第二章 2.1 2.1.1 第1课时
一、选择题
1．函数符号y＝f(x)表示( )
A．y等于f与x的乘积
B．f(x)一定是一个式子
C．y是x的函数
D．对于不同的x，y也不同
[答案] C
[解析] y＝f(x)表示y是x的函数．
2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．不确定
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)＝－1，∴不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.
3．(2013～2014学年度安徽颖上一中高一上学期期中测试)下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
[答案] A
[解析] 判断图形是不是函数图象的方法：与垂直x轴的任一直线至多有一个交点．因此，可以判断B、C、D表示函数关系，A不表示函数关系，故选A.
4．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
[答案] C
[解析] 要使函数y＝有意义，
则x＋1>0，即x>－1.
故函数的定义域为(－1，＋∞)．
5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
[答案] C
[解析] ∵P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，从P到Q的对应关系f：x→y＝x，当x＝4时，y＝>2，∴在集合Q中没有数y与之对应，故构不成函数．
6．已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.
二、填空题
7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为____________．
[答案] {－1,0, 3}
[解析] x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；
x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3.
故函数的值域为{－1,0,3}．
8．(2013～2014学年度辽宁五校协作体高一期中测试)函数f(x)＝的定义域为________________．
[答案] {x|x≥－4，且x≠－2}
[解析] 要使函数有意义，应有
，∴x≥－4且x≠－2.
故函数f(x)的定义域为{x|x≥－4且x≠－2}．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？证明你的发现．
[解析] (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，
f()＝＝，
f(3)＝＝，
f()＝＝.
(2)由(1)发现f(x)＋f()＝1.
证明如下：
f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.
一、选择题
1．函数f(x)＝－5，则f(3)＝( )
A．－3 B．4
C．－1 D．6
[答案] A
[解析] f(3)＝－5＝2－5＝－3.
2．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，
f()＝＝＝－，
∴＝＝－1.
3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2且f(－2)＝－，则f(2)＝( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] D
[解析] ∵2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，
∴2f(2)＋f(－2)＝8，又f(－2)＝－，∴f(2)＝.
4．(2013～2014学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)函数f(x)的定义域为[－6,2]，则函数y＝f()的定义域为( )
A．[－4,4] B．[－2,2]
C．[0，] D．[0,4]
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)的定义域为[－6,2]，
∴－6≤≤2，又∵≥0，
∴0≤≤2，∴0≤x≤4，故选D.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝ax2－1(a≠0)，且f[f(1)]＝－1，则a的取值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f(x)＝ax2－1，∴f(1)＝a－1，
f[f(1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，又∵a≠0，∴a－1＝0，∴a＝1.
6．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(x)＝x2＋|x－2|，∴f(1)＝1＋1＝2.
三、解答题
7．(2013～2014学年度广东湛江一中高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，B＝{x|x
(1)求集合A；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，应满足，
∴－2(2)∵A?B，∴把集合A、B分别表示在数轴上，如图所示，
由如图可得，a>3.
故实数a的取值范围为a>3.
8．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
(4)y＝x＋；
(5)y＝.
[解析] (1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}．
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1.
∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)配方得y＝(x－2)2＋2，∵x∈[1,5]，
由图知2≤y≤11.
即函数的值域为[2,11]．
(4)令u＝，则u≥0，x＝，
∴y＝＋u＝(u＋1)2≥.
∴函数的值域为[，＋∞)．
(5)y＝＝＝3＋≠3.
∴函数的值域为{y|y≠3}．
9．(1)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，求函数y＝f(x)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x＋1)的定义域；
(3)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,1]，求g(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)的定义域．
[解析] (1)∵y＝f(x＋2)中，1≤x≤4，∴3≤x＋2≤6，∴函数y＝f(x)中，3≤x≤6，故函数y＝f(x)的定义域为[3,6]．
(2)∵y＝f(2x)中，0≤x≤1，
∴0≤2x≤2，∴函数y＝f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，
∴－1≤x≤1，∴函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1,1]．
(3)由题意得，
∴，以下按a的取值情况讨论：
①当a＝0时，函数的定义域为[0,1]．
②a>0时，须1－a≥a.才能符合函数定义(定义域不能为空集)．∴0此时函数的定义域为{x|a≤x≤1－a}．
③a<0时，须1＋a≥－a，即－≤a<0，此时函数的定义域为{x|－a≤x≤1＋a}．
综上可得：－≤a<0时，定义域为{x|－a≤x≤1＋a},0≤a≤时，定义域为{x|a≤x≤1－a}．
第二章 2.1 2.1.1 第2课时
一、选择题
1．下列各组中，集合P与M不能建立映射的是( )
A．P＝{0}，M＝?
B．P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8}
C．P＝{有理数}，M＝{数轴上的点}
D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
[答案] A
[解析] 选项A中，M＝?，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射．
2．(2013～2014学年度河北唐山市开滦二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{1,2，m}，B＝{4,7,13}，若f：x→y＝3x＋1是从集合A到集合B的映射，则m的值为( )
A．22 B．8
C．7 D．4
[答案] D
[解析] 由题意可知，3m＋1＝13，∴m＝4.
3．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
[答案] B
[解析] 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个，故选B.
4．(2013～2014学年度辽宁五校协作体高一期中测试)已知A＝B＝R，x∈R，y∈R，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] 由题意，得，解得.
∴y＝x－2，
∴5在f下的象是5－2＝3.
5．已知映射f：A→B，即对任意a∈A，f：a→|a|.其中，集合A＝{－3，－2，－1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] A
[解析] |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4.
因为集合元素具有互异性，故B中共有4个元素，
所以B＝{1,2,3,4}．
6．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )
[答案] D
[解析] A中，y的范围不符；B中，y的范围不符；C不符合映射定义：对于集合A中的每一个元素，在集合B中有惟一元素与之对应．∴选D.
二、填空题
7．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为____________．
[答案] 1
[解析] 由题意知，∴，
∴a＋b＝1.
8．设集合A＝{0,1}，b＝{2,3}，对A中的每一个元素x总有x＋f(x)为偶数，那么从A到B的映射f的个数是________．
[答案] 1
[解析] 从A到B的映射有4个，即
其中满足x＋f(x)为偶数的映射只有第3个，因此符合题意的映射共有1个．
三、解答题
9．下图中①、②、③、④用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应关系是不是映射？是不是函数关系？
[解析] 根据映射定义知：
图①中，通过运算法则“开平方”，违背定义中的A中每个元素在B中有惟一的象，即A中每个元素对应B中的两个象，故这种对应不是映射，当然也不是函数．
图②中，违背A中每一个元素在B中都有惟一元素与之对应，因为6无象，故不是映射，也不是函数．
图③和④都是映射，也是函数关系．
一、选择题
1．设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是( )
A．{1} B．{0,1，－1}
C．{0} D．{0，－1，－2}
[答案] B
[解析] 由题意可知f(x)＝x3－x＋1.当f(x)＝1时，求x.将各值代入检验可知选B.
2．已知集合A＝N*，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素为( )
A．3 B．5
C．17 D．9
[答案] D
[解析] 由题意，得2a－1＝17，∴a＝9.
