2022-2023学年山东省淄博市临淄区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市临淄区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰形曲线
C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线
2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形应该是( )
A. B. C. D.
4. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和连接并延长到点，使连接并延长到点，使连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是( )
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为( )
A. B. C. D.
8. 在直角坐标系中，已知等边的顶点坐标，，则顶点的坐标为( )
A. B. 或
C. D. 或
9. 如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 直线过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则
D.
10. 如图，已知，，的垂直平分线交于，于，以下结论：是等腰三角形；射线是的角平分线；的周长；≌正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知，则 ．
12. 把直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴的交点坐标为______ ．
13. 如图，在等腰中，为直角若，且，则的长为______ ．
14. 如图，一束光线从点出发，经过轴上点反射后经过点，则光线从点到点经过的路径长为______．
15. 年春，在一次长跑拉力赛中，小明和小赵运动的路程千米随时间分变化的图象全程如图所示当两人行驶到离出发点千米时第一次相遇，请问两人比赛开始后______ 分钟时第二次相遇．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
计算：；
解方程组：．
17. 本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：≌．
18. 本小题分
如图，在与中，，为直角，与相交于点，．
若，求的度数；
若，，求的长．
19. 本小题分
如图，某隧道的截面是一个半径为的半圆形，以中间线为界分成两车道，一辆高、宽的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗中间线宽忽略不计？
20. 本小题分
学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题．
在平面直角坐标系中，画出函数的图象：
列表：完成表格
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
画出的图象；
结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
直接写出函数图象是由函数的图象怎样平移得到？
21. 本小题分
如图，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
拼成的正方形的面积为______，边长为______．
如图，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是______．
如图，网格中每个小正方形的边长为，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______．
22. 本小题分
某通讯公司推出，两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间分与费用元之间的函数关系如图所示．
当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？
如果某用户一个月通讯时间是分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．
23. 本小题分
如图，在直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．
求直线的表达式；
线段与相等吗？请说明理由；
求四边形的面积；
已知点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、，能组成直角三角形，符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查剪纸问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．
根据要求动手操作可得结论．
【解答】
解：根据要求动手操作可知，得到的图形是选项A．
故选A．
4.【答案】
【解析】证明：在和中，
，
≌，
．
故选：．
利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：．
根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．
本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
平分，平分，
，
，
．
故选：．
利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意如图：
等边的顶点坐标，，
，，
点在轴上，
，
点的坐标为或．
故选：．
先根据题意画出图形，求出等边三角形的边长，再求出等边三角形的高，即可得出答案．
此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是等边三角形的性质、点的坐标，关键是根据题意画出图形，再根据点的坐标求出等边三角形的高．
9.【答案】
【解析】解：该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与轴的交点位于轴下方，
，，
，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数的值随的增大而减小，
又，
，故C正确，不符合题意；
该函数的值随的增大而减小，且当时，，
当时，，即，故D错误，符合题意．
故选：．
根据函数图象可知，，即得出，可判断；将点代入，即得出，即直线的解析式为，由当时，，即可判断；由图象可知该函数的值随的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数的值随的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断．
本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，，的值随的增大而减小是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
