(共29张PPT)
倍数和因数
北师大版五年级上册
教学目标
1.结合具体情境，联系乘法认识倍数与因数。
2.探索找一个数的倍数的方法，能在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
3.积极参与数学的学习活动，初步养成乐于思考的良好品质。
新知导入
你知道吗？
韩信点兵的计算方法是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
新知讲解
运动会上两个班同学分别排出下面两种队形。
思考：
算一算两班各有多少人？你能列出算式吗？
新知讲解
每行有5人，有7行
9×4＝36（人）
每行有9人，有4行
5×7=35（人）
新知讲解
9×4＝36（人） 5×7=35（人）
它们都是整数。
像 0，1，2，3，4……这些整数都是自然数。
非零自然数
非零自然数就是指除零以外的所有自然数。
新知讲解
9 × 4 ＝ 36
因数
因数
倍数
4是36的因数
9是36的因数
4和9是36的因数
9的4倍是36
4的9倍是36
36是9和4的倍数
新知讲解
9×4＝36，36是9和4的倍数，4和9是36的因数。
说一说：
根据5×7=35，你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？
35是5和7的倍数，5和7是35的因数。
温馨提示：
我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。
新知讲解
根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。
25×3=75
75是25和3的倍数，25和3是75的因数
100是20和5的倍数，20和5是100的因数
20×5=100
两个非零自然数相乘，两个乘数都是积的因数，而积是两个因数的倍数。
新知讲解
25×3=75
75÷3=25
说一说：
根据75÷3=25，你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？
75是25和3的倍数，25和3是75的因数
两个非零自然数相除，商也是非零自然数。被除数是除数和商的倍数，商和除数是被除数的因数。
新知讲解
20×5=100
2×10=20
20是因数还是倍数？
20是100的因数
20是2和10的倍数
因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。
新知讲解
20×5=100
能说成20是因数吗？为什么？
不能这样说
2×10=20
20又是2和10的倍数
倍数和因数存在于特定的范围，离开了特定范围，倍数和因数的关系就不存在了。
新知讲解
下面哪些数是7的倍数？与同伴交流你的想法。
我用除法找。
7÷7=1，7是7的1倍；
14÷7=2，14是7的2倍；
17÷7=2……3，17不是7的倍数；
77÷11=7，77是7的11倍；
25÷7=3……4，25不是7的倍数。
7、14、77都是7的倍数
新知讲解
下面哪些数是7的倍数？与同伴交流你的想法。
我用的是乘法
7=7×1
14=7×2
77=77×11
7、14、77都是7的倍数
用乘法方便快捷
新知讲解
思考：
你能用乘法还能找出其他7的倍数吗？
7×3=21
7×4=28
7×5=35
7的倍数有：7，14，21，28，35，…
……
新知讲解
7的倍数有：7，14，21，28，35，…
找一个数的倍数，只要把给这个数分别乘1、2、3、4…
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
课堂练习
基础题：
1.（1）一共有多少个苹果？ （2）根据算式，说一说哪个数是
哪个数的倍数，哪个数是哪个数
的因数。
4×3=12（个）
答：一共有12个苹果。
12是4和3的倍数，4和3是12的因数。
课堂练习
基础题：
2.给3的倍数涂上红色。
7
3
12
9
27
14
23
15
29
课堂练习
提高题：
3.判断。
（1）因为15÷3=5，所以3和5是因数，15是倍数。 （ ）
（2）3.2×2=6.4，6.4是3.2和2的倍数，3.2和2是6.4的因数。 （ ）
（3）一个数的倍数的个数是无限的。 （ ）
（4）4是2的倍数，是8的因数。 （ ）
×
×
√
√
课堂练习
拓展题：
4.一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少？
8的倍数：8， 16，24，32，…
12的倍数：12， 24，36，…
答：这个数是24。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了因数和倍数，知道它们是相互依存的关系。
我还会用乘法找一个数的倍数了。
板书设计
倍数与因数
9×4＝36
36是4和9的倍数
4和9是36的因数
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
相互依存
