(共20张PPT)
第4课时
12.2 三角形全等的判定
1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际
问题；
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进
行有条理的思考并进行简单的推理．
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
1、边边边(SSS)
3、角边角(ASA)
4、角角边(AAS)
2、边角边(SAS)
如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若 A= D，AB=DE，
则△ABC与△ DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
ASA
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（2）若 A= D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填
“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全
等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则
△ABC与△DEF （填“全等”或
“不全等”）根据_____（用简写法）.
全等
SSS
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
A
B
C
A1
B1
C1
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐
角.(ASA)或(AAS)
⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
下面让我们一起来验证这个结论.
A
B
C
A1
B1
C1
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个Rt△A′C′B′使∠C′=∠C ，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB，
（1）你能试着画出来吗？与小组交流一下.
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上，它们全等吗？你能发现什么规律？
⑴ 作∠MC＇N=90°;
C＇
M
N
⑵ 在射线C＇M上截取线段
C＇B＇=CB;
M
N
B＇
⑶ 以B＇为圆心,BA为半径画弧，交射线C＇N于点A＇;
C＇
M
N
B＇
A＇
⑷连接A＇B＇.
C＇
M
N
B＇
A＇
C＇
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
【例】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
【例题】
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
1.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.
例5
A
B
C
D
【证明】∵AC⊥BC, BD⊥AD,
∴∠C 与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
又∵AB=BA
AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴BC=AD.
A
F
C
E
D
B
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
【跟踪训练】
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AE=CF,
∴AF=CE.
又∵AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
A
B
C
D
E
F
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
BD=CD.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴ BD=CD.
【解析】
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，又∠ABC=∠DCE=90°，DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以△DCE也和△ABC全等．
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
在Rt△ACB和Rt△ADB中,
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
【解析】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形
判定全等的方法: SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形
特殊的判定方法：HL.(共20张PPT)
12.2 三角形全等的判定（2）
创设情景
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？。
A
B
知识回顾
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
A
B
C
D
E
F
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
AB=DE
BC=EF
CA=FD
探究1
对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
E
如图， △ABC和△ADE中，如果 DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，∠C= ∠ AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。
画法：
2. 在射线AM上截取AB= 3cm
3. 在射线AN上截取AC=4cm
这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？
若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC
1. 画∠MAN= 45°
4. 连接BC
∴△ABC就是所求的三角形
把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？
探究2
问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？
3㎝
5㎝
300
A
B
C
3㎝
5㎝
300
D
E
F
问：如图△ABC和△ DEF 中，
AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？
3㎝
5㎝
300
A
B
C
3㎝
5㎝
300
D
E
F
三角形全等判定方法
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
A
B
C
D
E
F
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
分别找出各题中的全等三角形
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
D
C
A
B
(2)
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
练一练
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD
边:
角:
边:
AB=CB(已知)
∠ABD= ∠CBD(已知)
？
A
B
C
D
(SAS)
现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:
问AD=CD，BD平分∠ADC吗？怎么证明
例一
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。
问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
A
B
C
D
例题变式1
A
B
C
D
已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。
问∠A=∠ C 吗？
例题变式2
A
B
C
D
O
补充题：
1 .如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。
2. 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。
A
B
C
D
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。
问题解决
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。
A
B
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
△ACB≌△DCE
AB=DE
想一想
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
E
F
D
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
想一想
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
探究3
猜一猜：
是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？
如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=BD， ∠B=∠B
他们全等吗？
B
A
C
D
注：这个角一定要是这两边所夹的角
课堂小结:
2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角形
1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)
3、会判定三角形全等
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．
2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE， BE∥DF，BE＝DF．
求证：△ABE≌△CDF．
作业布置(共17张PPT)
人教版八年级（上册）
12.2 三角形全等的判定
(第3课时)
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等要具备什么条件
复习
边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了（如下图），你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？
怎么办？可以帮帮我吗？
创设情景,实例引入
C
B
E
A
D
先任意画出一个△ABC，
再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，
∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B 。把画好
的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，
它们全等吗？
探究1
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，
使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
画法：
2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
1、画A/B/＝AB；
△A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
有两角和它们夹边对应
相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”）。
探究反映的规律是：
∠A=∠A’ （已知 ），
AB=A’C（已知 ），
∠B=∠C（已知 ），
证明：在△ABE和△A’CD中，
所以 △ABE≌△A’CD（ASA）。
用数学语言表述：
现在就练
点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证： △ABE≌△ACD.
