广东省深圳市福田区八校2023-2024学年九年级上册数学开学联考试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·福田开学考）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
2．（2023九上·福田开学考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．（2023九上·福田开学考）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；如果全面调查意义或价值不大，选用抽样调查，否则选用普查，据此逐一判断即可.
4．（2023九上·福田开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-2≠0，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
5．（2023九上·福田开学考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
6．（2023九上·福田开学考）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：因为点O为AA'、BB'的中点 ，
所以OA=OA'，OB=OB'，
在△AOB与△A'OB'中，
因为OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'，OB=OB'，
所以△AOB≌△A'OB'（SAS），
所以AB=A'B'，
所以数学依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
故答案为：A.
【分析】由中点的定义可得OA=OA'，OB=OB'，结合对顶角相等可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，从而得出答案.
7．（2023九上·福田开学考） 2020年-2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设人均可支配收入的平均增长率为x ，则2021年无锡居民人均可支配收入为5.76(1+x)万元，2022年无锡居民人均可支配收入为5.76(1+x)(1+x）=5.76(1+x)2万元，
由题意得5.76(1+x)2=6.58.
故答案为：A.
【分析】 设人均可支配收入的平均增长率为x ，根据公式a（1+x）n=p(a是增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量)分别表示出2021与2022年无锡居民人均可支配收入，结合2022年无锡居民人均可支配为6.58万元，列出方程即可.
8．（2023九上·福田开学考）下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①，若ab＞0，则a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故此选项错误，不符合题意；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-3，故此选项错误，不符合题意；
③若关于x的方程有增根 ，
所以x-2=0，
解得x=2，
将去分母得m=1-x，
将x=2代入m=1-x，得m=-1，故此选项错误，不符合题意；
④是无限不循环小数，不是分数，故此选项正确，符合题意；
⑤解x+5＜2a得x＜2a-5，
因为关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，
所以两个正整数解为2、1，
所以2＜2a-5≤3，
所以3.5＜a≤4，
故a得最大值为4，故此选项正确，符合题意，
综上，正确的有④和⑤，共两个.
故答案为：C.
【分析】由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，即可判断①；用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的0，据此可判断②；分式方程的增根，就是使原分式方程的最简公分母为0的根，据此可得出原分式方程的增根为x=2，进而根据分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=2代入m=1-x，可求出m的值，从而可判断③；根据有限小数与无限循环小数豆可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数，可判断④；将a作为字母参数求出不等式的解集，根据不等式有两个正整数解可得2＜2a-5≤3，求解即可得出a得取值范围，据此可判断⑤.
9．（2023九上·福田开学考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D（12，a），E（4，0），F（12，0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a，直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得
联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【分析】先求出直线AE和直线OD的解析式，再联立方程组求出和求出，最后作差即可得到答案。
10．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·福田开学考）计算：a4·(-a)3＝ ．
【答案】-a7
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：a4·(-a)3=a4·(-a3)=-a4+3=-a7.
故答案为：-a7.
【分析】先根据负数的奇数次幂是负数计算乘方，再根据异号两数相乘得负数确定符号，进而根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.
12．（2023九上·福田开学考）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是 ．
【答案】70°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠1=40°，
所以∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°，
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠BEF=70°，
因为AB∥CD，
所以∠2=∠BEG=70°.
故答案为：70°.
【分析】先根据邻补角定义求出∠BEF的度数，再根据角平分线的定义求出∠BEG得度数，进而根据二直线平行，内错角相等可得出∠2的度数.
13．（2023九上·福田开学考）若实数m满足（m-2023）2+（2024-m）2＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝ ．
【答案】-1012
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1，
所以2ab=-2024，
所以ab=-1012，
即(m-2023)(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，将a+b=1两边平方后，左边展开，再整体代入计算可得答案.
