博文学校2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题（答案）
单选：1-5 DDACB 6-8BBC
二、多项选择：9.BCD 10.BD 11.ACD 12.ACD
三、填空：13./0.5 14.15 15. 16.
四、解答题
17.（1）由题意得为纯虚数，
所以，所以；
（2），
因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以，
所以.
18.解：（1）设甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C，则由已知，得，，∴，由，∴
（2）目标被击中的概率为
19.（1）在频率分布直方图中，由，
，
所以中位数位于（70，80）内，设中位数为x，则
，解得，
即本次测评分数的中位数约为76.67分．
由频率分布直方图可知，
本次测评分数的平均数为
＝76.2，
即本次测评分数的平均数约为76.2分．(8分）
（2）在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，
故第85百分位数位于第6组，
所以≈90.63，即第85百分位数约为90.63，（2分）
（3）由频率分布直方图知测评分在85分以上的频率为，
所以估计该市居民测评分在85分以上的人数约为（万人）．（2分）
20.（1）先利用频率和为1求出
(2)由（1）知：与的样本比例为5∶2，
所以7个个体有5个取自，2个取自，
若中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，
则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，
其中两人至少来一人自为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；
所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为．
21（1）取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
（2）取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
22.（1）因为，，且，
所以
利用正弦定理化简得：即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
（2）由（1）得，即，
又因为三角形为锐角三角形，
所以解得：，
因为，由正弦定理得：
所以，，
所以
因为，所以，
所以则的取值范围为博文学校2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
2.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，则C=（ ）
A． B． C． D．
3.一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为（ ）
A．6 B．30 C．25 D．5
4.已知数据，，……，的均值为2，方差为3，那么数据的均值和方差分别为（ ）
A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12
5.某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄 45 40 36 32 30 29 28
人数 2 3 3 5 2 4 1
下列说法正确的是（ ）
A．29.5是这20人年龄的一个75%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个25%分位数
C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5
6.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.已知是两条直线，是两个平面．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤，则，则命题正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若P为线段中点，则点P到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9.下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
10．将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ）
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为
12．已知正方体的棱长为4，点分别是的中点则（ ）
A．直线是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）
13.已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味 3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为__________.
14.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．
15.已知正四面体P-ABC棱长为2，则PA与平面ABC所成角的余弦值为 。
16.如图，在△ABC中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
四、解答题：（共6小题共70分）
17.（本题满分10分）已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).
(1)求实数的值及复数的模；
(2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
18.（本题满分12分）在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是，甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是
（1）求乙、丙各自击中目标的概率；
（2）求目标被击中的概率.
．
19.（本题满分12分）某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）．根据测评的数据制成频率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：
（1）估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）；
（3）若该市居民约为250万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在85分以上的人数．
20.（本题满分12分）为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
请大家完成下面问题：
(1)求a值；
(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．
21.（本题满分12分）如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
22.（本题满分12分）在△ABC中，角所对的边分别为，，，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