3．已知(x，y)在映射f下的象是(2x－y，x－2y)，则原象(1,2)在f下的象为( )
A．(0，－3) B．(1，－3)
C．(0,3) D．(2,3)
[答案] A
[解析] 原象(1,2)在映射f下的象为(0，－3)．
4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4
C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
[答案] C
[解析] 由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28.解得a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，故选C.
二、填空题
5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.
[答案] 2 1
[解析] 由题意，得，∴.
6．设集合A和B都是自然数集，映射f：A―→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下象20的原象是__________．
[答案] 4
[解析] 由题意，得2n＋n＝20，∴n＝4.
三、解答题
7．在下面所给的对应中，哪些对应不是集合A到B的映射？说明理由．
[解析] (1)不是集合A到B的映射，因为A中元素0在B中没有元素与之对应．
(2)、(4)、(5)、(6)是集合A到B的映射，因为A中的任意一个元素在B中都有惟一的元素与之对应．
(3)不是集合A到B的映射．因为A中的元素1、4、9在B中都各有两个元素与之对应．
8．设A＝{(x，y)|x∈R、y∈R}，如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y＋1，x＋2)和原象集合中的元素(x，y)对应．
求：(1)原象(1,2)的象；
(2)象(3，－4)的原象．
[解析] (1)∵x＝1，y＝2，∴y＋1＝3，x＋2＝3，即原象(1,2)的象为(3,3)．
(2)令y＋1＝3，x＋2＝－4，∴y＝2，x＝－6，
∴象(3，－4)的原象为(－6,2)．
9．在下列各题中，判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，
对应法则f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，
对应法则f：x→x＋3.
[分析] 题中主要给出了两个集合A、B及一个对应法则，解答时，可由映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有惟一的元素与之对应，然后再进一步确定是否为一一映射及函数关系．
[解析] (1)集合A＝N中元素1在对应法则f作用下为0，而0?N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3，而3?B，故对应法则f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有惟一的一个元素与之对应，所以，对应法则f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中 都有惟一的元素与之对应，故对应法则f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应法则f也是从集合A到集合B的函数．
第二章 2.1.2 第1课时
一、选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
A.1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由图表可知f(2)＝3，故选C.
2．在下面四个图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )
[答案] D
[解析] 根据函数的定义，任作一条与x轴垂直的直线，直线与函数图象至多有一个交点，因此只有选项D符合．
3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
[答案] C
[解析] 由题意，得100＝，∴y＝(x>0)．
4．已知f(x＋1)＝x2－4，那么f(6)的值是( )
A．32 B．21
C．12 D．45
[答案] B
[解析] ∵f(x＋1)＝x2－4，令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3，
∴f(6)＝36－12－3＝21.
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水；② 3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③也不正确．所以正确序号只有①.
6．当x为任意实数时，有f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，则 f(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x＋2
C．－2x＋1 D．－2x＋2
[答案] D
[解析] ∵x∈R，f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，①
∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋6，②
②×2－①得，3f(x)＝－6x＋6，∴f(x)＝－2x＋2.
二、填空题
7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意可知，f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，
∴f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
8．下面给出了四个图象和三个事件：
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我从家里出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
图象与这三个事件发生的顺序相吻合的分别为________．
[答案] d，a，b
[解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d相吻合；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故②与图象a相吻合；最后加速向学校，图象上升就得越来越快，故③与图象b相吻合．
三、解答题
9．某种杯子每只0.5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．
[解析] (1)列表法：
x(只)
1
2
3
4
y(元)
0.5
1
1.5
2
(2)解析法：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4}．
(3)图象法：
一、选择题
1．如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
[答案] B
[解析] 令＝t，∴x＝.
∴f(t)＝＝·＝，
∴f(x)＝(x≠0，x≠1)．
2．已知函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝f(ab)，且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝( )
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
[答案] B
[解析] f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)
＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
[答案] B
[解析] 观察图象，根据图象的特点，发现取水深h＝时，注水量V1>，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量的一半，A中V1<，C，D中V1＝，故选B.
4．已知f(x)＝([x]＋1)2＋2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(－2.5)＝( )
A．2 B．3
C．2 D．6
[答案] D
[解析] 由题意得[－2.5]＝－3，
∴f(－2.5)＝([－2.5]＋1)2＋2＝(－3＋1)2＋2＝6.
二、填空题
5．(2013～2014学年度广东中山市桂山中学高一上学期期中测试)已知f(x－)＝x2＋，则函数f(x＋1)的表达式为________________．
[答案] f(x＋1)＝x2＋2x＋3
[解析] ∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋2＝x2＋2x＋3.
6．已知函数y＝f(n)，满足f(1)＝1，且f(n)＝nf(n＋1)，n∈N＋，则f(5)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(n)＝nf(n＋1)，n∈N＋，
∴f(n＋1)＝.
又f(1)＝1，∴f(2)＝＝1，f(3)＝＝，
f(4)＝＝，f(5)＝＝.
三、解答题
7．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去．假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
[解析] (1)由题意，知P＝30＋x.
(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x)(30＋x)元．
死蟹的销售额为200x元．
∴Q＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x
＝－10x2＋900x＋30 000.
8．若f{f[f(x)]}＝27x＋26，求一次函数f(x)的解析式．
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f[f(x)]＝a2x＋ab＋b，
f{f[f(x)]}＝a(a2x＋ab＋b)＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b，
∴，解得.
∴f(x)＝3x＋2.
9．作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝(x>1)．
[解析] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图所示为函数图象的一部分．
(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图．
第二章 2.1.2 第2课时
一、选择题
1．(2012·江西文)设函数f(x)＝，
则f[f(3)]＝( )
A. B．3
C． D．
[答案] D
[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f(3)＝，f[f(3)]＝f()＝()2＋1＝.
2．已知函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为( )
A．2 B．2或
C．± D.
[答案] D
[解析] 当x≤－1时，f(x)＝x＋1＝3，
∴x＝2(不合题意，舍去)；
当－1∵－1当x≥2时，f(x)＝2x＝3，∴x＝(不合题意舍去)，
故选D.
3．已知函数f(x)＝，则f{f[f(－1)]}的值等于( )
A．x2＋1 B．π2＋1
C．－π D．0
[答案] C
[解析] f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
f[f(－1)]＝f(2)＝0，
f{f[f(－1)]}＝f(0)＝－π.
4．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
[答案] D
[解析] 作出y＝f(x)的图象，如图所示．
由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}．
5．已知y＝f(n)满足，则f(4)的值为( )
A．11 B．17
C．23 D．38
[答案] D
[解析] ∵f(4)＝3f(2)＋5，
f(2)＝3f(0)＋5＝3×2＋5＝11，
∴f(4)＝3×11＋5＝38.
6．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为( )
A．－3或－1 B．－1
C．1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵x>0时，f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
∴f(a)＝－f(1)＝－2.
当a>0时，f(a)＝2a≠－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，故选D.
二、填空题
7．(2013～2014学年度江西吉安一中高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]的值是________．
[答案] 7
[解析] ∵x<3时，f(x)＝1－3x，
∴f(－1)＝1－3×(－1)＝4.
又∵x≥3时，f(x)＝2x－1，∴f(4)＝2×4－1＝7.
∴f[f(－1)]＝f(4)＝7.