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1.根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。
12÷2=6 7×5=35 72÷8=9
12是2和6的倍数
2和6是12的因数
35是7和5的倍数
7和5是35的因数
72是8和9的倍数
8和9是72的因数
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.写一写。
（1）写出80以内9的倍数（ ）。
（2）写出40以内5的倍数（ ）。
（3）写出40以内6的倍数（ ）。
9，18，27，36，45，54，63，72
5，10，15，20，25，30，35
6，12，18，24，30，36
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.填一填。
（1）因为14÷7=2，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。
（2）在45和9这两个数中，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。
14
7
2
7
2
14
9
45
45
9
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.选哪种包装盒能正好把90瓶饮料装完？
90÷6=15（箱）
90÷5=18（箱）
90÷3=30（箱）
90÷8=11（箱）……2（瓶）
作业布置
课后和同学们玩一玩“逢7过”。。
【综合实践类作业】
谢谢
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《倍数与因数》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《倍数与因数》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”中的重要内容。总体上看，这部分内容与教学大纲相比有许多变化，减少了内容，降低了要求，在实际教学中应当注意以下几个方面：
1.理解《课程标准（2022年版）》的要求，把握具体内容的尺度，几个具体概念的要求都是了解，如公倍数和最小公倍数等。
2.与有关内容结合。数的整除性的相关内容不是单纯为了学习数的特征的内容而设，是与一些内容的学习密切相关，或为学习某些内容做准备，如分数计算时要用最小公倍数进行通分。解决一些实际问题时要用数的公因数等。
3.体现数学思想方法，培养学生核心素养和创新能力。在学习质数与合数时，运用数学史上一些经典的方法探索问题。如用筛选法找出一定范围内的质数。在认识2、3、5 的倍数征时，可以创设数学情境，在探索的过程中培养学生能力。
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学过整数的认识、整数的四则运算、小数、分数、负数的认识等知识的基础上展开学习的，是以后学习公倍数与公因数、约分、通分、分数四则运算等知识的重要基础。
本单元知识内容多、概念多，学生相对不易掌握。为此，在编排时，教材以倍数与因数这两个核心概念及其内在联系为线索，组织本单元知识内容。在认识了倍数与因数后,教材按照找倍数、找因数两条线进行编写。在找倍数这条线上,考虑到2，5的倍数特征的相似性，以及3的倍数特征的特殊性，分为两节内容，并在2，5的倍数的特征内容之后，学习奇数与偶数；在找因数这条线上，安排了“找质数”这节内容，根据某数因数个数的特征，提出质数和合数的概念。本册教材在内容安排上适当降低了知识的难度。例如,找倍数和找因数都限制在100以内，没有出现整除、互质数、质因数、分解质因数等数学概念。教材注重学生的数学学习活动，运用多种数学情景，组织学生在活动中探索发现数的特征。2，5，3的倍数的特征是较抽象的,“百数表”提供了具有某类数特征的一群数，有利于学生通过观察、比较来发现它们的特征，为此，教材充分利用“百数表”的结构特点，从不同的角度探索2，5及3 的倍数的特征。
单元学习内容的前后联系：
（三）学生认知情况
根据对学生的前测得知：学生对分数和小数有初步的了解，对负数不够了解，对整数的理解是没有零的数，如500，30等，但是学生对数的世界充满好奇，并具备一定的探索能力；学生在探索中有能力揭示2，3，5的倍数的特征，但是概括特征时，语言还需要教师指导；对因数这个名词，学生在二年级时就已经认识，结合拼长方形列算式，找因数，学生容易接受；学生在掌握2，3，5的倍数特征以及熟练找出一个数的因数的方法后有利于找质数的学习，找质数比较抽象，在教学时要注重找出质数的方法的多样性及灵活性。
二、单元目标拟定
1.经历倍数与因数、质数和合数的认识过程，以及2，5，3的倍数特征的探索过程，学会归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。
