江苏省常熟市2023-2024学年高一上学期9月学生暑期自主学习调查（开学考）数学试题（Word版含答案）

常熟市2023-2024学年高一上学期9月学生暑期自主学习调查（开学考）
数学
2023.09
注意事项：
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1. 本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）
1. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则在，，，中最大的是（ ）
A. B. C. D.
3. 不论a，b为何实数，的值（ ）
A. 总是正数 B. 可以是负数 C. 可以是零 D. 一切实数
4. 分式的值为0，则x的值为（ ）
A. －2 B. 1 C. －2或1 D. 2
5. 不等式的解为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
6. 下列四个不等式中解为一切实数的是（ ）
A. B. C. D.
7. 满足的x的个数为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 多于3个
8. 若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. 且 D.
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 以上都不正确
12. 如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 因式分解：______.
14. 关于x的分式不等式的解为______.
15. 已知二次函数，的最小值是3，最大值是7，则实数m的取值范围是______.
16. 已知关于x的方程的两根分别是，，则的最小值是______.
三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）
17.（本题满分10分）先化简再求值：，其中，.
18.（本题满分12分）当x取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
19.（本题满分12分）解关于x的不等式：（其中）.
20.（本题满分12分）
（1）求函数，的最小值.
（2）求函数，的最大值.
21.（本题满分12分）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）若，均为正根，求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于，两点.
图1 图2
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.
常熟市2023-2024学年高一上学期9月学生暑期自主学习调查（开学考）
数学参考答案
2023.09
一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D C A B A B A B D C C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 14. 且 15. 16. 32
三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）
17. 解：原式
.……（5分）
当，时，
原式
.……（10分）
18. 解：当时，，
此时.……（3分）
当时，，
此时.……（6分）
当时，，
此时.……（9分）
综上，当时，函数值最小，最小值为3.……（12分）
19. 解：不等式可化为.……（2分）
当时，不等式化为，解得.……（5分）
当时，不等式化为，
由于，
解得或.……（10分）
综上，当时，解得；
当时，解得或.……（12分）
20. 解：（1）函数.
当时，，；
当时，，.……（6分）
（2）函数.
当时，即时，
当时，有.
当时，即时，
当时，有.……（12分）
21. 解：（1）因为，是一元二次方程的两个正实根，
所以，
解得.……（5分）
（2）由题意，
解得.……（7分）
因为，，
所以
.
若，即，
即，
所以，符合题意.……（12分）
22. 解：（1）根据题意得：，解得，
则抛物线的解析式是.……（2分）
（2）由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
所以直线BC与的交点即为Q点，此时周长最小，
对于，令，则，
故点，
设BC的解析式是，
则，解得，
则BC的解析式是.
当时，.
所以点Q的坐标是.……（6分）
（3）解法一：过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设点，则PD与BC的交点，
所以，
所以.
因为，所以的面积最大值是.……（12分）
解法二：设点.
因为.
若有最大值，则就最大，
所以
，
当时，最大值.
所以最大值.……（12分）