函数典型例题分析16套

2．7 对数·例题解析
?
【例1】 计算：
(2)lg22＋lg4·lg50＋lg250
(2)原式=lg22＋2lg2·(1＋lg5)＋(1＋lg5)2=(lg2＋1＋lg5)2=4
【例2】 (1)已知10x＝2，10y=3，求1002x-y的值．
(2)已知log89=a，log25＝b，用a、b表示lg3．
解 (1)∵10x＝2∴lg2＝x，∵10y=3∴lg3=y则1002x-y=
②
证 设8x＝9y＝6z＝k(k＞0，且k≠1)则x=log8k，y＝log9k，z＝log6k，
对数函数·例题解析
?
域．
解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．
当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
域和值域．
反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．
【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x)，(2)y=log2|x＋1|
解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．
解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．
单调递减区间是(－∞，－1)．
单调递增区间是(－1，＋∞)．
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
所示．
单调减区间是(－1，2]．
单调增区间是[2，＋∞)．
解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．
单调递减区间是(－∞，1)．
【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是
[ ]
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．b＞a＞d＞c D．b＞c＞a＞d
解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．
【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．
解法一 令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：
(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．
(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．
(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．
解法二 由换底公式，化成同底的对数．
∵函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．
∵函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．
即a＞1＞b＞0．
顺序是：________．
说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．
【例7】 设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较|loga(1－a)|与|loga(1＋x)|的大小．
解法一 求差比大小．
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二 求商比较大小
=|log(1+x)(1－x)|=－log1+x(1－x)
∵(1＋x＞1，而0＜1－x＜1)
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
奇偶性．
解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R
∴f(x)是奇函数．
解法二 已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．
还是减函数？并证明．
(2)讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．
(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数．
设任取两个值x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2．
(∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x1x2＜x2－x1x2)．
∴f(x1)＜f(x2)
故f(x)在(0，1)上是增函数．
(2)解 由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．
当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．
当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．
综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数．
【例10】 (1)设0＜a＜1，实数x、y满足logax＋3logxa－logxy=3，
减函数．
＋∞)上是减函数．
?
对数函数·例题解析
?
域．
解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．
当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
域和值域．
反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．
【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x)，(2)y=log2|x＋1|
解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．
解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．
单调递减区间是(－∞，－1)．
单调递增区间是(－1，＋∞)．
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
所示．
单调减区间是(－1，2]．
单调增区间是[2，＋∞)．
解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．
单调递减区间是(－∞，1)．
【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是
[ ]
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．b＞a＞d＞c D．b＞c＞a＞d
解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．
【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．
解法一 令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：
(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．
(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．
(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．
解法二 由换底公式，化成同底的对数．
∵函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．
∵函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．
即a＞1＞b＞0．
顺序是：________．
说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．
【例7】 设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较|loga(1－a)|与|loga(1＋x)|的大小．
解法一 求差比大小．
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二 求商比较大小
=|log(1+x)(1－x)|=－log1+x(1－x)
∵(1＋x＞1，而0＜1－x＜1)
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
奇偶性．
解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R
∴f(x)是奇函数．
解法二 已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．
还是减函数？并证明．
(2)讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．
(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数．
设任取两个值x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2．
(∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x1x2＜x2－x1x2)．
∴f(x1)＜f(x2)
故f(x)在(0，1)上是增函数．
(2)解 由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．
当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．
当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．
综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数．
【例10】 (1)设0＜a＜1，实数x、y满足logax＋3logxa－logxy=3，
减函数．
＋∞)上是减函数．
?
指数函数和对数函数·对数函数·例题
?