2.能找出10以内某数在百以内的全部倍数，以及百以内某数的所有因数；知道2，5，3的倍数的特征、奇数和偶数、质数和合数，并能做出相应判断。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.认识倍数和因数，在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数；在1~100的所有自然数中，找出某个自然数所有的因数。
2.认识质数、合数，能判断一个数是质数还是合数。
3.能判断一个数是不是2,3,5的倍数。
（二）教学重难点
1.在探索活动中理解因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念。
2.探索并归纳2,3,5的倍数的特征。
3.应用本单元所学的知识解决一些相关的解决问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。核心素养的提出，是基础教育改革的突破点，为我们的教育真正走向“以学生为主体”提供了思想上的引领，“问题化教学”是培养学生核心素养的重要途径，以“因数和倍数”的教学为例，让学生在对问题追寻中产生思维碰撞，进而建构知识结构，实现思维的迸发。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
（一）突出倍数与因数这两个核心概念
本单元知识内容多、概念多，学生相对不易掌握，为此，教科书在认识了倍数与因数后，按照找倍数、找因数两条线进行编写。在找倍数这条线上，先编排了2，5 的倍数特征和3的倍数特征，并在2，5的倍数的特征之后，学习奇数与偶数；在找因数这条线上，编排了“找质数”，并提出质数和合数的概念。
（二）利用“百数表”及在“长、正方形拼图”活动中，探索数的特征
2，5，3的倍数的特征是比较抽象的，利用“百数表”有利于学生通过观察比较来发现它们的特征，为此，教科书利用“百数表”的结构特点，从不同的角度探索2，5及3的倍数的特征。
为了提高学生的学习兴趣，沟通知识之间的联系，教材编排在“用小正方形拼长方形”的活动中，利用数形结合的思想探索找因数的方法，认识质数和合数，将抽象的知识具体化。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 倍数和因数 倍数和因数 1
探索活动：2，5的倍数的特征 1
探索活动：3的倍数的特征 1
找因数 1
找质数 1
重点渗透的数学思想方法 □抽象 □符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《倍数和因数》 目标： 结合具体情境，联系乘法认识倍数与因数；探索找一个数的倍数的方法，能在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。 任务一：运动会上两个班同学分别排出下面两种队形，分别算一算两个班的人数 → 任务二：认识因数和倍数，初步理解概念 → 任务三：倍数和因数的相互依存关系 → 任务四：找7的倍数 → 1.通过计算两个班队形人数，列出乘法算式。 2.结合具体的乘法算式，理解倍数与因数的意义。 3.能正确分辨倍数和因数，巩固和掌握倍数与因数的概念。 4.对给定的数，能判断是否为 7的倍数。
3.2《探索活动：2，5的倍数的特征》 目标： 理解2，5的倍数的转征，能判断一个数是否为2或5的倍数。了解奇数、偶数的含义，能判断一个非零自然数是奇数或偶数。 任务一：在百数表中圈出5的倍数，说说自己的发现 → 任务二：解释自己的发现 → 任务三：从百数表中找出2的倍数，并说说这些数的特征 → 任务四：认识奇数和偶数 → 1.借助5的倍数在百数表中的排列规律，自主发现5的倍数的特征。 2.验证5的倍数的特征是否正确，并归纳5的倍数的特征。 3.利用百数表圈出2的倍数，归纳2的倍数的特征。 4.结合2的倍数的特征简要说明偶数和奇数的含义，认识奇数和偶数。
3.3《探索活动：3的倍数的特征》 目标： 经历探索3的倍数的特征的过程，理解3的倍数的特征，能判断一个数是否为3的倍数。 任务一：说一说，3的倍数的特征 → 任务二：在百数表中圈出3的倍数，说说自己的发现 → 任务三：根据上面的发现，圈出3的倍数 → 1.发现3的倍数的尾数不具有某种规律，需要从新的角度来探索3的倍数的特征。 2.通过百数表内斜线上各组3的倍数的数，探索其特征，经历圈数、表达理由、交流反思的过程，发现3的倍数的特征。 3.熟悉和掌握3的倍数的特征，运用其特征进行判断，并验证3的倍数特征。
3.4《找因数》 目标： 在用小正方形拼长方形的活动中，体会找一个数的因数的方法，在1~100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数。 任务一：用12个小正方形拼成长方形，并在方格纸上画出来 → 任务二：找12的全部因数 → 任务三：找出18的全部因数 → 1.通过12个小正方形拼长方形的活动，能用乘法算式表示拼出长方形的面积。 2.利用乘法算式和除法算式探索找一个数的因数的的方法。 3.用上述方法，能自己找出18的全部因数。
