2023-2024学年重庆市綦江区古南中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市綦江区古南中学八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，点在第象限．( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是( )
A. 了解某班学生的视力情况
B. 调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能
C. 调查某市中小学生每天体育锻炼的时间
D. 疫情期间，对火车站的旅客进行体温检测
3. 如图，点在直线上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4. 若一个关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
5. 下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，点，，，，，用你发现的规律确定的坐标为( )
A. B. C. D.
7. 下列命题为假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 垂线段最短
D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8. 已知，下列不等式的变形错误的是( )
A. B. C. D.
9. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
10. 对于，定义一种新运算，规定其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论正确的个数为( )
；
若，则，有且仅有组正整数解；
若对任意实数，均成立，则．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. ______．
12. 如图，是由经过平移得到的，交于点，若，则 ______ ．
13. 已知是方程的解，则代数式的值为______ ．
14. 已知点在轴上，那么点的坐标是______ ．
15. 某次知识竞赛共有道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要不低于分，那么他至少答对______ 道题．
16. 如图，已知，是射线上一点不包括端点，连接，，将沿翻折得到，且点在直线与直线之间若，，则 ______ ．
17. 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解下列方程组：
；
．
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
解不等式组：
解不等式，并在数轴上表示解集；
解不等式组，并写出它的所有整数解．
21. 本小题分
如图，已知，与相交于点，从点引一条射线交线段于点，若，，求证：．
证明：已知，
______ 两直线平行，同旁内角互补，
又已知，
______ ；
______ 同位角相等，两直线平行．
______ 两直线平行，同位角相等，
已知，
______ ，
已知，
等量代换．
22. 本小题分
某区正在创建全国文明城区，某校七年级开展创文知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
七年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分 频数 频率
请根据所给信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量为多少？
写出表中、的值，请补全频数分布直方图；
已知七年级有名学生参加这次竞赛，且成绩在分以上的成绩为优秀，估计该年级学生成绩为优秀的有多少人？
七年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
写出，，的坐标；
画出，并求出的面积．
24. 本小题分
如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，．
求证：；
求证：．
25. 本小题分
每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割已知台中型收割机和台小型收割机一天共能收割小麦亩，台中型收割机比台小型收割机每天多收割亩．
求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为元和元，该合作社种植了冬小麦亩，合作社计划租用两型收割机共台，在天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过元，试求出所有满足条件的租用方案并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点第一象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2.【答案】
【解析】解：了解某班学生的视力情况，适合进行普查，故本选项不合题意；
B.调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能，适合进行普查，故本选项不合题意；
C.调查某市中小学生每天体育锻炼的时间，适合进行抽样调查，故本选项符合题意；
D.疫情期间，对火车站的旅客进行体温检测，适合进行普查，故本选项不合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】
【解析】解：，
，
．
，
，
故选：．
先根据平角的定义求出的度数，再根据垂线的定义得出，从而求出的度数．
本题考查了垂线的定义，平角的定义，理解互相垂直的意义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据数轴表示得：，
故选：．
根据数轴写出解集，再判断求解．
本题考查了在数轴上表示解集，掌握数轴的特点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、不能再化简，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，平方根，立方根的意义进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由点的横坐标：，，，，，得规律为，
由点的纵坐标：，，，，，得规律，
的坐标为．
故选：．
解出横纵坐标组成数列的规律即可．
本题考查了点的规律的探究，数列规律的探究是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、垂线段最短，是真命题，不符合题意；
D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角相等、平行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，故本选项不符合题意，
B.因为，所以，故本选项不符合题意，
C.因为，，故本选项不符合题意，
D.因为，当时，，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐一进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
9.【答案】
【解析】解：设用张制作盒身，张制作盒底，
根据题意得．
故选：．
根据本题中的相等关系盒身的个数盒底的个数；制作盒身的白铁皮张数制作盒底的白铁皮张数，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
．
．
对于，．
正确．
对于，由题意得，，
．
正整数解为，，，，共组．
正确．
对于，显然当时，有总成立，
正确．
故选：．
依据题意，首先根据，求出，的值，然后再对各个结论逐一判断即可得解．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题时需要熟练掌握并理解．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：
根据立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根的定义，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】解：是由经过平移得到的，
，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质得，所以，再根据邻补角的性质得．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键．
13.【答案】
【解析】解：把代入方程得：
，
所以．
故答案为：．
把代入方程得出，变形后代入，即可求出答案．
本题考查了二元一次方程的解，能求出是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由点在轴上，得：
．
解得，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据轴上点的纵坐标等于零，可得的值，根据的值，可得答案．
本题考查了点的坐标，轴上点的纵坐标等于零，轴上点的纵坐标等于零．
15.【答案】
【解析】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
设小明答对了道题，则答错或不答道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设，
，
，
过点作，

，
，
，，
，
由翻折的性质得：，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，则，过点作，由平行线的性质得，，进而得，再由翻折的性质得：，，据此可求出，进而得，，，然后再根据两直线平行同旁内角互补得，据此可得的度数．
此题主要考查了图形的翻折变换及性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的翻折变换的性质，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
17.【答案】
【解析】解：解不等式组，得：，
关于的不等式组有且只有个整数解，
个整数解为，，，，
，
解得：，
整数为，，，，，，
解方程组，得：，
方程组的解是整数，
或，
，
故答案为：．
先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组的整数解得出关于的不等式组，求出的取值范围，根据为整数得出为，，，，，，求出方程组的解，再根据方程组有整数解得出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能求出的范围是解此题的关键．
18.【答案】解：，
把代入得，，
解得；
把代入得，，
故方程组的解为；
，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
故方程组的解为．
【解析】先用代入消元法求出的值，再把的值代入即可得出的值；
先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用二次根式的性质，算术平方根的意义和立方根的意义化简运算即可；
利用绝对值的意义，算术平方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，二次根式的性质，算术平方根的意义和立方根的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
将不等式解集表示在数轴上如下：
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、、．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】 同角的补角相等 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：已知，
两直线平行同旁内角互补，
又已知，
同角的补角相等；
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换
故答案为：；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等．
根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．
本题考查平行线的性质与判定，根据题意找到正确的角度关系是解题的关键．
22.【答案】解：，
答：本次调查的样本容量为；
，，
补全频数分布直方图如下：
人，
答：估计该年级学生成绩为优秀的大约有人．
【解析】用“”的频数除以它的频率可得样本容量；
根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系可得、的值，根据的值可以将频数分布直方图补充完整；
用七年级的人数乘样本中成绩为优秀的学生所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
23.【答案】解：，，；
如图，，的面积．

【解析】利用点和的坐标特征确定平移的方向与距离，利用此平移规律写出，，的坐标；
利用中，，的坐标描点即可，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24.【答案】证明：，，
，
同位角相等，两直线平行，
由可得出，
，
，
内错角相等，两直线平行，
．
【解析】由，，可得，
由可得出再结合可得，即可得出，从而得出．
本题考查平行线的性质和判断，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
25.【答案】解：设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，
由题意得：，
解得：，
每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，
答：每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩；
设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，
由题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为或，
共有种租用方案，
方案、租用台中型收割机，台小型收割机；
方案、租用台中型收割机，台小型收割机；
方案租金为：元，
方案租金为：元，
，
最经济的方案为：方案：租用台中型收割机，台小型收割机，此种方案的总租金为元．
【解析】设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，根据“台中型收割机和台小型收割机一天共能收割小麦亩，台中型收割机比台小型收割机每天多收割亩”，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可；
设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，根据“恰好用天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租用方案，分别计算各租用方案的租金进行比较即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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