向量数量积

课件8张PPT。平面向量的数量积泉州七中 王剑峰2004年5月一、引入：一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角向量的数量积1．两个非零向量夹角的概念说明：
（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直， 记a⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0?≤?≤180?已知非零向量a与ｂ，作 ＝a， ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有
a?b =|a||b|cos?，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；在数量积中，若a?0，且a?b=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由a?b = b?c 能否推出a = c ？(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3．“投影”的概念：
定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|。4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1? e?a = a?e =|a|cos?2? a?b ? a?b = 03? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，
a?b = ?|a||b|。特例：a?a = |a|2或4? cos? =5? |a?b| ≤ |a||b|例1 判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0； ②0·a＝0；
③0－ ＝ ； ④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；
⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；
⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a?(ｂ·с）；
⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，
当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，
③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a·ｂ.例3 判断下列命题的真假：
在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；
在△ABC中，若 ,则△ABC是钝角三角形；
△ABC为直角三角形的充要条件是例3 判断下列命题的真假：
在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；
在△ABC中，若 ,则△ABC是钝角三角形；
△ABC为直角三角形的充要条件是例4 试证明：若四边形ABCD满足
则四边形ABCD为矩形.五、作业：习题5.6 1~6. 《优化设计》P81 强化训练 1~8.例5 设正三角形ABC的边长为