课件42张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章
2008年5月12日14时28分，四川省发生了里氏8.0级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县，多个省市有震感，里氏5.0级地震给人的震感已经比较明显，你能计算汶川县的地震最大振幅是里氏5.0级地震最大振幅的多少倍(里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅)?3.1 指数与指数函数第三章3.1.1 实数指数幂及其运算第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？1.指数幂
an叫做a的________，a叫做幂的______，n叫做幂的______．n是正整数时，an叫做______________．n次幂底数指数正整数指数幂am＋namnam－nambma的n次方根开方运算算术根根式aa|a| [答案] D [解析] 根据有理指数幂的运算法则可知选项D错误． A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B[答案] C
[分析] 题中既有分数指数幂，又有根式，可先利用根式和分数指数幂的关系将根式转化为分数指数幂，然后再进行分数指数幂的运算．
利用指数幂进行根式计算的方法
1．一般原则
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、计算、求值，达到化繁为简的目的．
2．对于幂和根式化简结果的要求
(1)如果要化简的式子全是根式的形式，则结果用根式表示；否则，结果用分数指数幂表示．
(2)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．
(3)结果为最简形式．课件54张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.1 指数与指数函数第三章3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的图象与性质第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 指数0无意义2．指数函数的图象和性质x轴(0,1)大于1大于1上升下降R(0，＋∞)＞＜＜＜＜＞单调增单调减 [答案] C [答案] A [答案] D
4．(2013～2014学年度海安县南莫中学高一上学期期中测试)已知函数f(x＋1)＝2x，则f(3)的值为________．
[答案] 4
[解析] 令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝2t－1，∴f(x)＝2x－1.
∴f(3)＝23－1＝22＝4.
5．(2013～2014学年度江西临川一中高一月考)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．
[答案] (1,3)
[解析] 当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝3，故函数f(x)恒过定点(1,3)．6．若a2－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；
⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；
⑦y＝x10.
[分析] 根据指数函数的定义，只有形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数才叫指数函数． [解析] ①y＝10x符合定义，是指数函数；
②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；
③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；
④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；
⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；
⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；
⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
综上可知，①、⑥是指数函数．若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值． 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0
0
D．0 [分析] 首先根据图象下降，判断a的范围，再根据图象与y轴的交点的纵坐标小于1，判断b的范围．
[解析] 由图象呈下降趋势可知00，∴b<0.
[答案] D若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则( )
A．a>1 B．a>1，且m<0
C．00 D．0[答案] B [解析] y＝ax(a>0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当01时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a>1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，所以m<0，故选B. [分析] 底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图象考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡． 函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．
[分析] 由f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)可知，f(x)是对称轴为x＝1的抛物线，从而可确定b的值；再结合f(0)＝3，可确定c的值，欲比较f(bx)与f(cx)的大小，只要判断bx、cx与1的大小，这由指数函数的性质不难得出结论． 若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值． [辨析] 误解中没有对a进行分类讨论．
故比较幂值的大小：①如果底数与指数都不相同时，能化同底则先化同底，不能化为同底，就化为同指数．指数相同的用图象；底数相同的用性质．②借助于中间量0，±1等等．③含有字母的要分类讨论．2．指数函数图象的变换方法
指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)的图象变换如下：课件40张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.1 指数与指数函数第三章3.1.2 指数函数
第2课时 指数函数的应用第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？1.形如y＝af(x)(f(x)为一次、二次、简单分式、根式等)的最值(值域)问题一般用________法求解．
2．求函数y＝af(x)的单调区间时，既要考虑f(x)的单调区间，又要根据a的取值范围分类讨论．换元 令u＝f(x)，当a＞1时，y＝au在u∈(－∞，＋∞)上是____函数，若u＝f(x)在x∈[m，n]上是增函数，则y＝af(x)在x∈[m，n]上是____函数；若u＝f(x)在x∈[m，n]上是减函数，则y＝af(x)在x∈[m，n]上是____函数．当0＜a＜1时，y＝au，在u∈(－∞，＋∞)上是____函数，若u＝f(x)在x∈[m，n]上是增函数，则y＝af(x)在x∈[m，n]上是____函数，若u＝f(x)在x∈[m，n]上是减函数，则y＝af(x)在x∈[m，n]上是____函数．增增减减减增
复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性，在x∈[m，n]上(au在相应区间上)如果单调性相同(同增或同减)，则复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上____；如果单调性相反(即一增一减)，则复合的函数y＝af(x)在[m，n]上____．总之，复合函数的单调性，要看原来参与复合的两个函数的单调性，同则____，异则____，即“同____异____”．
增减增减增减[答案] B
2．(2013～2014学年度河北衡水中学高一期中测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴20＋b＝0，∴b＝－1，
∴f(x)＝2x＋2x－1.
