青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高三上学期开学考试（理科）数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高三上学期开学考试（理科）数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 668.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-19 14:47:47 | ||
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文档简介
海湖中学2023-2024学年高三上学期开学考试
理科数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆，为参数）的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．下列极坐标方程表示圆的是（ ）
A． B． C． D．
6．圆的极坐标方程为，则该圆的圆心极坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普遍方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．当与有两个公共点时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线与曲线关于极轴对称，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．极坐标方程化为直角坐标方程是（ ）
A． B． C． D．
11．过椭圆（为参数）的右焦点作直线l：交于M，N两点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．参数方程（为参数，且）化为普通方程是______．
14．若点在参数方程（为参数）表示的曲线上，则______．
15．双曲线的渐近线方程为______．
16．若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为______．
三、解答题（17题10分，其它各12分，共70分）
17．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
（1）
（2）
18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线的两个交点为A，B，求的值．
19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，设点为坐标原点，直线（参数与曲线的极坐标方程为．
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于A，B两点，证明：．
20．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于A、B两点，求的值．
21．在直角坐标系xoy中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，分别为与轴、轴的交点．
（1）写出的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为，求直线的极坐标方程．
22．设曲线在平面直角坐标系中的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线．
（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并求的直角坐标方程（化为标准方程）；
（Ⅱ）求曲线和两交点之间的距离．
理科数学开学考试参考答案：
1．A
【分析】从变换规则入手，代入新方程化简可得．
【详解】把代入，得，化简可得，故选A．
【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键．
2．A
【分析】利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程，从而求得圆心坐标．
【详解】∵圆，变形为，两式平方后相加得：，故圆心坐标为．
故选：A．
3．C
【分析】消去参数得到椭圆的标准方程后求出可得椭圆的离心率．
【详解】利用平方消元有，故，，所以，，故选C．
【点睛】椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角，另外我们需利用来消元．
4．C
【分析】由代值计算即可．
【详解】直接代入公式即得所以它的直角坐标是．故选C．
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．
5．A
【详解】对于A．，表示圆心在极点，半径为4的圆；
对于B．，表示的非负半轴；
对于C．，表示直线；
对于D．，表示直线
故选A．
6．B
【详解】圆的极坐标方程化为，则对应的直角坐标方程为，即，圆心，对应的极坐标为，故选择B．
7．B
【分析】先变形，平方后相减消去参数，得到普通方程
【详解】由得到，又，
两式平方后相减得：，即．
故选：B．
8．D
【分析】求得曲线的普通方程、曲线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得的取值范围．
【详解】，，两边平方相加得，
所以表示圆心为，半径为1的圆的下半部分．
，，，即，
依题意，与有两个公共点，所以，，
两边平方得，，解得，
结合图象可知．故选：D
9．B
【分析】将方程化为直角坐标方程，然后求出该方程关于极轴对称的方程，再转化为极坐标方程即可．
【详解】∵，∴，
将，，代入上式，得，
∴曲线关于极轴对称的曲线的直角坐标方程为，
化为极坐标方程为，
即．故选：B．
10．A
【详解】试题分析：原极坐标方程可化为，
所以其化为直角坐标方程是，即，故答案选A．
考点：极坐标方程和平面直角坐标方程之间的关系．
11．B
【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值．
【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线l的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得．故，（异号）．故．故选B．
【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．
12．D
【分析】消参化简整理得，即得方程对应的曲线．
【详解】将代入，化简整理得，同时不为零，且的符号一致，故选D．
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
13．
【分析】由题得，再把两式相加即得参数方程的普通方程．
【详解】由题得，两式相加得，∴．
所以普通方程为．故答案为：
【点睛】（1）本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．（2）参数方程消参常用的方法有三种．①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数．②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简．③恒等式消参：通过方程计算出，再利用三角恒等式消去参数．
