江苏省海头高级中学2007—2008学年度高三模拟试卷及答案

江苏省海头高级中学2007—2008学年度高三模拟试卷
数 学 试 卷 (文科)
2007-12-15
一、填空题（本大题共14小题，每小题5 分，共70分，把答案填在题中横线上）
1．函数的定义域是 ；
2．“”是“”的 条件；
3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 ；
4．设，且复数是纯虚数，则的值为 ；
5．如果数据x1、x2、…、xn 的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的方差为 ；
6．如右图为函数的图象，则不等式的解为 ；
7．已知向量，，若向量，则 ；
8．若函数的定义域为，则的取值范围为 ；
9．已知函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为 ；
10．若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 ；
11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ；
12．如果函数在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意有，若在区间上是凸函数，那么根据上述结论，在△ABC中的最大值是 ；
13．对于函数f (x )定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
① f (x1 + x2) = f (x1)·f (x2)； ② f (x1·x2) = f (x1) + f (x2)；
③ ＞0； ④ f ()＜．
当f (x ) = 10x时，上述结论中正确结论的序号是 ；
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如右图所示。根据图中提供的信息，回答下列问题：若当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
二、解答题（共6小题，满分90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
在中，已知，，．
（1）求的值； （2）求的值． 16、（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
如图，在直四棱柱中，已知，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面
，并说明理由．
17、（本题满分15分，第1小题10分，第2小题5分）
运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油升, 司机的工资是每小时14元.
(1) 求这次行车总费用关于的表达式；
(2) 当为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值．
18、（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
19、（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和。
20、（本题满分18分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）
设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意都有成立，求实数的取值江苏省海头高级中学2007—2008学年度高三模拟试卷
数 学 试 卷 答 案(文科)
2007-12-15
一、填空题（本大题共14小题，每小题5 分，共70分）
1．；2．充分不必要； 3．4；4．－１； 5．； 6．； 7.；
8．； 9．； 10.或 ； 11.； 12． 13．①③④　14．0.6
二、解答题（共6小题，满分90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（Ⅰ）解：在中，，…………………2分
由正弦定理，．…………………………………………………………………4分
所以．…………………………………………………………6分
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，…………………………………………………8分
，…………………………………………………10分
．
．…………………………………………………………………………………12分
16．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形．
．……………………………………………3分
又，，
平面，
平面，
．……………………………………5分
平面，
且，
平面，……………………………………6分
又平面，
．……………………………………………7分
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．…………………15分
17．解: (1) 设行车所用时间为………………………………………1分
…………………………8分
所以, 这次行车总费用y关于x的表达式是
（或: ……………………………………10分
（2）,………………………12分
仅当时,
上述不等式中等号成立…………………………………………………………14分
答：当x约为56.88km/h时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元.……15分
18．解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，
过且斜率为的直线方程为．………………………………………2分
代入圆方程得，
整理得．　　　①………………………………………4分
直线与圆交于两个不同的点等价于
，…………………………………6分
解得，即的取值范围为． …………………………………7分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③…………………………………10分
而．
所以与共线等价于，…………………………13分
将②③代入上式，解得．………………………………………………………14分
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数…………………………15分
19．（1）当n=1时， ………………………………………2分
当n≥2时 ，得 ……………………………………5分
即数列的通项公式为 ………………………………7分
（2） 当n=1时， ……………………………………………9分
当时
故时 ………………………………………12分
设数列的前n项和为 =
= ………………………15分
20．解：（Ⅰ）∵ 函数是定义在R上的奇函数，
∴
∵
∴ ．
又在处的切线方程为，
由
∴ ，且， ………………………………………2分
∴ 得 ………………………………5分
（Ⅱ）
依题意对任意恒成立，
∴ 对任意恒成立， ………………………………7分
即 对任意恒成立，
∴ ． ………………………………10分
（Ⅲ）解一：，
即
∴ ………………………………12分
即对任意恒成立，
记，其中
则 ………………………………14分
∴ 当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
∴ 在上的最大值是，则；………………………16分
记，其中
则
所以 在上单调递减，
∴ 即在上的最小值是，则；
综合上可得所求实数的取值范围是． ………………………………18分
解二：设，
则，
当时，，
①当时，在上，
在单调递减，
故，即，没有适合条件的；
②当时，在上，
在单调递增，
故，即，没有适合条件的；
③当时，，
（舍去）
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，所以；
综合上可得所求实数的取值范围是． ………………………………18分