∴f(1)＝2＋2－1＝3，
∴f(－1)＝－f(1)＝－3.3．(2013～2014学年度河南省实验中学高一期中测试)函数y＝2ax－1在[0,2]上的最大值是7，则指数函数y＝ax在[0,2]上的最大值与最小值的和为( )
A．6 B．5
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由题意知，4a－1＝7，∴a＝2.
∴指数函数y＝2x在[0,2]上的最大值与最小值的和为5.4．函数f(x)＝ax与g(x)＝a－x的图象关于__________对称．
[答案] y轴 [答案] m第1课时 对数的概念及常用对数第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 对数产生于17世纪初，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置；为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予了很高的评价．伽利略说：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”．
布里格斯(常用对数表的发明者)说：“对数的发明，延长了天文学家的寿命”．对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化了数的运算.
1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做_________________，记做__________，其中a叫做对数的______，N叫做______．
2．以10为底的对数叫做__________，log10N简记为________．
3．根据对数的定义，对数logaN(a>0，a≠1)具有下列性质：
(1)loga1＝______，logaa＝______；(2)alogaN＝______；
(3)零和负数__________．以a为底N的对数logaN＝b底数真数常用对数lgN01N没有对数 [答案] C[答案] D
3．logab＝1成立的条件是( )
A．a＝b B．a＝b，且b＞0
C．a＞0，且a≠1 D．a＞0，a＝b≠1
[答案] D
[解析] 由对数的性质可得a＞0，a＝b≠1.6．已知对数log(a－2)(5－a)，求实数a的取值范围．[分析] 根据对数式的定义求解． 已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
[解析] ∵log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，
∴log3(log4x)＝1，log4(log2y)＝1，
∴log4x＝3，log2y＝4，
∴x＝43，y＝24，
∴x＋y＝43＋24＝26＋24＝80. 求满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值．
[错解] ∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x2＋3x＝x＋3，即x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或x＝1.故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值为－3和1.
[辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1.课件31张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.2 对数与对数函数第三章3.2.1 对数及其运算
第2课时 积、商、幂的对数第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 我们知道am＋n＝am·an，那么logaM·N＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？对数的运算法则logaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋ …＋logaNk的对数的和logaM－logaN减去nlogaM1.(2013·浙江理)已知x，y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
[答案] D
[解析] 选项A,2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故错误；选项B,2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)≠2lg(x＋y)，故错误；选项C,2lgx·lgy＝(2lgx)lgy，故错误；选项D,2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，正确．
2．2log189＋log184＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 2log189＋log184＝log1881＋log184＝log18(81×4)＝log18182＝2. [答案] D
4．(2013～2014学年度徐州市高一期中测试)计算：lg20＋log10025＝________.
[答案] 2[答案] 4
6．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan.
[解析] 由a2＝m，a3＝n，得
logam＝2，logan＝3，
∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.关于x的方程(lgx)2－(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，求x1·x2的值．
[解析] 设t＝lgx，则原方程变形为t2－(lg2＋lg3)t＋lg2·lg3＝0.
∴t1＋t2＝lg2＋lg3＝lg6，
∵x1、x2为原方程的根，
∴lgx1＋lgx2＝lg6，
∴x1·x2＝6.
带有附加条件的对数式的解决方法
对于带有附加条件的对数式的化简、求值问题，首先对附加条件进行变形、化简，并充分利用它的最简结果来解决问题．其次还应注意字母参数的取值范围，在具体求解过程中注意“真数大于0”这一隐含条件．课件33张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.2 对数与对数函数第三章3.2.1 对数及其运算
第3课时 换底公式与自然对数第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
由上面的问题你能得出什么结论？1.换底公式
一般地，logbN＝__________，其中b＞0，b≠1，N＞0，a＞0，a≠1，这个公式称为对数的换底公式．
2．自然对数
以______________为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作________．e＝2.71828… lnN 1.(2013·陕西文)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
[答案] B
4．若log23·log325·log5m＝2，则m＝________.
[答案] 25．已知lg2＝a，lg3＝b，用a、b表示log125＝________. 已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.设a＝log8225，b＝log215，求用b表示a的关系式．转化思想
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用．在解题过程中应注意：
(1)针对具体问题，选择恰当的底数；
(2)换底公式与对数运算的结合使用；
(3)换底公式的正用与逆用． 已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值． 课件52张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.2 对数与对数函数第三章3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的图象与性质第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 1.函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)叫做________函数，其中x是自变量．
2．对数函数的图象和性质
(1)定义域为__________；值域：y∈R.