8．已知函数f(x)＝，
g(x)＝.当x∈R时，f[g(x)]＝__________，g[f(x)]＝__________.
[答案] 1 0
[解析] ∵f(x)、g(x)的函数值均为有理数，
∴f[g(x)]＝1，g[f(x)]＝0.
三、解答题
9．画出函数y＝|x－1|＋|2x＋4|的图象．
[解析] y＝|x－1|＋|2x＋4|＝
.
画出函数y＝|x－1|＋|2x＋4|的图象如图所示．
一、选择题
1．已知函数f(x)定义在[－1,1]上，其图象如图所示，那么f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[答案] C
[解析] ∵f(x)的图象是由两条线段组成，
∴由一次函数解析式的求法可得
f(x)＝.
2．已知函数f(x)＝，或f(a)＝10，则a＝( )
A．－4 B．－1
C．1 D．－4或1
[答案] A
[解析] 当a≤0时，f(a)＝a2＋3a＋6＝10，
∴a2＋3a－4＝0，解得a＝－4或a＝1，
∵a≤0，∴a＝－4.
当a>0时， f(a)＝－＝10，
∴a＝－1，又∵a>0，∴a≠－1.
综上所述， a＝－4.
3．函数y＝x＋的图象是( )
[答案] C
[解析] y＝x＋＝，故选C.
4．已知f(x)＝，则f[f(x)]＝( )
A．f[f(x)]＝
B．f[f(x)]＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[答案] A
[解析] 当x>0时，f[f(x)]＝f(－x)＝(－x)2＝x2；
当x<0时，f[f(x)]＝f(x2)＝－(x2)＝－x2，
∴f[f(x)]＝.
二、填空题
5．某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图，则：
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变．
以上说法中正确的是____________．
[答案] ①③
[解析] 从图象来看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产．故①③正确．
6．已知f(x)＝，则f{f[f(5)]}等于________．
[答案] －5
[解析] ∵x>0时，f(x)＝0，∴f(5)＝0.
∵x＝0时，f(x)＝－1，∴f(0)＝－1.
又∵x<0时，f(x)＝2x－3，∴f(－1)＝－5.
∴f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝－5.
三、解答题
7．求函数f(x)＝的定义域和值域．
[解析] 当0当5当9又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)＝(0,20]，
∴函数f(x)的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)＝(0,14)，函数f(x)的值域为(0,20]．
8．已知函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式．
[解析] 当x∈[0,1]时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将点代入，得＝k，∴f(x)＝x.
当x∈[1,2]时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将、(2,0)代入，得，
解得a＝－，b＝3，∴f(x)＝－x＋3.
∴f(x)＝.
9．在学校的洗衣店中每洗一次衣服(4.5kg以内)需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次．
(1)根据题意填写下表：
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
(2)“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？
(3)写出函数的解析式，并画出图象．
[解析] (1)
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
20
36
40
40
56
(2)费用c是次数n的函数．
对于次数集合中的每一个元素(次数)，在费用集合中都有惟一的元素(费用)和它对应；但对于费用集合中的每一个元素(费用)，在次数集合中并不都是只有惟一的一个元素和它对应．如40元就有两个元素10次和11次和它对应．
(3)由以上分析，可得函数的解析式为
c＝.
其图象如图所示．
第二章 2.1.3 第1课时
一、选择题
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
[答案] D
[解析] ∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有( )
A．a> B．a≤
C．a>－ D．a<
[答案] A
[解析] 由题意2a－1>0，∴a>.
3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
[答案] C
[解析] 由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x14．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则f(1)等于( )
A．－7 B．1
C．17 D．25
[答案] D
[解析] 由题意知＝－2，∴m＝－16.
∴f(x)＝4x2＋16x＋5，∴f(1)＝25.
5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性
[答案] D
[解析] 函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不一定是增函数．如图所示．
6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(－a)C．f(0)[答案] A
[解析] ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(1)>f(2)，故选A.
二、填空题
7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f()，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．
[答案] m≥n
[解析] a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f()≥f(a2－a＋1)，
∴m≥n.
8．已知函数f(x)的图象如图．则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．
[答案] [－3,1] 2 －3
[解析] 由图可知f(x)的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.
三、解答题
9．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一上学期期中测试)证明函数f(x)＝x＋在x∈[1，＋∞)上是增函数，并求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．
[证明] 设任意x1、x2∈[1，＋∞)，
且x10.
f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－
＝x2－x1＋
＝(x2－x1)(1－)，
∵x1≥1，x2>1，∴x1x2>1，
∴0<<1，∴1－>0，
∴(x2－x1)(1－)>0，
∴f(x2)>f(x1)．
即函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
∴函数f(x)在区间[2,4]上的最小值为f(2)＝2＋＝，
最大值为f(4)＝4＋＝，
故函数f(x)在区间[2,4]上的值域为[，].
一、选择题
1．在(－∞，0)上是减函数的是( )
A．y＝1－x2 B．y＝－
C．y＝x－1 D．y＝
[答案] D
[解析] 函数y＝1－x2，y＝－，y＝x－1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y＝在(－∞，0)上为减函数，故选D.
2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)是减函数
C．f(x)是增函数
D．f(x)在(－∞，0)上是增函数
[答案] D
[解析] 函数f(x)＝8＋2x－x2的图象为开口向下，对称轴是x＝1的抛物线，∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
[答案] C
[解析] y＝|x＋2|＝，
作出y＝|x＋2|的图象，
易知在[－3，－2]上为减函数，
在[－2,0]上为增函数．
4．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
[答案] A
[解析] ∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
二、填空题
5．若f(x)＝x2＋2mx＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m的取值范围为________．
[答案] m≤－1
[解析] ∵函数f(x)＝x2＋2mx＋2的对称轴为x＝－m，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m≥1，∴m≤－1.
6．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间为________．
[答案] (－∞，－]
[解析] 函数y＝x2＋x＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－，
∴函数的递减区间为(－∞，－]．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1.
∴f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵x10.
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
8．设函数f(x)是R上的单调增函数，F(x)＝f(x)－f(2－x)．
求证：函数F(x)在R上是单调增函数．
[证明] 任取x1、x2∈R，且x1∵函数f(x)是R上的单调增函数，
∴f(x1)f(2－x2)，
即f(x1)－f(x2)<0，f(2－x1)－f(2－x2)>0，
∴F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(2－x1)]－[f(x2)－f(2－x2)]＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(2－x2)－f(2－x1)]<0，即F(x1)－F(x2)<0，所以F(x1)∴函数F(x)在R上是单调增函数．
9．讨论函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．
[解析] 设x1，x2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵x1>－2，x2>－2，x1∴x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1>0.
因此，当a>时，2a－1>0，此时f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)当a<时，2a－1<0，此时f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)＝在(－2，＋∞)上是减函数．
第二章 2.1.3 第2课时
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则在下面区间内f(x)不是递减函数( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] f(x)＝在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A、B、D正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．
2．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是( )
A．[－4，＋∞) B．[－3,5]
C．[－4,5] D．(－4,5]
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
∴函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝2，又∵x∈[1,5]，
故当x＝2时，f(x)取最小值－4，
当x＝5时，f(x)取大值5，故选C.