3.5《找质数》 目标： 在用小正方形拼长方形的活动中，经历寻找质数与合数的过程，理解质数与合数的意义；能正确判断一个数是质数或合数。 任务一：用12个小正方形拼成长方形 → 任务二：观察并讨论发现规律 → 任务三：认识质数和合数 → 1.通过“用小正方形拼长方形”的活动探索2，能用表格的方式记录拼成的长方形的个数以及对应的因数。 2.根据上表中数据，发现一个数的因数的个数的特征。 3.理解质数、合数的概念，知道“1 既不是质数，也不是合数”，并能正确填写 2~12 中的质数、合数有哪些。
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3.1倍数和因数 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：结合具体情境，联系乘法认识倍数与因数；探索找一个数的倍数的方法，能在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
2.学习内容分析：本节内容是认识倍数与因数，以及找一个数的倍数的方法。“倍数与因数”是整数学习中的重要概念，也是分数学习中的重要基础知识。教科书利用整数乘法认识倍数与因数，设计了四个递进的问题，其中第一个问题根据情境写出乘法算式；第二个问题认识倍数与因数；第三个问题结合乘法算式，判断倍数与因数；第四个问题结合给定的数，探索找7的倍数的方法。
3.学科核心素养分析：课堂教学要围绕培养学生的探索精神、创新精神出发，为全面提高学生的综合素质打下一定的基础。遵循学生主体、教师主导（组织），学生探究为主线的理念，由浅入深，利用学生对乘法运算的已有认识，在操作中引出倍数和因数的概念，帮助学生建立数感。
二、教学重难点
1.重点：理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数的方法。
2.难点：理解倍数与因数的关系，体验两者的依存关系。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 师：大家听过韩信点兵的故事吗？学生根据实际说一说。师：韩信点兵的计算方法是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。那么你能像韩信那样点点下面两个班各有多少人吗？ 通过讲故事，激发学生学习的欲望，为后面学习新知做准备。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：运动会上两个班同学分别排出下面两种队形，分别算一算两个班的人数师：运动会上两个班同学分别排出下面两种队形。课件出示： 师：算一算两班各有多少人？你能列出算式吗？学生1：每行有9人，有4行，一共有9×4=36（人）。学生2：每行有5人，有7行，一共有5×7=35（人）。师：大家列式时所用的数都是些什么数？学生：它们都是整数。师：你还知道哪些数是整数？学生自由说说。根据学生的回答，师小结：像 0，1，2，3，4……这些整数都是自然数，那么你知道哪些数是非零自然数？学生根据自己的理解自由说说。师：是的，非零自然数就是指除零以外的所有自然数。本单元我们将在非零自然数范围内研究因数和倍数。板书课题：因数和倍数 借助教材提供的素材，引导学生通过观察、交流列出相应的算式，培养学生的观察能力，同时为后面认识倍数和因数创造条件。 通过进一步的交流认识非零自然数，同时让学生明确本单元是在非零自然数范围内研究的。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
任务二：认识因数和倍数，初步理解概念师：在9×4=36这个乘法算式中，9、4、36分别叫什么？学生根据已有知识经验回答：9和4是因数，36是积。师：也就是说4是36的因数，9是36的因数，那么4和9是36的……？学生：因数。师：在这个乘法算式中，还反映了什么信息？引导学生说出：9的4倍是36，4的9倍是36。师：所以说36是9和4的……？学生：倍数。根据学生的回答，课件出示：9×4=36，36是9和4的倍数，4和9是36的因数。学生齐读。师：根据5×7=35，你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？学生：35是5和7的倍数，5和7是35的因数。师：注意，我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。 借助学生已有的知识经验过渡到新知的学习中，让学生感受知识之间的相互联系，同时加深了学生对新知的理解与感悟。通过说一说，初步感知因数和倍数的概念，同时通过多说多练使学生体会到数学知识的内在联系，提高学习的积极性。 老师通过学生活动的情况了解学生是否掌握本环节内容，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：倍数和因数的相互依存关系师：根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。课件出示：25×3=75 20×5=100学生自由说说。