(2)a>1时，y＝logax是增函数，在x∈(0,1)上y为负值．在x∈__________上y为正值；
0(3)对数函数的图象过定点________，即当x＝1时，y＝0.对数(0，＋∞)(1，＋∞)(1，＋∞)(1,0)1.(2014·江西理，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由x2－x>0，得x>1或x<0，故选C.[答案] C [答案] D
[解析] 本题主要考查与对数函数有关的分段函数的求值．由于f(1)＝lg1＝0，则f(a)＋f(1)＝f(a)＝0.当a>0时，由f(a)＝lga＝0得a＝1；当a≤0时，由f(a)＝a＋3＝0得a＝－3，所以实数a的值等于－3或1.故选D. [答案] D 5．若logm9＜logn9＜0，那么m、n与0,1的大小关系是__________．
[答案] 0＜n＜m＜1 [答案] C 比较下列各组中两个数的大小：
(1)log23.4和log28.5; (2)log0.53.8和log0.52；
(3)log0.53和1; (4)log20.5和0；
(5)log0.30.7和0; (6)log34和0.
[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log0.50.5，(4)中将0化为log21，(5)中将0化为log0.31，(6)中将0化为log31，然后再利用对数函数的单调性比较大小． [解析] (1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.4(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8>2，∴log0.53.8(3)∵1＝log0.50.5，∴log0.53(4)∵0＝log21，∴log20.5(5)∵0＝log0.31，∴log0.30.7>log0.31，
∴log0.30.7>0.
(6)∵0＝log31，∴log34>log31，
∴log34>0. [答案] (1)D (2)B [答案] A 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？
(3)2012年春节晚会上，现场多次响起响亮的掌声，假设最响亮的一次音量达到90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？
解不等式loga(2x－5)>loga(x－1)． [辨析] 误解中默认为底数为a>1，没有对底数a分类讨论．1．比较两个数大小的方法
关于比较两个数的大小问题，可借助图象，也可根据单调性，亦可作差比较．要注意根据题目特点选择恰当方法．
(1)同底的两个对数值比较大小，常利用对数函数的单调性．
(2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法——或利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小，或利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．
(3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量，如0、1等来比较大小．
(4)对于两个数值相近的数，常以某一常数为媒介来比较大小． 比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76,0.76与60.7；
(4)log20.4，log30.4.
[分析] 观察各组数的特征，利用对数函数的单调性比较大小．
[解析] (1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log2π>log20.9.
(2)∵log20.3log0.21＝0，
∴log20.3(3)∵60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1，
又log0.76∴60.7>0.76>log0.76. (4)底数不同，但真数相同．根据y＝logax的图象在a>1,0log20.4.2．分类讨论思想
不等式logx(2x＋1)>logx(3－x)的解集为____________．课件39张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.2 对数与对数函数第三章3.2.2 对数函数
第2课时 对数函数的应用第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大．古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？1.形如y＝loga f(x)(f(x)为一次、二次、简单分式、根式等)的最值(值域)问题一般用________法求解．
2．复合的两个函数y＝logau与u＝f(x)的单调性，在公共定义域[m、n]上，如果单调性相同(同增或同减)，则复合后的函数y＝loga f(x)在[m，n]上______；如果单调性相反(即一增一减)，则复合后的函数y＝loga f(x)在[m、n]上______．换元增减 [答案] C [答案] D [答案] A [答案] 0 5．(2014·天津文，12)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区间为(－∞，0)． 求函数y＝log3(x2－x－6)的单调区间．
[分析] 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． 已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象．
[解析] (1)要使函数有意义，应满足|x|＞0，
∴x≠0，即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx的图象对称到y轴的左侧，两部分图象共同组成函数f(x)的图象，如图所示. 已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
[错解] A 令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0.
在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A.
[辨析] 本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．定义域或值域的逆向问题的解法
对于形如y＝logaφ(x)的定义域(或值域)为R的问题，关键是抓住对数函数y＝logax的定义域和值域，并结合图象来分析和解决问题．
对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.反过来，要使函数y＝logax的值域为R，由图可知，x必须取遍(0，＋∞)内所有的值(一个也不能少)．因此，若y＝logaφ(x)的定义域为R，则对于任意实数x恒有φ(x)>0，特别是当φ(x)为二次函数时，要使y＝logaφ(x)的定义域为R，则有a>0，且二次函数的Δ<0.