14．（2023九上·福田开学考）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，-1），即a3＝0， ，以此类推．则a2023＝ ．
【答案】42
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即A1(0，0)，这时a1=0；
第2圈有8个点，即A2到A9(1，1)，这时a9=1+ 1=2；
第3圈有16个点，即A10到A25(2，2)，这时a25 =2+2=4；
……，
依次类推，第n圈，A(2n-1)2(n-1，n-1)，由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025 (2
2，22)，则A2023(20，22)，即a2023=20+22 二42.
故答案为：42.
【分析】利用图形找出前几个圈的特点，可得规律A(2n-1)2(n-1，n-1)，再利用所得规律即可解决此题.
15．（2023九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝ ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于点G，
∵AB=AE，
∴∠AED=∠ABE，
设∠AED=∠ABE=x，则∠BAE=180°-2x，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2x，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=45°+x，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°，
∴∠FEH=45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE=∠FEH=45°，
∴EF=FH，
又∵∠EFH=90°，
∴EH=EF，
∵∠FHE=45°，CG⊥FH，
∴∠GCH=∠FHE=45°，
∴GC=GH，
∴CH=CG，
∵∠BAC=∠CGA=90°，
∴∠BAF+∠CAG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠ACG，
在△AFB与△CGA中，
∵∠AFB=∠AGC，∠BAF=∠ACG，AB=AC，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∴CH=AF，
在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2=2AE2，
∴EH2+CH2=2AB2，
∵AB=6，CH=3，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】过点C作CG⊥AH于点G，由等边对等角得∠AED=∠ABE，设∠AED=∠ABE=x，由三角形的内角和定理得∠BAE=180°-2x，由角的和差得∠CAE=90°-2x，再根据三角形得内角和定理及等边对等角得∠ACE=∠AEC=45°+x，由角的和差得∠FEH=45°，则△EFH为等腰直角三角形，得EH=EF，△CGH是等腰直角三角形，得CH=CG，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，从而用AAS判断出△AFB≌△CGA，得AF=CG，故CH=AF，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程再等量代换可得EH2+CH2=2AB2，从而代入咳算出EH得长.
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．（2023九上·福田开学考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100-m）本，
根据题意得：35m+30（100-m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，由“ 购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元 ”列出方程组，求解即可得出答案；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100-m）本，由单价乘以数量等于总价及购买m本甲种图书的费用+购买（100-m）本乙种图书的费用不超过3200元，列出不等式，求解取出最大整数解即可.
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
⑴画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
⑵画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
⑶△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）如图所示， △A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形 ，其对称轴就是直线OC.
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点和轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1，再连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用网格纸的特点和旋转的旋转，分别作出点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的对称点A2、B2、C2，再连接即可得出所求的△A2B2C2；
（3）把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是对称图形，折迹所在的直线就是对称轴，据此可得△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形 ，其对称轴就是直线OC.
19．（2023九上·福田开学考）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
【答案】（1）84；100；80%
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=84，b=100，
优秀率为：12÷15×100%=80%，
故答案为：84；100；80%.
【分析】（1）根据题意，结合图表中的数据计算求解即可；
（2）先求出抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个，再求出抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个，最后求解即可。
20．（2023九上·福田开学考）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）解：如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线；
（2）解：①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF=DF，EF⊥BD，
∴∠DEF＝∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10-x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10-x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于BD的长度为半径画弧，两弧在BD的两侧分别相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交BC于点F，直线MN就是线段BD的垂直平分线；
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝DE，BF=DF，由等腰三角形的三线合一得∠DEF＝∠BEF，由矩形性质的性质得AD∥BC，根据平行线的性质得∠DEF＝∠BFE，则∠BEF＝∠BFE，由等角对等边得BE＝BF，则BE＝ED＝DF＝BF，由四边相等得四边形是菱形可得结论；
②由矩形性质的∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10-x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程可求出x得长，从而即可算出菱形BEDF得周长.
