人教版2022年九年级上册第21章 一元二次方程 单元检测卷 含解析

人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3x﹣2＝y B．x C．x+1 D．x2+2x＝3
2．下列方程中，有一个根为的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2+4＝0
6．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．聚会结束，统计出一共握手55次，如果参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，那么有（ ）人参加了聚会．
A．11 B．12 C．10
8．某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．已知实数x，y满足，则的值是（ ）
A．1或 B．或2 C．2 D．1
10．若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
二、填空题（共24分）
11．关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ．
12．方程的解为 ．
13．一元二次方程的根的判别式为 ．
14．如果是方程的一个根，那么代数式的值是 ．
15．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为 m ．
16．若，是一元二次方程（）的两个根，那么的值是 ．
三、解答题（共46分）
17．（8分）解下列方程：
(1)（用配方法）；
(2)．
18．（6分）已知关于x的方程．
(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为3，求的值．
19．（6分）有一面积为140平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18米，另三边用竹篱笆围成墙，与墙平行的一边开了一扇2米宽的门，竹篱笆总长32米，求养鸡场的长和宽各多少米？
AI
20．（8分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
21．（8分）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．
22．（10分）如图所示，中，，，．

(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
(2)在（1）的运动情况下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
参考答案
1．D
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是一元二次方程，利用一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、方程3x﹣2＝y含有2个未知数，所以A选项不符合题意；
B、方程x，不是整式方程，所以B选项不符合题意；
C、方程x+1是分式方程，所以C选项不符合题意；
D、方程x2+2x＝3是一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
2．C
【分析】分别利用因式分解法解方程，进而判断得出答案．
【详解】解：A、
，
解得：，故此选项错误；
B、
，
解得：，故此选项错误；
C、
，
解得：，故此选项正确；
D、
，
解得：，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握因式分解法解方程是解题关键．
3．D
【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
【详解】解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，
得：1＋m﹣3＝0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．C
【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．
5．C
【分析】分别根据四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8<0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5>0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；
D、Δ＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查判别式的应用，理解记住一元二次方程判别式的公式是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得．
【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴为，
∴在第二象限，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
7．A
【分析】参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，有人参加了聚会，每个人需要握次，考虑重复的情况，一共握手次，据此列方程求解即可．
【详解】解：设有人参加了聚会，根据题意列方程，
，
解得，，（舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握应用模型是解题的关键．
8．B
【分析】根据原价、降价的百分比、售价的关系列方程即可．
【详解】解：第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元，
因此可列方程为：，
故选B．
【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找准等量关系．
9．C
【分析】令，则，整理为，根据，即可得出答案．
【详解】解：令，
∵，
∴
∴，
，
，
，
∴或，
解得：或（舍），
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将看做一个整体．
10．B
【分析】先利用根与系数的关系式求得x1+x2=2，x1x2=-3，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根
∴x1+x2=-=2，x1x2==-3
∴x1+x2+2x1x2=2-3=-1．
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．掌握根与系数的关系式：x1+x2=-，x1x2=是解答本题的关键．
11．3
【分析】由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程是一元二次方程．
12．，
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
13．
【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
14．6
【分析】根据方程的解的意义得到，然后代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程的解是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值．
15．1
【分析】设道路的宽度为，根据草坪的面积为，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设道路的宽度为，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
∴道路的宽为，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形中草地面积，列出方程．
16．
【分析】根据一元二次方程的定义，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，即，
∴，
∴，．
（2）解：，
，
，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程．
18．(1)详见解析
(2)2039，详见解析
【分析】（1）计算出即可得出答案；
（2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可．
【详解】（1）∵
，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴，
整理，得：，
∴
．
【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．
19．养鸡场的长为14米，宽为10米
【分析】设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米，利用长方形的面积计算公式结合养鸡场的面积为140平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合墙长18米可确定的值，再将的值代入中可求出垂直于墙的边的长度．
【详解】解：设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又墙长18米，
，
．
答：养鸡场的长为14米，宽为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．(1)
(2)元
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
21．(1)
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
（2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将代入得，
解得，
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为．
（2）∵，
∴，
则．
又∵，
∴，是一元二次方程的两个根，
则，
∴．
（3）∵，；
∴；
即；
∴．
又∵；
∴；
即．
∵，为两个不相等的实数，
∴，
则，
∴．
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)经过2秒或4秒，的面积等于
(2)线段不能将分成面积相等的两部分，理由见解析
(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为
【分析】(1) 设经过秒，使的面积等于，解方程即可．
(2) 设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，判断方程根的情况即可．
(3) 分类求解即可．
【详解】（1）设经过秒，使的面积等于，
依题意得：，
解得：，，
经检验，均符合题意．
即经过2秒或4秒，的面积等于．
（2）设经过秒，线段将分成面积相等的两部分，
依题意得：的面积，
的面积，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分．
（3）①点在线段上，点在线段上，
设经过秒，的面积为，依题意得：，
整理得：，解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，
；
②点在线段上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，经检验，符合题意．
③点在射线上，点在射线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，整理得：，
解得：，，
经检验，不符合题意，舍去，；
综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，根的判别式，分类思想，熟练掌握解方程和根的判别式是解题的关键．