若已知y＝logaφ(x)的值域为R，则φ(x)必须取遍(0，＋∞)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t＝φ(x)而言，必须有t＝φ(x)的值域包含(0，＋∞)(此时y＝logaφ(x)的定义域一般包含于t＝φ(x)的定义域之中)．反之，若φ(x)≥m(m>0)，则当a>1时，有y＝logaφ(x)≥logam；当00，且二次函数的Δ≥0. 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围． 课件34张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.2 对数与对数函数第三章3.2.3 指数函数与对数函数的关系第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 剪纸是人民群众喜闻乐见的一门艺术，常采用折叠对称的手法信手剪出优美的画面，那你知道同底的指数函数与对数函数关于谁对称吗？1.当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为________．反函数 2．指数函数与对数函数的关系
(1)(a>0，且a≠1)y＝logaxy＝ax(a>0，且a≠1)y＝x(2)通过下图可知，当x>1时，对相同的自变量的增量，指数函数的增量与对数函数的增量存在着很大的差异：指数函数y＝ax(a>1)在[1，＋∞)内随着x的增长，函数值的增长速度____________，而对数函数y＝logax(a>1)在[1，＋∞)内的增长的速度逐渐变得________．逐渐加快很缓慢 1.函数f(x)＝3x(0A．(0，＋∞) B．(1,9]
C．(0,1) D．[9，＋∞)
[答案] B
[解析] 函数f(x)＝3x(0A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] D
[解析] ∵函数y＝3x与y＝log3x是互为反函数，∴其图象关于直线y＝x对称．
4．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f[f(2)]的值为__________．
[答案] 0
[解析] 由题意知f(x)＝log2x，∴f(2)＝log22＝1，
∴f[f(2)]＝f(1)＝log21＝0.
5．若函数y＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)＝__________.
[答案] －2
[解析] 令1＋3－x＝10，得3－x＝9，∴－x＝2，
∴x＝－2.6．已知y＝f(x)如表所示：求y＝f－1(x)． 求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
[分析] 要求y＝2x＋1的反函数，应用y表示x，求出反函数后，要注明反函数的定义域，即原函数的值域． 函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
[解析] 因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．
[答案] B已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________.
[答案] 1
[解析] 由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图象上，∴5＝22＋b，∴b＝1. 函数y＝log2x(x≥1)的反函数的定义域为________．
[错解] R ∵函数y＝log2x的反函数为y＝2x，
∴x∈R.
[辨析] 误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域．
[正解] [0，＋∞) ∵函数y＝log2x的反函数的定义域为原函数y＝log2x的值域．
又∵x≥1，∴log2x≥0，
∴反函数的定义域为[0，＋∞)． 数形结合思想
设方程x＋lgx＝2的根为m，方程x＋10x＝2的根为n，求m＋n的值．
[解析] 由x＋lgx＝2，得lgx＝－x＋2，
由x＋10x＝2，得10x＝－x＋2.
在同一坐标系中画出函数y＝lgx，y＝10x，y＝－x＋2的图象，如图所示．由图可知，m是直线y＝－x＋2与函数y＝lgx的图象交点A的横坐标，n是直线y＝－x＋2与函数y＝10x的图象交点B的横坐标，
∵y＝lgx与y＝10x互为反函数，
∴其图象关于直线y＝x对称，故点A、B也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为(m，n)，(n，m)，
而点A、B又在直线y＝－x＋2上，
∴m＝－n＋2，n＝－m＋2, 即m＋n＝2.课件43张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.3 幂函数第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 1.一般地，我们把形如y＝xα的函数称________，其中x是________，α是______．
2．幂函数的性质
一般地，当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：
(1)图象都通过点________，________；
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而______；
(3)在第一象限内，α>1时，图象是向____凸的；0<α<1时，图象是向____凸的；
(4)在第一象限内过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展．幂函数自变量常数(0,0)(1,1)增大下上当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：
(1)图象都通过点________；
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而______，图象是向____凸的；
(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；
(4)在第一象限内，过________点后，|α|越大，图象下落的速度越快．
需要注意一点的是无论α>0或α<0，所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，且图象都过点________．(1,1)减小下(1,1)(1,1)[答案] B 2．(2013～2014学年度清华附中高一月考)图中C1，C2，C3为三个幂函数(y＝xa)在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是( )
[答案] A
[解析] 本题主要考查幂函数的图象的应用．由幂函数在第一象限的图象特征得C1的指数小于0，C2的指数在(0,1)上，C3的指数大于1，故选A.[答案] B [答案] －1 [答案] 1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[分析] 由题目知函数的表达形式与m有关．可以根据幂函数的定义列出m的方程，再据题中“当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数”验证所求m的值是否适合题意． [解析] ∵f(x)＝(m2－m－1) xm2＋m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2＋m－3＝3，
∴f(x)＝x3满足题意．
当m＝－1时，m2＋m－3＝－3，
此时f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，舍去．
综上可知， f(x)＝x3.[答案] B 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并画出它的图象．
[解析] 由已知，幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3，
又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴m2－2m－3是偶数，将m＝0,1,2分别代入m2－2m－3检验得，m＝1.此时f(x)＝x－4.