3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x2－1
C．y＝2x2＋3x D．y＝－1
[答案] D
[解析] 函数y＝3x－2在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝3x2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝2x2＋3x的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.
4．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[答案] A
[解析] 函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f(x)的最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.
5．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
[答案] C
[解析] f(x1)－f(x2)＝ax＋2ax1＋4－ax－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)
∵a>0，x1∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2)<0，
∴f(x1)6．已知函数f(x)在其定义域R上单调递增，则满足f(2x－2)A．(－∞，0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)在其定义域R上单调递增，
∴2x－2<2，∴x<2，故选D.
二、填空题
7．函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上的单调性为________．
[答案] 单调递减
[解析] ∵函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，∴a<0.又函数y＝－2x2＋ax的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝<0，∴函数y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上单调递减．
8．函数y＝|x－3|＋2的递增区间为________，递减区间为________．
[答案] [3，＋∞) (－∞，3]
[解析] y＝|x－3|＋2＝，其图象如图所示，
由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]．
三、解答题
9．用函数单调性的定义证明：f(x)＝(a>b>0)在(－b，＋∞)上是减函数．
[解析] 设x1、x2∈(－b，＋∞)，且x10.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝，
由x1、x2∈(－b，＋∞)得x1>－b，x2>－b，
∴x1＋b>0，x2＋b>0，
又a>b>0，∴b－a<0，
又x2－x1>0，∴Δy<0.
∴f(x)＝(a>b>0)在(－b，＋∞)上是减函数.
一、选择题
1．函数y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
[答案] D
[解析] 如图所示：
∴函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，
要使y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则有a≤0.
2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x1，x2分别在两个单调增区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.
3．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋
[答案] C
[解析] >0?>0?f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故选C.
4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝4x2－mx＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝，由f(x)在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴≤－2，即m≤－16.又f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
二、填空题
5．已知函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是__________函数．
[答案] 增
[解析] ∵y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b>0，结合二次函数图象可得，函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是增函数．
6．设函数f(x)满足；对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[答案] f(－3)>f(－π)
[解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数为增函数．
∵－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
三、解答题
7．已知f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，若f(t－1)[解析] ∵函数f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，且f(t－1)∴，∴，即0≤t<.
故t的取值范围为0≤t<.
8．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，且当x>2时， f(x)为增函数，试比较f(1)、f(4)、f(－2)的大小．
[解析] ∵x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又x>2时，f(x)为增函数，∴x<2时，f(x)为减函数，
则在x轴上距离对称轴x＝2越远的数，其函数值越大，∴f(－2)>f(4)>f(1)．
9．已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，且x10，∵x>0时，f(x)<0，
∴f(x2－x1)<0，
又∵x2＝(x2－x1)＋x1，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)∴f(x)是R上的单调递减函数．
(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
第二章 2.1.4 第1课时
一、选择题
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．7
[答案] C
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又f(－3)＝－f(3)＝－2，∴f(3)＝2，
∴f(3)＋f(0)＝2，故选C.
2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选A.
3．(2013～2014学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a，b的值是( )
A．2,1 B．1,2
C．0,2 D．0,1
[答案] B
[解析] 由题意，得
，∴.
4．(2014·湖南理，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，①
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，
∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.
5．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)|g(x)|，
则F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，
∴函数f(x)|g(x)|是奇函数．
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
[答案] D
[解析] 解法一：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．
∴f(x)＝，
即f(x)＝，
∴f(x)＝|x|(|x|－2)．
解法二：只有D中的函数是R上的偶函数，故选D.
二、填空题
7．(2013～2014学年度天津市五区县高一上学期期中测试)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋，则f(－1)＝________.
[答案] －2
[解析] ∵x>0时，f(x)＝x＋，
∴f(1)＝1＋1＝2，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
8．(2012·重庆文)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.
[答案] 4
[解析] 本题考查二次函数、偶函数概念．
由f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数知其对称轴x＝－＝0，即a＝4.
另外本题也可利用偶函数定义求解．
三、解答题
9．判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．
由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
一、选择题
1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是( )
A．f(－2)－f(6)＝0
B．f(－2)－f(6)<0
C．f(－2)＋f(6)<0
D．f(－2)－f(6)>0
[答案] B
[解析] 由图象可知，f(2)2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
[答案] A
[解析] ∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x2)＝f(x2)3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－1)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)
[答案] A
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，
f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，
∴f(－3)>f(1)，f(3)>f(－1)都成立．
4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)C．f(－2)[答案] A
[解析] 若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，
∵3>2>1，∴f(3)∴f(3)二、填空题
5．如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
[答案] 2x＋3
[解析] 设x<0，则－x>0，
∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，
又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，
即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
6．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上的最________值为________．
[答案] 大 －5
[解析] 由f(x)在[3,7]上是增函数可知，f(x)在[3,7]上的最小值为f(3)＝5，∵奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，
∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数，
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在[－7，－3]上的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－5.
三、解答题
7．判断函数f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]的奇偶性．
[解析] 函数的定义域为[－1,1]，关于坐标原点对称．
又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．
[解析] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
在已知条件中，将x全部换成－x，
得f(－x)＋g(－x)＝(x2＋1)(－x＋1)，
即f(x)－g(x)＝(x2＋1)(－x＋1)．
由，
得f(x)＝x2＋1，g(x)＝x(x2＋1)．
9．函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝＋1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．
[解析] (1)设00时，f(x)＝＋1
得：f(x1)－f(x2)＝(＋1)－(＋1)＝，
∵00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)当x<0时，－x>0，
∵x>0时， f(x)＝＋1，
∴f(－x)＝＋1＝－＋1，
又f(x)为奇函数， f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－＋1, f(x)＝－1，
∴x>0时， f(x)＝－1.
第二章 2.1.4 第2课时
一、选择题
1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定过点( )
A．(a, f(－a)) B．(－a, f(a))
C．(－a, －f(a)) D.
[答案] C
[解析] ∵点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图象上，
又∵函数y＝f(x)是奇函数，
∴其图象关于原点对称，
故点(－a，－f(a))也在函数y＝f(x)的图象上．
2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(3)>f(－4)B．f(－π)C．f(3)D．f(4)[答案] C
[解析] ∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)即f(3)3．(2013～2014学年度湖南师大附中高一月考)已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．－15 B．15
C．10 D．－10
[答案] A
[解析] 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值．设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，
∴f(3)＝g(3)－5＝－15，故选A.
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
[答案] D
[解析] f(x)的对称轴是y轴，f(x)是(－∞，0]上的减函数，
则f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且
f(－2)＝f(2)＝0.如图所示，使得f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)，D选项是正确的．
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(x2)
C．y＝x·f(x) D．y＝f(x)＋x
[答案] D
[解析] ∵f(x)的定义域为R，又∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴A是偶函数；令F(x)＝f(x2)，则F(－x)＝f(x2)＝F(x)，
∴F(x)是偶函数，即B是偶函数；
令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，
∴M(x)是偶函数，即C是偶函数；
令N(x)＝f(x)＋x，
则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，
∴N(x)是奇函数，即D是奇函数，故选D.
6．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝－x，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(－x)＝－＋x＝－(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.
二、填空题
7．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝________.
[答案] 0
[解析] 由奇函数定义知f(－x)＝－f(x)，
∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，
∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.