由，可知：，由是的垂直平分线可知：，，所以正确．
三角形的角平分线是线段，错误．
由可知：，的周长，正确．
由可知：，而为锐角三角形，所以不正确．
【解答】
解：由，可知：，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等腰三角形，
正确，
又，
，
线段是的角平分线，
错误，
由，可知，
的周长，
正确，
，而为锐角三角形，
错误，
正确的为．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
先根据求出即可．
本题考查了平方根，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．
12.【答案】
【解析】解：直线沿向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
当时，则，
平移后直线与轴的交点坐标为：．
故答案为：．
利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与轴的交点．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质得，由角所对直角边等于斜边的一半可求出．
本题主要考查了等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，
延长交轴于则点、关于轴对称，．
作轴于点．则，．
．
即光线从点到点经过的路径长为．
延长交轴于根据光的反射原理，点、关于轴对称，路径长就是的长度．结合点坐标，运用勾股定理求解．
本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．
15.【答案】
【解析】解：根据甲分钟运动了千米，
所以可得甲这段时间的速度为：分，
故从千米运动至千米需要分钟，
即千米对应的时间为分钟，
设直线的解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
故直线的解析式为，
当时，，
即这次比赛的全程是，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
即直线的解析式为，
联立直线与直线的解析式可得：，
解得：，
即第二次相遇的时间是第分钟．
故答案为：．
根据甲分钟运动了千米，可求出甲这段时间的速度，也可求出千米时，对应的时间为分，设直线的解析式为，将点代入可得出的值，继而将代入可得出比赛的全程；从而得出点坐标，即求出直线的解析式，联立直线与的解析式即可得出第二次相遇的时间．
本题考查了一次函数的应用，解题关键是能根据图象，求出函数解析式．
16.【答案】解：
；
；
由，得
，
将代入，得
，
解得，
将代入中，得
，
所以该方程组的解为．
【解析】利用平方、绝对值、算术平方根分别计算即可．
利用乘方、负指数幂、立方根、零次方分别计算即可．
将第一个方程变形，用表示，然后代入第二个方程计算即可．
本题考查了实数的运算与二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则与步骤是解题关键．
17.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】由“”可证≌即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
18.【答案】解：在和中，，，
又，
，
，
；
在中，，
，
即，
；
由知，
，
在中，，，
，
在中，，，
．
【解析】在和中依据三角形内角和定理可得，从而可得，在中根据三角形内角和定理可得结论；
由可得，在中由勾股定理得，在中根据勾股定理可求出．
本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，求出是解答本题的关键．
19.【答案】解：如图所示：
当时，，
，
一辆高、宽的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道．
【解析】根据题意直接构造直角三角形，进而得出当时，的长，即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：填表如下：
故答案为：，，，，，，；
如图所示：
的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小，函数有最小值，最小值为；
函数图象向右平移个单位得到函数图象．
把的值代入解析式计算即可；
根据图象所反映的特点写出即可；
根据函数的对应关系即可判定．
本题考查了描点法画一次函数图象的方法，一次函数的图象的运用，一次函数的性质以及一次函数图象的几何变换．
21.【答案】
【解析】解：设拼成的正方形的边长为，
则，
，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
由勾股定理得：，
点表示的数为，
故答案为：；
根据图形得：，即新的正方形的面积为，新正方形的边长为．
故答案为：
设拼成的正方形的边长为，根据总面积列方程可解答；
根据勾股定理计算，并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
22.【答案】解：设第种通讯方式的解析式为，
将代入，得，
，
，
；
设第种通讯方式的解析式为，
将代入，得，
，
．
，
当时，，
解得；
答：当通讯时间是分钟时，两种收费方式的费用一样；
当时，
元，
元，
，
应该选择方式收费方式更经济实惠．
【解析】根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式和，再另解方程即可；
把分别代入中解析式，解答即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，关键是根据图象求出函数解析式．
23.【答案】解：设直线的表达式为，
把点，代入得，
，
解得，
直线的表达式为；
与相等，理由如下：
，，
；
，，
，
；
过点作轴于点，如图，
，，，．
，，，，，
，
，
要使得是等腰三角形，则有两种可能：
以为腰：
的最小值应为，
另一个腰应为：，
当时，是等腰三角形，
设，则，
由勾股定理得，，
，
解得，，
点的坐标为或，
以为底，，为腰：
当点在内时，设，
则有：，，
，
，
，
，
解得，，
当点在轴的负半轴上时，设，
则有：，，
由可知，不符合题意，舍去，
当点在外轴的正半轴上时，设，
则有：，，
，
由可知，不符合题意，舍去，
以为底，，为腰时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【解析】运用待定系数法求出直线的表达式即可；
根据两点间距离公式分别求出与的长，再进行判断即可；
过点作轴于点，根据即可求出结论；
分为腰和为底两种情况分类讨论即可．
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数解析式，图形的面积，勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
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