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
解? A
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．R?????????????????????????????????? B．(-∞，-3]
C．[8，+∞)??????????????????????? D．[3，+∞)
解? B
例1-6-26? 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x)?????????????? [??? ]
A．在(-∞，0)内单调递增
B．在(-∞，0)内单调递减
C．在(-∞，-1)内单调递减
D．在(-∞，-1)内单调递增
解? D? 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．
例1-6-27? 已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式是????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．-x2-lg(1-x)????????????????????? B．x2+lg(1-x)
C．x2-lg(1-x)?????????????????????? D．-x2+lg(1-x)
解? A? 设x＜0，则-x＞0，所以
f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)
f(x)=-x2-lg(1-x)
例1-6-28? 函数y=5x+1的反函数是???????????????????????????????????????????? [??? ]
A．y=log5(x+1)?????????????????? B．y=logx5+1
C．y=log5(x-1)??????????????????? D．y=log(x-1)5
解? C
解? (1)奇函数．
∴? f(x)为奇函数
(2)3.373? 因为ψ(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)．所以
ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2))
=8-ψ(2)=8-4.627=3.373
例1-6-31? 若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______．
log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)＜0，求x的取值范围．
另一方面，有
所以f(x)是奇函数．
故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．
例1-6-33? 已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f(x)=lg(ax-bx)，
(1)求y=f(x)的定义域；
(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值．
(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2．
因为a＞1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．
故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+∞)内是增函数．
(3)因为f(x)在(1，+∞)内为增函数，所以对于x∈(1，+∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，即f(x)＞0只须f(1)=0．于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1．
又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2．而a-b=1，所以a+b=2．
例1-6-34 ?设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小．
解? 作差比较．
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，0＜1-x2＜1．
当a＞1时，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)．所以
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)
=-loga(1-x2)＞0
即????? |loga(1-x)|＞|loga(1+x)|
当0＜a＜1时，
|loga(1-x)|=loga(1-x)，|loga(1+x)|=-loga(1+x)
所以??? |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)
=loga(1-x2)＞0
即????? |loga(1-x)|＞|loga(1+x)|
注 ?本例也可用作商比较法来解．
例1-6-35? 设对所有实数x，不等式
恒成立，求a的取值范围．
解? 根据题意，可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件：
例1-6-36? 设函数f(x)=log2[(3-2k)x2-2kx-k+1]，求使f(x)在(-∞，0)内单调递减，而在(1，+∞)内单调递增的所有实数k组成的集合M．
必须有g(x)＞0，3-2k＞0，且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于[0，1]．于是k确定于不等式组
例1-6-37? 在函数y=logax(0＜a＜1，x≥1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4．
(1)若△ABC面积为S，求S=f(m)；
(2)判断S=f(m)的增减性；
(3)求S=f(m)的最大值．
解? (1)由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则
指数函数和对数函数·换底公式·例题
?
例1-6-38? log34·log48·log8m=log416，则m为?????????????????????????? [??? ]
解? B? 由已知有
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．b＞a＞1
B．1＞a＞b＞0
C．a＞b＞1
D．1＞b＞a＞0
解? A? 由已知不等式得
故选A．
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
故选A．
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．[1，+∞]????????? B．(-∞，1]????? C．(0，2)?????? D．[1，2)
2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．m＞p＞n＞q
B．n＞p＞m＞q
C．m＞n＞p＞q
D．m＞q＞p＞n
例1-6-43? (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；
(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．
但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．
例1-6-44? 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．
由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．
例1-6-45? 已知log1227=a，求log616的值．
例1-6-46? 比较下列各组中两个式子的大小：
例1-6-47? 已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足
3logxa+logax-logxy=3
(1)若x=at(t≠0)，试以a，t表示y；
(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．
解? (1)由换底公式，得
即????????????? logay=(logax)2-3logax+3
当x=at时，logay=t2-3t+3，所以
y=ar2-3t+3
(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．
值，所以当t=3时，umax=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．
?
函数的应用举例·例题解析
?
1．几何问题类
用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．
【例1】 如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．
解 (1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．
(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2
(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．
(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．
∴所求的函数关系式为
2．行程问题类
【例2】 已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数．
解 根据题意：
(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)
(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x＝150(2.5＜x≤3.5)
(3)由B地返回A地，则B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)
3．工程设计问题类
工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．
【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
解 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则
面积最大．
说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．
【例4】 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．
解 设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)．
在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x
∴(R－x)2＋782=R2
由题意知R≥600
得x2－1200x＋6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)
∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．
4．营销问题类
这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．
【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．
解 设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润
y=(2＋x)(200－20x)
=－20(x－4)2＋720
当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．
5．单利问题类
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1＋nR)．
【例6】 某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？
解 这里P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．
答 本利和为1108元．
6．复利问题类
复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1＋r)x．
【例7】 某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5％的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．
解 设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n，解得n=lg2/lg1.065≈11．
答 11年后每张债券应一次偿还本利和1000元．
7．函数模型类
这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．
【例8】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx＋c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
解 设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)
∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x＋0.7
f(4)=－0.05×16＋0.35×4＋0.7=1.3
又y=abx＋c
【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次
投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
解 设投入甲产品资金为x万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．
答 对甲、乙产品分别投资为0.75万元和2.25万元，获最大利润为
8．增长率(或降低率)问题类
这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．
【例10】 某工厂1988年生产某种产品2万件，计划从1989年开始，每年的产量比上一年增长20％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解 设过x年后，产量超过12万件．
则有2(1＋20％)x＞12
解得x＞9.84
答 从1998年开始年产量可超过12万件．
9．相关学科问题类
这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．
【例11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1，a2，…，an推出的a值．
解 a应满足：y=(a－a1)2＋(a－a2)2＋…＋(a－an)2
此式表示以a为自变量的二次函数，
∵n＞0．
10．决策问题类
决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．
【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式．
(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解 (1)y=300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N)
(2)当x=0，1，2时，y≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．
(3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B地，甲地调2台至B地，10台至A地，这时，总运费y＝8600元．
函数·典型例题分析
?