1.
证明：在△ABE和△ACD中，
∠B =∠C，
AB =AC ，
∠A =∠A ，
∴ △ABE ≌△ACD（ASA）．
2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AD
1
2
3
4
证明：在△ABD和△ABC中，
∠3+ ∠ ABD=∠4+ ∠ABC=180°
∵ ∠3=∠4
∴ ∠ABD=∠ABC
又有∠1=∠2，AB=AB
∴ △ABD ≌ △ABC
∴AC=AD
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
探究2
A
B
C
D
E
F
能得到两三角形全等，但不能利用“角边角”判定。
引入了一种新的判定三角形全等的方法：
有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
AE=A’D，
∠A=∠A’ ，
∠B=∠C，
证明：在△ABE和△A’CD中，
所以 △ABE≌△A’CD（ASA）。
用数学语言表述：
如图，∠1=∠2，∠C=∠D，
求证：AC=AD
证明：
1
2
现在就练
如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
在△ABD和△ABC中，
∠1=∠2 （已知），
∠D=∠C（已知），
AB=AB（公共边），
所以△ABD≌△ABC （AAS）。
所以AC=AD（全等三角形对应边相等）。
证明：
1
2
（1）学习了角边角、角角边；
（2）注意角角边、角边角中两角与边的区别；
（3）会根据已知两角画三角形；
（4）进一步学会用推理证明。
课本P41练习第2题；
P44习题12.2第5题。
课后作业(共17张PPT)
12.2 三角形全等的判定(1)
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
A
B
C
D
E
F
1、 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
知识回顾
情境问题:
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
探究：
2.给出两个条件：
①一边一内角：
②两内角：
③两边：
30°
30°
30°
30°
30°
50°
50°
2cm
2cm
4cm
4cm
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等。
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm，7cm，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？
探究新知
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
AB=DE
BC=EF
CA=FD
A
B
C
D
E
F
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
{
例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
应用迁移
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
1.写出在哪两个三角形中
2.摆出三个条件用大括号括起来
3.写出全等结论
证明的书写步骤：
归纳
1.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
解：要证明△ABC ≌△ FDE，还应该有AB=DF这个条件
∵ DB是AB与DF的公共部分，且AD=BF
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF
练一练
2. 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED，即BE=CD。
在AEB和ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC
C
A
B
D
E
{
3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
D
A
B
C
证明：在△ABD和△CDB中
AB=CD
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△ACD（SSS）
（已知）
（已知）
（公共边）
∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等）
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
4、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
解：有三组。
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；
∵BD=CD，BH=CH，DH=DH
∴△DBH≌△DCH（SSS）
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△ABH和△ACH中
解：
①∵E、F分别是AB，CD的中点（ ）
又∵AB=CD
∴AE=CF
在△ADE与△CBF中
AE=
=
∴△ADE≌△CBF ( )
∴AE= AB CF= CD（ ）
1
2
1
2
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.
①△ADE≌△CBF
②∠A=∠C
线段中点的定义
CF
AD
AB
CD
SSS
△ADE≌△CBF
全等三角形对应角相等
已知
A
D
B
C
F
E
CB
② ∵
∴ ∠A=∠C ( )
=
BC
BC
△DCB
BF=DC
或 BD=FC
A
B
C
D
解： △ABC≌△DCB
理由如下：
AB = CD
AC = BD
=
△ABD ≌ （ ）
S S S
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
A
E
B D F C
小结
2. 三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3.书写格式：①准备条件；
②三角形全等书写的三步骤。
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
习题12.2 复习巩固1、2．
作业布置