21．（2023九上·福田开学考）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（-1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．
【答案】（1）解： ∵点P(x，y)是第一象限内一个动点，过点F分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴PM=x，PN=y，
由题意可知，2（x+y）＝8，
∴y＝4-x（0＜x＜4）；
（2）解：∵直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），
∴a＝4-1＝3
∴A（1，3），
①设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），B（-1，0）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+；
②如图，
∵P（x，y）的横坐标和纵坐标的关系式为y＝4-x，
令y＝4-x中的y=0，可得x=4，
∴E（4，0），
∴S△ABP＝S△ABE-S△PBE＝-（x+1） （4-x）＝或S△ABP＝S△PBE-S△ABE＝（x+1） （4-x）-＝
解得x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意易得PM=x，PN=y，进而根据矩形周长等于两邻边和的2倍建立方程，将方程变形为用含x的式子表示y即可；
（2）将点A（1，a）代入（1）所求的函数解析式可算出a的值，从而得出点A的坐标，①根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
②令y＝4-x中的y=0，可得x=4，则点E（4，0），进而结合三角形面积计算公式，由S△ABP＝S△ABE-S△PBE或S△ABP＝S△PBE-S△ABEj建立方程，求解得出x的值，从而即可求出点P的坐标.
22．（2023九上·福田开学考）
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得PN＝BC，PM＝AD，结合AD=BC可得PM＝PN，进而根据等边对等角即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理可得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，结合（1）的结论利用等量代换即可得出∠AEM＝∠F；
（3）△CGD是直角三角形，理由如下：连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由（1）可得∠PNM＝∠PMN，由二直线平行，内错角相等得∠PMN＝∠ANM＝60°，则∠PNM＝∠PMN＝60°，再由二直线平行，同位角相等得∠CGN＝∠PNM＝60°，结合对顶角相等及有两个角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CN＝GN，结合中点定义可得DN=GN，由等边对等角及三角形外角相等可得∠DGN=30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，从而可得结论△CGD是直角三角形．
1 / 1广东省深圳市福田区八校2023-2024学年九年级上册数学开学联考试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·福田开学考）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
2．（2023九上·福田开学考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福田开学考）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
4．（2023九上·福田开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
5．（2023九上·福田开学考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
6．（2023九上·福田开学考）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
7．（2023九上·福田开学考） 2020年-2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
8．（2023九上·福田开学考）下列结论：
①若ab＞0，则a＞0，b＞0，
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-4，
③若关于x的方程有增根，则m＝1，
④不是分数，
⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．
以上结论正确的个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023九上·福田开学考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
10．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·福田开学考）计算：a4·(-a)3＝ ．
12．（2023九上·福田开学考）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是 ．
13．（2023九上·福田开学考）若实数m满足（m-2023）2+（2024-m）2＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝ ．
14．（2023九上·福田开学考）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，-1），即a3＝0， ，以此类推．则a2023＝ ．
15．（2023九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（2023九上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）．
17．（2023九上·福田开学考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
⑴画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
⑵画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
⑶△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
19．（2023九上·福田开学考）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
20．（2023九上·福田开学考）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
21．（2023九上·福田开学考）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（-1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．
22．（2023九上·福田开学考）
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
2．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；如果全面调查意义或价值不大，选用抽样调查，否则选用普查，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-2≠0，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：因为点O为AA'、BB'的中点 ，
所以OA=OA'，OB=OB'，
在△AOB与△A'OB'中，
因为OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'，OB=OB'，
所以△AOB≌△A'OB'（SAS），
所以AB=A'B'，
所以数学依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
故答案为：A.
【分析】由中点的定义可得OA=OA'，OB=OB'，结合对顶角相等可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，从而得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设人均可支配收入的平均增长率为x ，则2021年无锡居民人均可支配收入为5.76(1+x)万元，2022年无锡居民人均可支配收入为5.76(1+x)(1+x）=5.76(1+x)2万元，
由题意得5.76(1+x)2=6.58.
故答案为：A.