例1? 与函数y=x表示相同函数的是?????????????????? [??? ]
则、值域不同，排除C．而
评注? 判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则．其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质．
例2? 求下列函数的定义域
(5)设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．
∴定义域是空集，函数是虚设的函数
(2)由函数式可得
∴函数的定义域是{x|x=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标
(3)∵x2-4≠0
∴x≠±2
∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)
(4)从函数式可知，x应满足的条件为
∴函数的定义域为
(5)∵f(x)定义域为[0，2]
所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足
又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1
即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a}
当a＞1时，x∈(
评注 求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．
例3? 求下列函数的值域
解? (1)由原式可化为
(2)将函数变形，整理可得：
2yx2-4yx+3y-5=0
当y=0时，-5=0不可能，故y≠0
∵x∈R
∴Δ=(-4y)2-4×2y×(3y-5)≥0
即y(y-5)≤0解得0≤y≤5
而y≠0
∴0＜y≤5
故函数值域为(0，5]
此二次函数对称轴为t=-1
评注? 求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子．学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法．
例4 ?(1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若
f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式
解? (1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大
故可设g(x)=ax+b(a＞0)
∵f[g(x)]=4x2-20x+25
∴(ax+b)2=4x2-20x+25
即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25
解得? a=2，b=-5
故g(x)=2x-5
于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)
故f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)
f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)
评注? 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．
例5? 如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．
(1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；
评注? 本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．
例6? 设x≥0时，f(x)=2，x＜0时，f(x)=1又
解? 当0＜x＜1时，x-1＜0，x-2＜0
当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0
当x≥2时，
g(x)=2
评注? 分段函数关键是在x的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数．
2．2 函数·例题解析
?
【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
(1)x2＋y＝1
(2)x＋y2＝1
解 (1)由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．
于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的．
【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？
解 (1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．
(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．
(4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．
【例3】求下列函数的定义域：
【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：
求实数a的取值范围．
为所求a的取值范围．
【例6】求下列函数的值域：
(1)y＝－5x2＋1
(3)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1)
(4)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3]
(9)y＝|x－2|－|x＋1|
解 (1)∵x∈R，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．
说明 求函数值域的方法：
1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)
2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：
(如例5)可做公式用．
法求y的范围(如例6－7)．
为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．
6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．
7°图像法(如例6－9)：
由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．
解 (2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．
说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．
【例8】根据已知条件，求函数表达式．
(1)已知f(x)＝3x2－1，求①f(x－1)，②f(x2)．
(2)已知f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．
求f(x)．
(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．
(5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．
(1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．
解 ∵f(x)＝3x2－1
∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2
f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1
(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．
解 由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4
法(或观察法)．
∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7
＝t2－4t－12 (t≥－1)
即f(x)＝x2－4x－12 (x≥－1)
说明 解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．
(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝2，得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋
说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．
(5)解：∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．
∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴得2x＋2x＞a，又∵y＞0，
说明 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．
反函数·函数的单调性·例题
1? 下列函数中，属于增函数的是 [??? ]
2? 若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的?? [??? ]
A．上半平面?????????????????????????????? B．下半平面
C．左半平面?????????????????????????????? D．右半平面
3? 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是?? [??? ]
A．a≥3?????????????????????????????????????? B．a≤-3
C．a≤5?????????????????????????????????????? D．a=-3
4? 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) [??? ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
5? y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同
函数；y=[f(x)]2是单调______函数．
6? (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；
9? 已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．
2．3．1 函数的单调性·例题解析
?
【例1】求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3|
解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．
解 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．
当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．
∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．
令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．
∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．
若a＜0时，无解．
∴a的取值范围是0≤a≤1．
【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
时为减函数．
解 任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．
当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．
当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．
【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
证 取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．
又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．
∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．
当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．
2°注意对参数的讨论(如例4)．
3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)
4°例6是分层讨论，要逐步培养．
2．4 反函数·例题解析
?