8．(2013～2014学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(2)＝10，则f(2)＝________.
[答案] －26
[解析] ∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，
∴f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8
＝－25－8a－2b－8＝－(25＋8a＋2b)－8＝10，
∴25＋8a＋2b＝－18，
∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝25＋8a＋2b－8＝－18－8＝－26.
三、解答题
9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)、g(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f(x)＋g(x)＝ ①，
用－x代换x得f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝ ②.
由(①＋②)÷2，得f(x)＝；
由(①－②)÷2，得g(x)＝.
一、选择题
1．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
∴(2a－1)x＝0，∴a＝.
2．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一期中测试)若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)[答案] D
[解析] 本题主要考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小．因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)3．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
[答案] D
[解析] ∵偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．
因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；
若另一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2.
∴f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.
4．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则( )
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0
B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0
D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)
[答案] A
[解析] ∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，
又∵x1＋x2>0，∴x2＋x3>0，x3＋x1>0，
∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，
即f(x1)f(x2)f(x3)∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<－f(x2)－f(x3)－f(x1)，
∴2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
二、填空题
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解是______________．
[答案] (－2,0)∪(2,5]
[解析] 由于f(x)是奇函数，∴图象关于原点成中心对称，画出f(x)在定义域范围内的图象如图所示，易得f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2,5]．
6．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
[答案] －1
[解析] 由题意，知af(x)＋bg(x)，在(0，＋∞)上有最大值3，由奇函数图象关于坐标原点对称，知af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3，故af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.
三、解答题
7．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是单调减函数，试比较f与f的大小关系．
[解析] ∵a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－)＝f()，
又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴f()≥f(a2＋2a＋)．
即f(－)≥f(a2＋2a＋)．
8．已知函数f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求满足f(x－1)<0的x的取值范围．
[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即f(x)＝－x－1(x<0)，
∴f(x)＝.
∴f(x－1)＝.
当x≥1时，由f(x－1)＝x－2<0，得x<2，∴1≤x<2；
当x<1时，由f(x－1)＝－x<0，得x>0，∴0综上可知，满足f(x－1)<0的x的取值范围为
{x|09．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：
①对于任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f()；
②f(x)在(－1,1)是单调递增函数，且f()＝1.
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)为奇函数；
(3)解不等式f(2x－1)<1.
[解析] (1)令x＝y＝0，则
f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)在(－1,1)上是单调递增函数，f()＝1，
∴f(2x－1)<1＝f()可化为，
解得0∴不等式f(2x－1)<1的解集为{x|0第二章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m>0，n<0时，则直线经过( )
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
[答案] A
[解析] n＝km，∵m>0，n<0，∴k<0.故直线经过第二、四象限．
2．直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)如图所示，则( )
A．a＝b，c＝1
B．a＝b，c＝0
C．a＝－b，c＝1
D．a＝－b，c＝0
[答案] B
[解析] ∵直线过原点，∴c＝0，又直线过点(－1,1)，∴a＝b.
3．一次函数y＝kx＋(k≠0)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若k>0，则＞0否定C；若k<0，则<0.否定A、B.∴选D.
4．若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，则m与n的取值是( )
A．m>，n>－ B．m>3，n>－3
C．m<，n<－ D．m>，n<
[答案] A
[解析] ∵函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，
∴，∴.
5．已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为( )
A．－4 B．2
C．1 D．2或1
[答案] C
[解析] 令x＝0，得y＝m2－3m－2，
由题意，得m2－3m－2＝－4且m－2≠0，
解得m＝1.
当m＝2时，函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2＝－4，不是一次函数，
∴m≠2，故选C.
6．如果ab>0，bc<0，那么一次函数ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是( )
[答案] A
[解析] ∵y＝－x－，ab>0，bc<0，
∴－<0，－>0，
∴直线y＝－x－的斜率k<0，直线在y轴上的截距大于零，故选A.
二、填空题
7．已知函数y＝(k＋1)x＋k2－1，当k≠________时，它为一次函数；当k＝________时，它是正比例函数．
[答案] －1 1
[解析] 要使函数y＝(k＋1)x＋k2－1为正比例函数，则k2－1＝0，即k＝±1，
又当k＝－1时，函数y＝(k＋1)x＋k2－1为常数函数y＝0.
∴k≠－1时，函数为一次函数，
当k＝1时，函数为正比例函数．
8．已知一次函数y1＝＋2，y2＝＋3，当x∈________时，y1>y2.
[答案] (6，＋∞)
[解析] 由y1>y2，得＋2>＋3，
解得x>6，∴当x∈(6，＋∞)时，y1>y2.
三、解答题
9．已知一次函数的图象经过(－4,15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
[解析] 设此一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)①
将和代入①，
得，解得.
∴此一次函数的解析式为y＝－2x＋7.
一、选择题
1．函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[答案] C
[解析] 解法一：若a＝2，则函数y＝2x＋1在[1,2]上的最大值为5，最小值为3，满足题意；若a＝－2，则函数y＝－2x＋1在[1,2]上的最大值为－1，最小值为－3，满足题意，故选C.
解法二：当a>0时，函数y＝ax＋1是增函数，在[1,2]上的最大值为2a＋1，最小值为a＋1，由题意知2a＋1－(a＋1)＝a＝2；当a<0时，函数y＝ax＋1是减函数，在[1,2]上的最大值为a＋1，最小值为2a＋1，由题意得a＋1－(2a＋1)＝－a＝2，∴a＝－2，故选C.
2．如图，两函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
[答案] A
[解析] 由图象可知，a>0，b<0，
又∵函数y1＝ax＋b的图象过点(0，b)，排除B、D，函数y2＝bx＋a的图象过点(0，a)排除C，故选A.
3．下列图象所对应的函数中，是增函数同时也是奇函数的是( )
[答案] C
[解析] 由函数为增函数，排除B、D；又由函数为奇函数，故其图象关于原点对称，排除A，故选C.
4．一个水池有水60m3，现要将水池的水排出，如果排水管每小时排出水量为3m3，则水池中剩余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为( )
A．Q＝60－3t B．Q＝60－3t(0≤t≤20)
C．Q＝60－3t(0≤t<20) D．Q＝60－3t(0[答案] B
[解析] 当排水时间t＝0时，Q＝60m3，当排水时间t＝20时，Q＝0m3，故选B.
二、填空题
5．一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是____________．
[答案] (2，)
[解析] 一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，则有a－2>0；y随x的增大而减小，则有3a－7<0.联立以上两个不等式，解得26．若函数y＝(2m－9)·xm2－9m＋15是正比例函数，其图象经过第二、四象限，则m＝______.
[答案] 2
[解析] 由题意，得，∴m＝2.
三、解答题
7．求直线y＝－3x＋1和直线y＝2x＋6以及x轴围成的三角形的面积．
[解析] 如图所示．
设两直线的交点为A，与x轴的交点分别为B、C.
解得，得， 即A(－1,4)．
y＝－3x＋1与x轴交点为C(，0)，
y＝2x＋6与x轴交点为B(－3,0)．
∴S△ABC＝|BC|·4＝×|＋3|×4＝，
即两直线与x轴所围成的三角形面积为.