14．
【分析】将点代入参数方程，解方程即得解．
【详解】由点在参数方程，（为参数）表示的曲线上，
得解得．故答案为
【点睛】本题主要考查点与参数方程的关系，考查三角方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
15．
【详解】分析：由双曲线的参数方程求直角坐标方程，根据渐近线方程公式求出渐近线方程即可．
详解：由参数方程可得直角坐标方程为，所以，，
渐近线方程为，即．
点睛：由参数方程化为直角坐标方程时，可以将方程平方后作差，注意焦点的位置对渐近线方程的影响．
16．
【分析】将极坐标方程转化为普通方程得到圆心为，再根据点到直线的距离公式得到答案．
【详解】圆的极坐标方程为，即，，圆心为，圆心到直线的距离为．故答案为：
17．（1）；（2）；
【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题．
18．（1）线的普通方程为；（2）6．
【详解】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得点的直角坐标，消去参数可得曲线的普通方程为；
（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线的普通方程，得到关于的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值．
试题解析：（1）由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，
所以，消去参数的曲线的普通方程为：．
（2）点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，设其两个根为，所以：，,
由参数的几何意义知：．
19．（1）l：，；（2）证明见解析．
【分析】（1）在直线的参数方程利用代入消元法消去即可得到其普通方程，将曲线的极坐标方程两边同乘，然后利用互化公式即可求得其普通方程；
（2）设出点的坐标，然后联立直线与曲线的普通方程，从而利用韦达定理可使问题得证．
【详解】（1）由直线的参数方程消去得普通方程，
由曲线的坐标方程两边同乘，得，即
所以曲线的普通方程．
（2）设，，由，
消去得，所以，，
则，∴．
20．（1） （2）8
【分析】（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出曲线的直角坐标方程；
（2）利用弦长公式求解即可．
【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标系方程为；
（2）由题意直线方程为，代入曲线，得，
设两点的坐标分别为，，
则，
又，，∴，即的值为8．
21．（1）；，；（2），．
【分析】（1）先利用两角差的余弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即得．
（2）先在直角坐标系中算出中点的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线的极坐标方程即可．
【详解】（1）由得，
从而的直角坐标方程为，即，
时，，所以
时，，所以；
（2）点的直角坐标为
点的直角坐标为
所以点的直角坐标为，则点的极坐标为，
所以直线的极坐标方程为，．
【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了过原点的直线的极坐标方程的形式，属于基础题．
22．（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（1）先根据代入消元将的参数方程化为普通方程，根据，，将的极坐标方程化为直角坐标方程
（2）根据点到直线距离公式求出圆心到直线距离，再根据垂径定理求出弦长．
试题解析：（I）消参后得的普通方程为．
由，得，
∴，∴的直角坐标方程为．
（Ⅱ）∵圆心到直线的距离，∴．
理科数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆，为参数）的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．下列极坐标方程表示圆的是（ ）
A． B． C． D．
6．圆的极坐标方程为，则该圆的圆心极坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普遍方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．当与有两个公共点时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线与曲线关于极轴对称，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．极坐标方程化为直角坐标方程是（ ）
A． B． C． D．
11．过椭圆（为参数）的右焦点作直线l：交于M，N两点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．参数方程（为参数，且）化为普通方程是______．
14．若点在参数方程（为参数）表示的曲线上，则______．
15．双曲线的渐近线方程为______．
16．若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为______．
三、解答题（17题10分，其它各12分，共70分）
17．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
（1）
（2）
18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线的两个交点为A，B，求的值．
19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，设点为坐标原点，直线（参数与曲线的极坐标方程为．
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于A，B两点，证明：．
20．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于A、B两点，求的值．
21．在直角坐标系xoy中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，分别为与轴、轴的交点．
（1）写出的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为，求直线的极坐标方程．
22．设曲线在平面直角坐标系中的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线．
（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并求的直角坐标方程（化为标准方程）；
（Ⅱ）求曲线和两交点之间的距离．
理科数学开学考试参考答案：
1．A
【分析】从变换规则入手，代入新方程化简可得．
【详解】把代入，得，化简可得，故选A．
【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键．
2．A