【例1】求下列函数的反函数：
解 (2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，＋∞)，
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．
解 (1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，
解 (2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，
它们的图像如图2．4－2所示．
(1)求它的反函数；(2)求使f-1(x)＝f(x)的实数a的值．
令x＝0，∴a＝－3．
或解 由f(x)＝f-1(x)，那么函数f(x)与f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x≠a，x∈R}，值域y∈{y|y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．
试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身．
令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．
事实上，当a＋d＝0时，必有f-1(x)＝f(x)，
因此所求的条件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．
【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1(x)，(2)证明f-1(x)在其定义域内是减函数．
解法(二) 由函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)之间的一一对应关
因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y＝x对称，
∴函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
2．5 指数·例题解析
?
【例1】若a、b∈R，x、y均为正实数，判断下列运算是否成立：
(1)ax·ay＝ax+y； 　　　　　　　　　(2)(ax)y＝axy；
都没有意义．
分析 这是幂值的计算问题，一般先把幂化为底数是质数的指数式，再应用同底的幂的运算法则进行计算，有“方向”性，较为方便．
分析 在指数运算中，改变指数结构的表达形式：如a－8b＝
分析 在例5中已谈到改变指数表达形式，除此之外还可用平方法
?
指数函数和对数函数·对数·例题
?
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．a＜b＜c????????????????????????? B．a＜c＜b
C．b＜c＜a????????????????????????? D．c＜b＜a
解? C
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
例1-6-14? 对数式loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)中的x的
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
例1-6-15? 如果f(lgx)=x，则f(3)的值等于????????????????????????????????? [??? ]
A．log3??????????? B．log310?????????? C．l03???????????? D．310
解? C? 令lgx=3，则x=103．
例1-6-16? 若log2x=log3y=log5z＞0，则??????????????????????????????????????? [??? ]
解? B? 令log2x=log3y=log5z=k，有x=2k，y=3k，z=5k．于是
例1-6-17? 已知ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且logMb=x，则logMa的值为????? [??? ]
解? A? 因为ab=M，所以logMab=logMM=1，即logMa+logMb=1．但logMb=x，所以logMa=1-x．
例1-6-18? 计算：
(1)25log53=______
例1-6-20? 设M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在
事实上，若lga=1，则a=10．此时11-a=1，从而11-a=lga=1，此与集合元素互异性矛盾．
若2a=1，则a=0．此时lga无意义．
1，则a=10，从而lga=1，与集合元素互异性矛盾．
例1-6-22? 化简：
例1-6-23? 设a，b同号，且a2-2ab-9b2=0，求
lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)
的值．
指数函数·例题解析
?
【例1】求下列函数的定义域与值域：
解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．
(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，
【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[ ]
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C． b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．
【例3】比较大小：
(3)4.54.1________3.73.6
解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6
∴ 4.54.1＞3.73.6．
说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．
【例5】作出下列函数的图像：
(3)y＝2|x-1| 　　　　　　　　　　　　　　　(4)y＝|1－3x|
解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．
解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．
解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)
当x＝0时，函数y有最大值为1．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的值域；
(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
解 (1)定义域是R．
∴函数f(x)为奇函数．
即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)
指数函数和对数函数·指数函数·例题
?
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
解 ?A
例1-6-2? f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是???????????????????????????????????? [??? ]
A．(0，+∞)?????????????????????? B．(5，+∞)
C．(6，+∞)?????????????????????? D．(-∞，+∞)
解? B? 因为f(x)=x2+5＞5，即f(x)的值域为(5，+∞)，故f-1(x)的定义域为(5，+∞)．
例1-6-3? 下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是???????????????? [??? ]
解? B
例1-6-4? 函数y=(a2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a的取值范围是?????? [ ???]
例1-6-5? 已知a＞b，ab≠0．审查下列不等式．
其中恒成立的有????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
A．1个??????????? B．2个????????? C．3个???????????? D．4个
解? C
解? (0，1)
例1-6-7? 使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是______．
例1-6-8? 根据不等式确定正数a的取值范围：
(1)a-0.3＜a0.2，则a∈______；
(2)a7.5＜a3.9，a∈______；
解? (1)(1，+∞)? (2)(0，1)? (3)(0，1)
(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0)，都有f(x)＞0．
所以f(x)是偶函数．
(2)当x＞0时，2x＞1，所以f(x)＞0．
当x＜0时，由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)＞0．
所以对一切x∈R，x≠0，恒有f(x)＞0．
注? 利用函数的奇偶性常可使解法简化．如本例(2)，当x＜0时，证明f(x)＞0较繁．若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x＞0时f(x)＞0，而这是显然的．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是区间(-∞，+∞)上的增函数；
(3)求函数的值域．
解? (1)f(x)的定义域为R．又
所以f(x)为奇函数．
在R上为增函数．
说明 求函数值域的方法：
1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)
2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：
(如例5)可做公式用．
法求y的范围(如例6－7)．
为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．
6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．
7°图像法(如例6－9)：
由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．