福建省泉州市第六中学2022-2023学年高一下学期期中模块测试数学试题（Word版含答案）

《泉州六中2022-2023学年下学期高一年数学科期中模块测试》
（本试卷共22题，满分150分，共4页，考试时间120分钟）
班级 姓名 座号
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
2.在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则（ ）
A．2 B．4 C． D．5
4．已知角是第三象限角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5. 已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7． 下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
8. 已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对5分，有选错的0分，部分选对的2分）
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为-2 B．的最小值为1
C．若，则t的值为2 D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称
D．在区间上的值域为
11. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（ ）
A． B．
C．或 D．
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，△BOC, △AOC , △AOB的面积分别为，则有．设O是锐角△ABC内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为△ABC的垂心，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，设，则的值为___________.
14. 若向量，且与垂直，则实数_______．
15． 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．
16． 定义平面非零向量之间的一种运算“”，记（其中是非零向量，的夹角）．若，均为单位向量，且，则________．
解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在△ABC中，已知，，______，解这个三角形.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
20. 已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边．
(1)请写出与的关系式，并求当时，的值；
(2)求的取值范围．
21. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点作，垂足分别为，记，四边形的周长为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.
22.若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
《泉州六中2022-2023学年下学期高一年数学科期中模块测试》
答案解析
（本试卷共22题，满分150分，共4页，考试时间120分钟）
班级 姓名 座号
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算性质，结合平面向量共线的性质进行判断即可.
【详解】因为，
所以，，三点共线，
故选：A
2.在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边.
【详解】在中，由正弦定理得，
，即，
解得：.
故选：A.
3．在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】根据向量数量积的几何意义可得，即可求值.
【详解】由题设，.
故选：B
4．已知角是第三象限角，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
答案】D
【分析】先利用诱导公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
又角是第三象限角，所以，
所以，
所以.
故选：D.
5. 已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【详解】设，则，则，
则，
故选：．
6．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的投影向量公式直接求得.
【详解】依题意在上的投影向量为
.
故选：A.
7． 下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
【答案】D
【分析】由，得，则可得，可求得，，分别为的中点，则由已知可得为的中点，再结合已知的数据可求得结果
【详解】因为，所以，
因为，所以∽，
所以，所以，
因为，，
所以，
设，分别为的中点，
因为，
所以，
所以为的中点，
因为，，所以，
所以，
所以，
所以
故选：D
8. 已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【详解】
当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则
则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，则
（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.
故线段MN的最短长度为
故选：D.
选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对5分，有选错的0分，部分选对的2分）
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为-2 B．的最小值为1
C．若，则t的值为2 D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是
【答案】BC
【分析】A选项：利用向量共线列方程，求出t，即可判断；
B选项：求出，利用二次函数求最值，即可判断；
C选项：由列方程，即可判断；
D选项：利用向量夹角公式直接求解.
【详解】A选项：若，则，解得：，故A错；
B选项：，所以，当t=-1时，取得最小值为1，故B正确；
C选项：，
若，即，解得：，故C正确；
D选项：若与的夹角为钝角，则且，，所以，且，解得：且，故D错误．
故选：BC
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称
D．在区间上的值域为
【答案】CD
【分析】根据图象求出，利用三角函数的伸缩平移变换可得
，结合整体代换法和三角函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由图可知，对于函数：，，
又函数图象过点，所以，
解得，由得，
所以，根据题意可得，
A：函数的最小正周期为，故A错误；
B：由，
所以其对称中心为，故B错误；
C：由，当时，故C正确；
D：由得，所以，
所以，故D正确.
故选：CD
11. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案.
【详解】解：如图：在中，，
由正弦定理有， ，故A正确.
在中，由余弦定理得，
因为， 所以，故B正确
由正弦定理得，
所以，故或者，
因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，△BOC, △AOC , △AOB的面积分别为，则有．设O是锐角△ABC内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】C
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：
由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：
由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得，，
则，
令，
由，则，
同理：，，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，设，则的值为___________.
【答案】2
【分析】利用平面向量加减法的三角形法则及数乘向量的意义把、与用表示出即可得解.
【详解】因，则，
，
而，于是有，，
所以的值为2.
故答案为：2.
14. 若向量，且与垂直，则实数_______．
【答案】
【分析】利用两向量垂直，数量积等于零的坐标运算计算即可.
【详解】由题可知，得，解得
故答案为：
15． 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．
【答案】解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=中，，而∠ADC=45°，,,答案应填．
【详解】试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，.
考点：本小题考查了解三角形的有关知识.
点评：在解三角形时，可以考虑构造直角三角形来解决这样解决起来方便，特别是涉及等腰三角形时，否则就按一般的解三角形的方法来求解.
16． 定义平面非零向量之间的一种运算“”，记（其中是非零向量，的夹角）．若，均为单位向量，且，则________．
【答案】
【分析】由数量积的定义可得，的夹角，利用新定义和向量模长的计算公式以及数量积的定义可得答案．
【详解】，且，，又，则；
，
故答案为：
解答题（本题共6小题，共70分）
17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在△ABC中，已知，，______，解这个三角形.
【答案】答案见解析.
【分析】根据正弦定理，内角和定理，余弦定理,结合三角恒等变换讨论求解即可.
【详解】解：方案一：选条件①.
由正弦定理，得，
由三角形内角和定理，得，
由正弦定理，得得
方案二：选条件②.
解法一：由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
由三角形内角和定理，得，
由正弦定理，得
解法二：由余弦定理，得，即，
整理得，解得（舍），或，
由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
由三角形内角和定理，得.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）先利用同角三角函数基本关系式求出，再利用两角和的余弦公式进行求解；（2）先利用同角三角函数基本关系式求出，再利用两角差的余弦公式进行求解.
试题解析：（1）∵，，∴
（2），
∵，，∴
∵，∴
点睛：本题考查两角和差的余弦公式；在解决三角恒等变换问题时，要注意“角角关系”优先考虑，尽量用已知角表示所求角，如：,
等.
19. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
20. 已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边．
(1)请写出与的关系式，并求当时，的值；
(2)求的取值范围．
21. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点作，垂足分别为，记，四边形的周长为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.
【答案】（1）；（2）时，.
【详解】试题分析：（1）利用直角三角形中的三角函数定义得到相关边长，利用周长公式和三角恒等变换进行求解；（2）利用三角函数的性质进行求解.
试题解析：（1），
，
（2），，当时，，
所以时，.
22.若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
【详解】（1）解：函数不是为“函数”，理由如下：
因为，
，所以，，
因此，函数不是为“函数”.
（2）解：函数满足，所以，函数为周期函数，且周期为，
因为，则.
①当时，，
则；
②当，则，
则，
所以，.
综上所述，，
所以，函数在上的单调递增区间为、.
（3）解：由（2）可得函数在上的图象如下图所示，
下面考虑方程在区间的根之和.
①当或时，方程有两个实数解，其和为；
②当时，方程有三个实数解，其和为；
③当时，方程有四个实数解，其和为.
当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，
所以，当时，；
当或时，；
当时，；
当时，.
因此，.