【分析】利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程，从而求得圆心坐标．
【详解】∵圆，变形为，两式平方后相加得：，故圆心坐标为．
故选：A．
3．C
【分析】消去参数得到椭圆的标准方程后求出可得椭圆的离心率．
【详解】利用平方消元有，故，，所以，，故选C．
【点睛】椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角，另外我们需利用来消元．
4．C
【分析】由代值计算即可．
【详解】直接代入公式即得所以它的直角坐标是．故选C．
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．
5．A
【详解】对于A．，表示圆心在极点，半径为4的圆；
对于B．，表示的非负半轴；
对于C．，表示直线；
对于D．，表示直线
故选A．
6．B
【详解】圆的极坐标方程化为，则对应的直角坐标方程为，即，圆心，对应的极坐标为，故选择B．
7．B
【分析】先变形，平方后相减消去参数，得到普通方程
【详解】由得到，又，
两式平方后相减得：，即．
故选：B．
8．D
【分析】求得曲线的普通方程、曲线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得的取值范围．
【详解】，，两边平方相加得，
所以表示圆心为，半径为1的圆的下半部分．
，，，即，
依题意，与有两个公共点，所以，，
两边平方得，，解得，
结合图象可知．故选：D
9．B
【分析】将方程化为直角坐标方程，然后求出该方程关于极轴对称的方程，再转化为极坐标方程即可．
【详解】∵，∴，
将，，代入上式，得，
∴曲线关于极轴对称的曲线的直角坐标方程为，
化为极坐标方程为，
即．故选：B．
10．A
【详解】试题分析：原极坐标方程可化为，
所以其化为直角坐标方程是，即，故答案选A．
考点：极坐标方程和平面直角坐标方程之间的关系．
11．B
【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值．
【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线l的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得．故，（异号）．故．故选B．
【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．
12．D
【分析】消参化简整理得，即得方程对应的曲线．
【详解】将代入，化简整理得，同时不为零，且的符号一致，故选D．
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
13．
【分析】由题得，再把两式相加即得参数方程的普通方程．
【详解】由题得，两式相加得，∴．
所以普通方程为．故答案为：
【点睛】（1）本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．（2）参数方程消参常用的方法有三种．①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数．②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简．③恒等式消参：通过方程计算出，再利用三角恒等式消去参数．
14．
【分析】将点代入参数方程，解方程即得解．
【详解】由点在参数方程，（为参数）表示的曲线上，
得解得．故答案为
【点睛】本题主要考查点与参数方程的关系，考查三角方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
15．
【详解】分析：由双曲线的参数方程求直角坐标方程，根据渐近线方程公式求出渐近线方程即可．
详解：由参数方程可得直角坐标方程为，所以，，
渐近线方程为，即．
点睛：由参数方程化为直角坐标方程时，可以将方程平方后作差，注意焦点的位置对渐近线方程的影响．
16．
【分析】将极坐标方程转化为普通方程得到圆心为，再根据点到直线的距离公式得到答案．
【详解】圆的极坐标方程为，即，，圆心为，圆心到直线的距离为．故答案为：
17．（1）；（2）；
【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题．
18．（1）线的普通方程为；（2）6．
【详解】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得点的直角坐标，消去参数可得曲线的普通方程为；
（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线的普通方程，得到关于的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值．
试题解析：（1）由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，
所以，消去参数的曲线的普通方程为：．
（2）点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，设其两个根为，所以：，,
由参数的几何意义知：．
19．（1）l：，；（2）证明见解析．
【分析】（1）在直线的参数方程利用代入消元法消去即可得到其普通方程，将曲线的极坐标方程两边同乘，然后利用互化公式即可求得其普通方程；
（2）设出点的坐标，然后联立直线与曲线的普通方程，从而利用韦达定理可使问题得证．
【详解】（1）由直线的参数方程消去得普通方程，
由曲线的坐标方程两边同乘，得，即
所以曲线的普通方程．
（2）设，，由，
消去得，所以，，
则，∴．
20．（1） （2）8
【分析】（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出曲线的直角坐标方程；
（2）利用弦长公式求解即可．
【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标系方程为；
（2）由题意直线方程为，代入曲线，得，
设两点的坐标分别为，，
则，
又，，∴，即的值为8．
21．（1）；，；（2），．
【分析】（1）先利用两角差的余弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即得．
（2）先在直角坐标系中算出中点的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线的极坐标方程即可．
【详解】（1）由得，
从而的直角坐标方程为，即，
时，，所以
时，，所以；
（2）点的直角坐标为
点的直角坐标为
所以点的直角坐标为，则点的极坐标为，
所以直线的极坐标方程为，．
【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了过原点的直线的极坐标方程的形式，属于基础题．
22．（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（1）先根据代入消元将的参数方程化为普通方程，根据，，将的极坐标方程化为直角坐标方程
（2）根据点到直线距离公式求出圆心到直线距离，再根据垂径定理求出弦长．
试题解析：（I）消参后得的普通方程为．
由，得，
∴，∴的直角坐标方程为．
（Ⅱ）∵圆心到直线的距离，∴．
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