【分析】 设人均可支配收入的平均增长率为x ，根据公式a（1+x）n=p(a是增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量)分别表示出2021与2022年无锡居民人均可支配收入，结合2022年无锡居民人均可支配为6.58万元，列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①，若ab＞0，则a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故此选项错误，不符合题意；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10-3，故此选项错误，不符合题意；
③若关于x的方程有增根 ，
所以x-2=0，
解得x=2，
将去分母得m=1-x，
将x=2代入m=1-x，得m=-1，故此选项错误，不符合题意；
④是无限不循环小数，不是分数，故此选项正确，符合题意；
⑤解x+5＜2a得x＜2a-5，
因为关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，
所以两个正整数解为2、1，
所以2＜2a-5≤3，
所以3.5＜a≤4，
故a得最大值为4，故此选项正确，符合题意，
综上，正确的有④和⑤，共两个.
故答案为：C.
【分析】由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，即可判断①；用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的0，据此可判断②；分式方程的增根，就是使原分式方程的最简公分母为0的根，据此可得出原分式方程的增根为x=2，进而根据分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=2代入m=1-x，可求出m的值，从而可判断③；根据有限小数与无限循环小数豆可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数，可判断④；将a作为字母参数求出不等式的解集，根据不等式有两个正整数解可得2＜2a-5≤3，求解即可得出a得取值范围，据此可判断⑤.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D（12，a），E（4，0），F（12，0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a，直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得
联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【分析】先求出直线AE和直线OD的解析式，再联立方程组求出和求出，最后作差即可得到答案。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
11．【答案】-a7
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：a4·(-a)3=a4·(-a3)=-a4+3=-a7.
故答案为：-a7.
【分析】先根据负数的奇数次幂是负数计算乘方，再根据异号两数相乘得负数确定符号，进而根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.
12．【答案】70°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠1=40°，
所以∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°，
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠BEF=70°，
因为AB∥CD，
所以∠2=∠BEG=70°.
故答案为：70°.
【分析】先根据邻补角定义求出∠BEF的度数，再根据角平分线的定义求出∠BEG得度数，进而根据二直线平行，内错角相等可得出∠2的度数.
13．【答案】-1012
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1，
所以2ab=-2024，
所以ab=-1012，
即(m-2023)(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，将a+b=1两边平方后，左边展开，再整体代入计算可得答案.
14．【答案】42
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即A1(0，0)，这时a1=0；
第2圈有8个点，即A2到A9(1，1)，这时a9=1+ 1=2；
第3圈有16个点，即A10到A25(2，2)，这时a25 =2+2=4；
……，
依次类推，第n圈，A(2n-1)2(n-1，n-1)，由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025 (2
2，22)，则A2023(20，22)，即a2023=20+22 二42.
故答案为：42.
【分析】利用图形找出前几个圈的特点，可得规律A(2n-1)2(n-1，n-1)，再利用所得规律即可解决此题.
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于点G，
∵AB=AE，
∴∠AED=∠ABE，
设∠AED=∠ABE=x，则∠BAE=180°-2x，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2x，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=45°+x，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°，
∴∠FEH=45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE=∠FEH=45°，
∴EF=FH，
又∵∠EFH=90°，
∴EH=EF，
∵∠FHE=45°，CG⊥FH，
∴∠GCH=∠FHE=45°，
∴GC=GH，
∴CH=CG，
∵∠BAC=∠CGA=90°，
∴∠BAF+∠CAG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠ACG，
在△AFB与△CGA中，
∵∠AFB=∠AGC，∠BAF=∠ACG，AB=AC，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∴CH=AF，
在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2=2AE2，
∴EH2+CH2=2AB2，
∵AB=6，CH=3，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】过点C作CG⊥AH于点G，由等边对等角得∠AED=∠ABE，设∠AED=∠ABE=x，由三角形的内角和定理得∠BAE=180°-2x，由角的和差得∠CAE=90°-2x，再根据三角形得内角和定理及等边对等角得∠ACE=∠AEC=45°+x，由角的和差得∠FEH=45°，则△EFH为等腰直角三角形，得EH=EF，△CGH是等腰直角三角形，得CH=CG，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，从而用AAS判断出△AFB≌△CGA，得AF=CG，故CH=AF，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程再等量代换可得EH2+CH2=2AB2，从而代入咳算出EH得长.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100-m）本，
根据题意得：35m+30（100-m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，由“ 购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元 ”列出方程组，求解即可得出答案；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100-m）本，由单价乘以数量等于总价及购买m本甲种图书的费用+购买（100-m）本乙种图书的费用不超过3200元，列出不等式，求解取出最大整数解即可.