f(x)＝x－4的图象如图所示： (2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示：
由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)．
∴①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．2．数形结合思想
[答案] B 课件51张PPT。成才之路·数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修1 基本初等函数(Ⅰ)第三章3.4 函数的应用(Ⅱ)第三章课前自主预习 方法警示探究 课堂典例讲练 易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧 假设A型进口汽车关税税率在2008年是100%，在2013年是25%,2008年A型进口汽车每辆价格为64万元(其中含32万元关税税款)．已知与A型汽车性能相近的B型国产汽车，2008年每辆价格为46万元，若A型汽车的价格只受关税高低的影响，为了保证2013年B型汽车的价格不高于A型汽车价格的90%，B型汽车的价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？1.解答应用题重点要过三关：
(1)________关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和y与利率r及存期x的关系．
(2)________关：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题．事理文理
(3)________关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．
2．几种不同增长的函数模型
(1)指数函数模型：____________________________
(2)对数函数模型：___________________________
(3)幂函数模型：_______________________________数理y＝axn＋b(a≠0) y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0)y ＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)1.(2013～2014学年度河北正定中学高一月考)某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
[答案] D
[解析] 本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选D.2．(2013～2014学年度山东烟台二中高一月考)某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T＝t3－3t＋60.若t＝0表示中午12：00，下午t取值为正，则上午8：00的温度是( )
A．112℃ B．58℃
C．18℃ D．8℃
[答案] D
[解析] 本题考查函数的应用．由题意，上午8：00时，t＝－4，所以温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)，故选D.3．今有一组实验数据如下表： [答案] C (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________h后，学生才能回到教室．[答案] 4.9百帕 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)． [分析] 具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关系．
[解析] (1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)＝100(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3；
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10＝112.7(万)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万，即
100×(1＋1.2%)x＝120，
∴1.012x＝1.20.
∴x＝log1.0121.20＝15(年)．
答：人口总数y与年份x间的函数关系是
y＝100×(1＋1.2%)x，
10年后的城市人口总数约为112.7万，大约15年后该城市人口将达到120万人．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表：
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天，lg2＝0.3010)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)
[解析] (1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物. [分析] 本题给出了y与x的函数关系式，(1)将x＝8 100代入函数关系式即可；(2)静止即游速为零；(3)由鲑鱼A的游速大于B的游速，可列出不等式，解不等式即可． (2013～2014学年度湖北黄冈中学高一月考)某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，根据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)? 已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出它们的图象，结合图象比较f(6)，g(6)，f(2 012)，g(2 012)的大小．
[错解] 列表：图象为： [辨析] 造成此种错误的原因是没有养成严格的作图习惯，想当然这样画．对于在同一坐标系下，作两个或两个以上函数的图象，要充分利用它们各自的特点及关系作图，有助于我们分析解决问题． [正解] 列表： 描点连线，如图：结合图象及运算可知f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1x2.
从图象上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 012)>g(2 012)．
又g(2 012)>g(6)，
∴f(2 012)>g(2012)>g(6)>f(6)．1．建立函数模型的常用方法
(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立数学模型的方法．
(2)列表分析法：即通过列表的方式来探求数学模型的方法．
(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系进行分析来建立数学模型的方法． “红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
[解析] 由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过(1,2)点，所以图象由指数函数来模拟比较好，故选A.
[答案] A2．数形结合思想
某林区2012年木材蓄积量为200万立方米．由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米． [解析] (1)现有木材蓄积量为200万立方米；
1年后，木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)(万立方米)；
2年后，木材蓄积量为200(1＋5%)2(万立方米)；
……
x年后，木材蓄积量为200(1＋5%)x(万立方米)．
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.
∵x虽然以年为单位，但木材每时每刻都在生长，
∴x≥0且x∈R.
∴函数的定义域为[0，＋∞)． (2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，列表如下：
图象如图所示．
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)，所经过的时间x.
∵8∴9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．