8．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(，0)，且与坐标轴围成的三角形面积为，求该一次函数的解析式．
[分析] 把题中所给两个条件转化为两个关于k和b的二元一次方程，通过解方程组求得k，b.
[解析] ∵一次函数y＝kx＋b的图象过点(，0)，
∴0＝k＋b①
又一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴的交点分别为A(－，0)，B(0，b)，
∴S△AOB＝|OA||OB|＝|－|·|b|＝，
即||·|b|＝②
把①变形成b＝－k，代入②得
|k|＝2，∴k＝2或k＝－2，
当k＝2时，b＝－5，
当k＝－2时，b＝5，
所求一次函数解析式为y＝2x－5或y＝－2x＋5.
9．某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)月用电量为100度时，应交电费________元；
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月用电量为260度时，应交电费多少元？
[解析] (1)由图可知，月用电量为100度时，应交电费60元．
(2)设所求的函数关系式为y＝kx＋b.
∵直线过点(100,60)和点(200,110)，
∴有，解得k＝，b＝10.
∴所求函数关系式为y＝x＋10(x≥100)．
(3)∵260>100，
∴将x＝260代入y＝x＋10，得y＝140.
∴月用电量为260度时，应交电费140元．
第二章 2.2 2.2.2
一、选择题
1．函数y＝x2－5x＋1的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x＝5， B．x＝－5，
C．x＝5， D．x＝－5，
[答案] A
[解析] 对称轴方程为x＝－＝－＝5，
又＝＝＝－，
∴顶点坐标为.
2．(2013·重庆理)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
[答案] B
[解析] ＝
＝，
∵－6≤a≤3，
∴当a＝－时，取最大值，
故选B.
3．(2013～2014学年度四川绵阳中学高一月考)二次函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，则当x＝1时，y的值为( )
A．－7 B．1
C．17 D．25
[答案] D
[解析] ∵函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，∴＝－2，即m＝－16，函数y＝4x2＋16x＋5，当x＝1时，y＝25，故选D.
4．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图象顶点在x轴上，其中a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] B
[解析] ∵顶点在x轴上，
∴＝＝0，
∴a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．
5．若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(1,3)
C．[1,3] D．[0,4]
[答案] C
[解析] ∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，∴对称轴x＝a，应在点1的右侧，点3的左侧或与点1、点3重合，∴1≤a≤3.
6．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．零 D．符号与a有关
[答案] A
[解析] ∵a>0，∴f(0)＝a>0，
又∵函数的对称轴为x＝－，∴f(－1)＝f(0)>0，
又∵f(m)<0，∴－10，
∴f(m＋1)>0.
二、填空题
7．函数y＝3x2＋2x＋1(x≥0)的最小值为____________．
[答案] 1
[解析] ∵函数y＝3x2＋2x＋1的对称轴为x＝－，∴函数在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，函数取最小值1.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的有关叙述：
(1)值域为R；
(2)在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增；
(3)当b＝0时，函数是偶函数．
其中正确说法的序号为________．
[答案] (3)
[解析] 二次函数的值域不可能为R，故(1)错；当a<0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减，故(2)错；当b＝0时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)正确．
三、解答题
9．已知二次函数y＝2x2－4x－6.求：
(1)此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象；
(2)x为何值时，分别有y>0，y＝0，y<0.
[解析] (1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表如下：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
－6
－8
－6
0
…
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．
(2)当函数图象在x轴上方时，即x<－1或x>3时，y>0；同理：x＝－1或x＝3时，y＝0；－1一、选择题
1．若f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵对称轴x＝，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴≥1，∴a≤－2.
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
[答案] D
[解析] ∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，
又∵b＝－(a＋c)，∴Δ＝b2－4ac＝(a－c)2>0，
∴抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，故选D.
3．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．0 B．3
C．6 D．不确定
[答案] C
[解析] 由f(3＋x)＝f(3－x)，得对称轴为直线x＝3，∴x1＋x2＝6.
4．(2013～2014学年度黑龙江哈尔滨三中高一模考)已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为11，最小值为2，则m的取值是( )
A．4 B．－2
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1，当m≤1时，函数f(x)在区间[0，m]上为减函数，当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝3不合题，∴m>1，即对称轴x＝1在区间[0，m]内，∴当x＝1时，函数f(x)取最小值f(1)＝2，当x＝m时，函数取最大值f(m)＝m2－2m＋3＝11，解得m＝4.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在区间[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)的取值范围是______．
[答案] (－∞，8]
[解析] ∵函数f(x)＝x2－2ax＋5在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)的对称轴x＝a≤1，
∴f(－1)＝1＋2a＋5＝6＋2a≤8.
6．若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是________．
[答案] [，3]
[解析] 函数f(x)的对称轴方程为x＝，
且f()＝－，∴m≥.
又∵f(0)＝f(3)＝－4，∴m≤3.
∴≤m≤3.
三、解答题
7．(2013～2014学年度海安县南莫中学高一上学期期中测试)设集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|(x－1)(x＋3)<0}．
(1)求A∩B；
(2)若使函数f(x)＝2x2＋ax＋b<0的取值集合为A∩B，求a，b的值．
[解析] (1)A＝{x|－2∴A∩B＝{x|－2(2)由题意，得－2和1是方程2x2＋ax＋b＝0的两个实根，
∴，解得.
∴a＝2，b＝－4.
8．已知函数f(x)＝(x－1)2＋n的定义域和值域都是区间[1，m]，求m、n的值．
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋n，且x∈[1，m]，
∴f(x)的最大值为f(m)＝(m－1)2＋n，
f(x)的最小值为f(1)＝n.
又∵函数f(x)的值域为[1，m]，
∴，解得.
9．已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
[解析] ∵f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，
∴函数f(x)的对称轴方程为x＝2.
当t≥2时，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为增函数，
∴当x＝t时，f(x)取最小值t2－4t＋2；
当t＋2≤2，即t≤0，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为减函数，
∴当x＝t＋2时，f(x)取最小值(t＋2)2－4(t＋2)＋2＝t2－2；
∴当0∴g(t)＝.
第二章 2.2 2.2.3
一、选择题
1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝4x B．y＝－4x
C．y＝x D．y＝－x
[答案] A
[解析] 设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)，
又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k，∴k＝4，故选A.
2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝－x＋ D．y＝－x－
[答案] B
[解析] 解法一：验证排除：点(1,3)不在直线y＝x－，y＝－x＋，y＝－x－上，故选B.
解法二：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得，解得，∴y＝x＋.
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
[答案] D
[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，
∴a＝－2，∴y＝－2x2＋bx＋c，
将点(－1,0)、(3,0)代入y＝－2x2＋bx＋c，
得，解得b＝4，c＝6，
∴y＝－2x2＋4x＋6.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且顶点为(－2,8)，则f(x)＝( )
A．－2x2－8x B．2x2－8x
C．2x2＋8x D．－2x2＋8x
[答案] A
[解析] 由题意设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋8，又∵函数图象过原点，
∴4a＋8＝0，∴a＝－2，∴y＝－2x2－8x.
5．f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc＝( )
A．－6 B．11
C．－ D．
[答案] C
[解析] ∵f(x)图象过点(0,2)，∴c＝2.
又顶点为(4,0)，∴－＝4，＝0.
解得：b＝－1，a＝，∴abc＝－.
