，
由9.0＝(lg E1－11.4)，得lg E1＝×9.0＋11.4＝24.9.
同理可得lg E2＝×7.1＋11.4＝22.05，从而lg E1－lg E2＝24.9－22.05＝2.85，故lg E1－lg E2＝lg＝2.85，则＝102.85≈708，
即9.0级地震释放的能量是7.1级地震的708倍．
8．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则＝.
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
9．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助确定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
观察散点图可以看出：A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2.
把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，
解得a＝－0.15.所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得，解得.所以y＝0.25x.
即前6个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前6个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
则，
所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6，
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元．此时xB≈8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