师：通过说一说，你发现了什么？引导学生得出：两个非零自然数相乘，两个乘数都是积的因数，而积是两个因数的倍数。师：25×3=75还可以写成75÷3=25，那么你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？学生尝试说说：75是25和3的倍数，25和3是75的因数。师：在除法中，你又发现了什么？引导学生说出：两个非零自然数相除，商也是非零自然数。被除数是除数和商的倍数，商和除数是被除数的因数。老师出示20×5=100，2×10=20两个算式，提问：20是因数还是倍数？学生1：在20×5=100中，20是100的因数。学生2：在2×10=20中，20是2和10的倍数。师：你明白了什么 学生根据自己的认知自由说说。引导学生得出：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。师：在20×5=100中，能说成20是因数吗？为什么？学生：不能这样说，在2×10=20中，20又是2和10的倍数。师：看来倍数和因数存在于特定的范围，离开了特定范围，倍数和因数的关系就不存在了。 通过说一说，不仅巩固了新知，还帮助学生总结了方法，培养学生的观察、分析、比较、总结、归纳等思维能力。通过进一步的交流，引发学生的思考，让学生结合所学的知识解释，充分理解倍数和因数的相互依存的关系。 老师通过学生的活动，观察是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务四：找7的倍数师：下面哪些数是7的倍数？与同伴交流你的想法。学生独自找一找，师巡视指导。师：找到7的倍数了吗？谁来说说你们是怎么找的？学生：我用除法找。7÷7=1，7是7的1倍；14÷7=2，14是7的2倍；17÷7=2……3，17不是7的倍数；77÷11=7，77是7的11倍；25÷7=3……4，25不是7的倍数。所以7、14、77都是7的倍数。师：不错，用除法找出了7的倍数。还可以怎么找？学生：我用的是乘法。7=7×1，14=7×2，77=77×11，所以7、14、77都是7的倍数。师：你认为这两种方法，哪种更方便快捷一些？学生：用乘法找一个数的倍数比较方便快捷。师：那么你能用乘法还能找出其他7的倍数吗？学生尝试找一找，然后反馈：还有7×3=21、7×4=28、7×5=35……师：看来7的倍数有：7，14，21，28，35，…。以找7的倍数为例，谁能说说怎样找一个数的倍数？学生自由说说。根据学生的回答，师小结：找一个数的倍数，只要把给这个数分别乘1、2、3、4…师：观察7的倍数，你发现了什么？学生独自观察，然后自由说说。引导学生观察得出：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 本环节完全放手交给学生自主完成，让学生充分结合自己已有的知识经验自主探究，获得成功的体验，提高学习数学的积极性。通过找一找，让学生充分经历找一个数的倍数的方法，有助于学生理解与掌握，同时极大的调动了学生学习的积极性和欲望。 老师通过提问，观察是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务五：课堂练习基础题：1.（1）一共有多少个苹果？（2）说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。2.给3的倍数涂上红色。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.判断。 （1）因为15÷3=5，所以3和5是因数，15是倍数。 （ ）（2）3.2×2=6.4，6.4是3.2和2的倍数，3.2和2是6.4的因数。 （ ）一个数的倍数的个数是无限的。 （ ）（4）4是2的倍数，是8的因数。 （ ）
拓展题4.一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12得的数，这个数是多少？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。12÷2=6 7×5=35 72÷8=92.写一写。（1）写出80以内9的倍数（ ）。（2）写出40以内5的倍数（ ）。（3）写出40以内6的倍数（ ）。选做题：1.填一填。 （1）因为14÷7=2，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。（2）在45和9这两个数中，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。2.选哪种包装盒能正好把90瓶饮料装完？【综合实践类作业】课后和同学们玩一玩“逢7过”。
板书设计 倍数和因数 9×4＝3636是4和9的倍数 相互依存4和9是36的因数一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
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