6．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝1－x2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1
[答案] A
[解析] 设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意，得，解得.
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－1.
二、填空题
7．已知一个二次函数y＝f(x)，若f(0)＝3，f(－3)＝0，f(－5)＝0，则这个函数的解析式为__________．
[答案] y＝x2＋x＋3
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a＝，b＝，c＝3.
8．已知6x2－x－1＝(2x－1)(ax＋b)，则a＝_______，b＝__________.
[答案] 3 1
[解析] ∵6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1)，
∴ax＋b＝3x＋1，∴a＝3，b＝1.
三、解答题
9．抛物线经过点(2，－3)，它与x轴交点的横坐标是－1和3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
(3)画出草图；
(4)观察图象，x取何值时，函数值小于零？x取何值时，函数值随x的增大而减小？
[解析] (1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，把点(2，－3)代入，得
－3＝a(2＋1)(2－3)，∴a＝1.
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.
由此可知抛物线的对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
(3)抛物线的草图如图所示．
(4)由图象可知，当x∈(－1,3)时，函数值y小于零；
当x∈(－∞，1]时，y随x的增大而减小.
一、选择题
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则|OA|·|OB|等于( )
A . B．－
C．± D．无法确定
[答案] B
[解析] 由图象易知a<0，c>0，设A(x1,0)、B(x2,0)，∴|OA|·|OB|＝|x1·x2|＝－，故选B.
2．若直线y＝x＋n与直线y＝mx－1相交于点(1,2)，则有( )
A．n＝－，m＝ B．n＝1，m＝
C．n＝－，m＝－1 D．n＝，m＝3
[答案] D
[解析] 将点(1,2)分别代入可得n＝、m＝3.
3．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为( )
A．0 B．0或1
C．0或1或9 D．0或1或9或12
[答案] C
[解析] 当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点；
当a≠0时，Δ＝(a－3)2－4a＝a2－10a＋9＝0，
∴a＝1或9.
4．已知正比例函数f(x)、反比例函数g(x)的图象均过点(1,5)，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝( )
A. B.
C. 5 D.
[答案] C
[解析] 设f(x)＝mx(m≠0)，g(x)＝(n≠0)，
把点(1,5)分别代入，得m＝5，n＝5.
∴h(x)＝f(x)＋g(x)＝5x＋＝5.
二、填空题
5．已知a、b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(x)＝x2＋4x＋3，∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
又∵f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
∴，解得或.
当a＝1，b＝3时，5a－b＝2，
当a＝－1，b＝－7时，5a－b＝2.
6．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．
[答案]
[解析] ∵点(1,4)既在抛物线y＝ax2，又在直线y＝kx＋1上，
∴，解得，
∴抛物线方程为y＝4x2，直线方程为y＝3x＋1.
由，得或.
三、解答题
7．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．
[解析] 解法一：设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－＝2.
得方程组 ，
解这个方程组得a＝－2、b＝8、c＝－5.
∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.
解法二：二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值．
因为图象经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足关系式y＝a(x－2)2＋3，从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.
∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，
即y＝－2x2＋8x－5.
8．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f()＝8，试求此二次函数的解析式．
[解析] 解法一：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
根据题意，得，
解得a＝－4，b＝4，c＝7，∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝.又f()＝8，∴顶点坐标为(，8)．
则可设f(x)＝a(x－)2＋8，又f(2)＝－1.
∴a(2－)2＋8＝－1，∴a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：由f(2)＝f(－1)＝－1，知f(x)＋1＝0的两根为2和－1，
可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1，
∵f()＝8，∴a－a－2a－1＝8，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
9．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
又f(0)＝3得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a<1(3)由已知，得
2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则只要g(x)min>0即可，
∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1.
故实数m的取值范围是{m|m<－1}．
第二章 2.3
一、选择题
1．(2013·湖北文)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
[答案] C
[解析] 选项A，随时间的推移，小明离学校越远，不正确；选项B，先匀速，再停止，后匀速，不正确；选项C，与题意想吻合；选项D，中间没有停止，故选C.
2．(2013～2014学年度山东曲阜师大附中高一月考)某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
[答案] B
[解析] y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.
3．(2013～2014学年度江西师大附中高一月考)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
[答案] A
[解析] 本题考查二次函数的应用．结合图形，可得＝，得y＝24－，矩形面积S＝xy＝x(24－)＝－＋24x，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12，故选A.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为
y＝，
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
[答案] C
[解析] 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
[答案] D
[解析] 由题中图象知，甲、乙同时出发，A错误；甲、乙跑的路程相同，B错误；路程相等时，甲比乙用的时间少，所以甲的速度快，C错误．
6．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是( )
A．9 m2 B．36 m2
C．4.5 m2 D．最大面积不存在
[答案] A
[解析] 设矩形框架一边长x m，
则另一边长为＝6－x(m)．
∴面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9≤9(m2)．
二、填空题
7．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2min，需付电话费______元；通话5min，需付电话费______元；如果t≥3min，电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________________．
[答案] 3.6 6 y＝1.2t(t≥3)
[解析] 由图知，通话2分钟，需付电话费3.6元；
通话5分钟需付电话费6元；
当t≥3时，设y＝kx＋b，则有，
解得k＝1.2，b＝0，∴y＝1.2t(t≥3)．
8．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min，那么y＝f(x)的表达式为______________．
[答案] y＝
[解析] 由图象知是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得．
三、解答题
9．为了保护学生的视力，课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌、椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？
[解析] (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得，解得.
∴y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入上述函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.∴给出的这套桌椅是配套的.
一、选择题
1．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36kPa时，y＝108g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
[答案] A
[解析] 由题意设y＝kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
[答案] B
[解析] 设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)，30≤x≤54，将上式配方后得y＝－3(x－42)2＋432，当x＝42时，y取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．
3．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元
C．700元 D．860元
[答案] D
[解析] 设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4.设总的费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)要想使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少为860元．
4．如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是图中的( )
[答案] B
[解析] 单位时间内圆柱形桶中液体增加的体积相等，而漏斗容积上大下小，故液面下降先慢后快，故选B.
二、填空题
5．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
[答案] 2 250
[解析] 设每台彩电原价x元，
依题意得80%·x(1＋40%)－x＝270，解得x＝2 250.
6．(2013～2014学年度山东济南市高一调研)某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则a与b的大小关系是________________．
[答案] a>b
[解析] 本题考查函数的应用．因为b＝a(1＋10%)·(1－10%)＝a[1－(10%)2]＝a(1－)，即b＝a×.故a>b.
三、解答题
7．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
[解析] 由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
由优惠办法②得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y28．某人定制了一批地砖，每块地砖(如图所示)是边长为1 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．
问点E在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？
[解析] 设CE＝x m，则BE＝(1－x)m，
每块地砖的费用为W，且制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．
则W＝x2·30＋×1×(1－x)×20＋[1－x2－×1×(1－x)]×10
＝10x2－5x＋15＝10(x－)2＋.
