3.2圆对称性--垂径定理课件
图片预览
文档简介
课件33张PPT。九年级数学(下)第三章圆 圆的对称性(1)
-----垂径定理
1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴? 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。你能发现图中有哪些等量关系？
请你说说它们相等的理由。连接OA,OB,则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
⌒⌒⌒⌒垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.CD⊥AB, ∵ CD是直径,∴ AM=BM,下列图形是否具备垂径定理的条件？火眼金睛 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E则AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4厘米在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理OA＝∴⊙O的半径为5厘米。厘米若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。练一练如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。 练一练1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:由 ① CD是直径③ AM=BM┗ CD⊥AB,垂径定理的逆定理 CD是直径 AM=BM● ┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.M 判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）?√练一练?课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。
2.还有什么疑惑请提出来 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD证明：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。练一练则 AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?EF└└MN挑战自我 做一做挑战自我 画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。FEDOCAB挑战自我 做一做反思小结：
布置作业：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
3、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于AB。
求证：。OCAEBDF13、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦AB交小圆于C、D.
求证：AC＝DB。OACBDE如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.MN垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. DC赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.r4r-4思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.例：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥. 练习、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.⌒
-----垂径定理
1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴? 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。你能发现图中有哪些等量关系？
请你说说它们相等的理由。连接OA,OB,则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
⌒⌒⌒⌒垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.CD⊥AB, ∵ CD是直径,∴ AM=BM,下列图形是否具备垂径定理的条件？火眼金睛 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E则AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4厘米在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理OA＝∴⊙O的半径为5厘米。厘米若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。练一练如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。 练一练1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:由 ① CD是直径③ AM=BM┗ CD⊥AB,垂径定理的逆定理 CD是直径 AM=BM● ┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.M 判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）?√练一练?课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。
2.还有什么疑惑请提出来 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD证明：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。练一练则 AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?EF└└MN挑战自我 做一做挑战自我 画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。FEDOCAB挑战自我 做一做反思小结：
布置作业：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
3、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于AB。
求证：。OCAEBDF13、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦AB交小圆于C、D.
求证：AC＝DB。OACBDE如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.MN垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. DC赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.r4r-4思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.例：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥. 练习、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.⌒