18．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）如图所示， △A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形 ，其对称轴就是直线OC.
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点和轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1，再连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用网格纸的特点和旋转的旋转，分别作出点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的对称点A2、B2、C2，再连接即可得出所求的△A2B2C2；
（3）把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是对称图形，折迹所在的直线就是对称轴，据此可得△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形 ，其对称轴就是直线OC.
19．【答案】（1）84；100；80%
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=84，b=100，
优秀率为：12÷15×100%=80%，
故答案为：84；100；80%.
【分析】（1）根据题意，结合图表中的数据计算求解即可；
（2）先求出抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个，再求出抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个，最后求解即可。
20．【答案】（1）解：如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线；
（2）解：①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF=DF，EF⊥BD，
∴∠DEF＝∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10-x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10-x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于BD的长度为半径画弧，两弧在BD的两侧分别相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交BC于点F，直线MN就是线段BD的垂直平分线；
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝DE，BF=DF，由等腰三角形的三线合一得∠DEF＝∠BEF，由矩形性质的性质得AD∥BC，根据平行线的性质得∠DEF＝∠BFE，则∠BEF＝∠BFE，由等角对等边得BE＝BF，则BE＝ED＝DF＝BF，由四边相等得四边形是菱形可得结论；
②由矩形性质的∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10-x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程可求出x得长，从而即可算出菱形BEDF得周长.
21．【答案】（1）解： ∵点P(x，y)是第一象限内一个动点，过点F分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴PM=x，PN=y，
由题意可知，2（x+y）＝8，
∴y＝4-x（0＜x＜4）；
（2）解：∵直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），
∴a＝4-1＝3
∴A（1，3），
①设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），B（-1，0）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+；
②如图，
∵P（x，y）的横坐标和纵坐标的关系式为y＝4-x，
令y＝4-x中的y=0，可得x=4，
∴E（4，0），
∴S△ABP＝S△ABE-S△PBE＝-（x+1） （4-x）＝或S△ABP＝S△PBE-S△ABE＝（x+1） （4-x）-＝
解得x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意易得PM=x，PN=y，进而根据矩形周长等于两邻边和的2倍建立方程，将方程变形为用含x的式子表示y即可；
（2）将点A（1，a）代入（1）所求的函数解析式可算出a的值，从而得出点A的坐标，①根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
②令y＝4-x中的y=0，可得x=4，则点E（4，0），进而结合三角形面积计算公式，由S△ABP＝S△ABE-S△PBE或S△ABP＝S△PBE-S△ABEj建立方程，求解得出x的值，从而即可求出点P的坐标.
22．【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得PN＝BC，PM＝AD，结合AD=BC可得PM＝PN，进而根据等边对等角即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理可得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，结合（1）的结论利用等量代换即可得出∠AEM＝∠F；
（3）△CGD是直角三角形，理由如下：连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由（1）可得∠PNM＝∠PMN，由二直线平行，内错角相等得∠PMN＝∠ANM＝60°，则∠PNM＝∠PMN＝60°，再由二直线平行，同位角相等得∠CGN＝∠PNM＝60°，结合对顶角相等及有两个角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CN＝GN，结合中点定义可得DN=GN，由等边对等角及三角形外角相等可得∠DGN=30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，从而可得结论△CGD是直角三角形．
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