当x＝＝0.25 m时，W有最小值，即费用最省．
答：当点E在距点C为0.25 m时，每块地砖所需费用最省．
9．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入资金的关系是Q1＝x，Q2＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？
[解析] 设投入甲x万元，则投入乙(3－x)万元，
利润Q1＋Q2＝x＋，
令＝t(0≤t≤)，则x＝3－t2，
∴Q＝(3－t2)＋t＝－t2＋t＋
＝－(t－)2＋，
∴当t＝，即x＝时，Q取得最大值，
此时，3－x＝.
∴为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为万元和万元．
第二章 2.4 2.4.1
一、选择题
1．函数f(x)＝2x＋7的零点为( )
A．7 B．
C．－ D．－7
[答案] C
[解析] 令f(x)＝2x＋7＝0，得x＝－，
∴函数f(x)＝2x＋7的零点为－.
2．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，
∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
3．已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )
A．－1或1 B．0或－1
C．1或0 D．2或1
[答案] C
[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.
∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C.
4．(2014，湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
[答案] D
[解析] 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，
∴f(x)＝.
∴g(x)＝.
当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．
6．函数f(x)＝x－的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，即x－＝0，∴x＝±2.
故f(x)的零点有2个．
二、填空题
7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得2m－1＝0，∴m＝.
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．
[答案] f(x)＝x2－x－6
[解析] 由题设二次函数可化为y＝a(x＋2)(x－3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)
∴a＝1，
∴f(x)＝(x＋2)(x－3)，即f(x)＝x2－x－6.
三、解答题
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－7x2＋6x＋1；
(2)f(x)＝4x2＋12x＋9.
[解析] (1)f(x)＝－7x2＋6x＋1＝－(7x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，即－(7x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－或x＝1.
∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－，1.
(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，
令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，
解得x1＝x2＝－.
∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－.
一、选择题
1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，
又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x轴也只有一个交点，
即f(－2)＝0，故选B.
2．(2013～2014学年度人大附中高一期末测试)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1,2，则实数f(x)＝cx2＋bx＋a的零点为( )
A．1,2 B．－1，－2
C．1， D．－1，－
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1,2，则，∴＝－3，＝2，于是f(x)＝cx2＋bx＋a＝a(x2＋x＋1)＝a(2x2－3x＋1)＝a(x－1)(2x－1)，所以该函数的零点是1，，故选C.
3．(2013·重庆理)若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[答案] A
[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．[－1,0]
[答案] C
[解析] 当m＝0时，x＝－<0成立，排除选项A，B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，
两根为x1＝0，x2＝－，也符合题设．
二、填空题
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)
[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
6．(2013～2014学年度辽宁鞍山一中高一期中测试)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m，m＋6，则实数c的值为________．
[答案] 9
[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－，
∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－＝0，∴f(x)＝(x＋)2.
又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，
∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，
∴(m＋)2＝(m＋＋6)2，
∴(m＋)2＝(m＋)2＋12(m＋)＋36，
∴m＋＝－3.
又∵c＝f(m)＝(m＋)2，∴c＝9.
三、解答题
7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a的取值集合．
[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．
∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，
∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝.
综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝}．
8．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－＝2，∴－＝4.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－)2－＝16－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
9．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解析] (1)∵关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点，则m＋6＝0，或
，
解得m＝－6或m≤－且m≠－6，
∴m的取值范围为m≤－.
(2)若函数有两个不同零点x1，x2，
则＋＝－4，即x1＋x2＝－4x1x2，
∴＝－，
解得m＝－3，经验证m＝－3符合题意．
第二章 2.4 2.4.2
一、选择题
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C.
2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)<0，故选B.
3．(2013～2014学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)
[答案] B
[解析] 本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0, f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25,1.5)，故选B.
4．(2013～2014学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
[答案] C
[解析] ∵f(1.4065)<0, f(1.438)>0，
∴f(1.4065)·f(1.438)<0，
又1.4∈(1.4065,1.438)，故选C.
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] B
[解析] 由表可知，f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，由函数零点存在性定理得，函数y＝f(x)在区间(2,3)、(3,4)、(4,5)各应至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B.
6．下列命题中正确的是( )
A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1
C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数
D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的
[答案] A
[解析] 设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝－1, f(2)＝－1.又因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点，从而方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2，故A正确；
由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1或0，故B错误；
零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，但不能用来判断函数零点的个数，故C错误；
由于精确度的不同，所得方程的近似解是不一样的，但精确度确定后，所得方程的近似解是惟一的，故D错误．
二、填空题
7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
[答案] －2.25
[解析] 区间[1,4]的中点为2.5，f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.1
15.6
－3.9
10.9
－52.5
－232.1
则f(x)的零点至少有________个．
[答案] 3
[解析] 因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
故f(x)的零点至少有3个．
三、解答题
9．求方程x5－x3－3x2＋3＝0的无理根．(精确到0.01)．
[分析] 若令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)(x3－3)，则方程的无理根就是x3－3＝0的根．
[解析] 令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)·(x3－3)．显然方程f(x)＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．
由于g(1)＝－2<0，g(2)＝5>0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：
端点或中点
横坐标
计算端点或中点
的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
g(1)＝－2，g(2)＝5
[1,2]
x0＝1.5
g(x0)＝0.375
[1,1.5]
x1＝1.25
g(x1)≈－1.046 9
[1.25,1.5]
x2＝1.375
g(x2)≈－0.400 4
[1.375,1.5]
x3＝1.437 5
g(x3)≈－0.029 5
[1.437 5,1.5]
x4＝1.468 75
g(x4)≈0.168 4
[1.437 5,1.468 75]
x5＝1.453 125
g(x5)≈0.068 4
[1.437 5,1.453 125]
x6＝1.445 312 5
g(x6)≈0.019 2
[1.437 5,1.445 312 5]
x7＝1.441 406 25
g(x7)≈－0.005 3
[1.441 406 25,1.445 312 5]
由于区间[1.441 406 25,1.445 312 5]的长度1.445 312 5－1.441 406 25＝0.003 906 25<0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.
一、选择题
1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
[答案] C
[解析] 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
[答案] B
[解析] ∵f(2)·f(4)<0, f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵f(－3)·f(－1)<0, f(2)·f(4)<0，
故选A.
4．(2013～2014学年度河南开封中学高一月考)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，则横线上应填的内容分别为( )
A．(0.5,1), f(0.75) B．(0,0.5), f(0.125)
C．(0,0.5), f(0.25) D．(0,1), f(0.25)
[答案] C
[解析] ∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，又函数f(x)的图象是不间断的，
∴f(x)在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f()＝f(0.25)．
由f(0.25)＝－0.234 375<0，
可以判断x0∈(0.25，0.5)．
二、填空题
5．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．
①函数图象通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
[答案] ②③
[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．
6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
[答案] 3
[解析] 由已知得，
∴f(x)＝，作图象如图所示．
由图象可知f(x)＝x的解的个数为3.
三、解答题
7．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)．
[解析] 设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
左端点
1
1.25
1.25
1.312 5
1.312 5
右端点
1.5
1.5
1.375
1.375
1.343 75
∵1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3，∴方程在区间[1，1.5]的零点精确到0.1的近似值是1.3.
8．(2013～2014学年度湖北荆州中学高一期末测试)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
[解析] (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或，
∴1(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0, f(0)＝>0, f(1)＝－<0，
∴函数零点在(0,1)，又f()＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
9．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
[解析] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f()＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间(0，)和(，1)上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
