高三（上）期中数学试卷（含答案）

高三（上）期中数学试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则（　　）
A．A＝B B．B A C．A B D．A∩B＝
2．（5分）已知p：x+y＞3，q：x＞1且y＞2，则q是p的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，记Sn是{an}的前n项和．若a11＝S3，a2＜10，则a2022＝（　　）
A．2022 B．2023 C．4049 D．4054
4．（5分）下列函数中，是偶函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝3x C．y＝log3x D．y＝x2
5．（5分）已知向量＝（x﹣1，3），＝（1，y），其中x，y都为正实数，若，则的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2
6．（5分）将函数f（x）＝sinxcosx的图象向右平移φ）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间上单调递增，则满足条件的实数φ的最小值与最大值的和是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x﹣sinx，若f（2a2）+f（a﹣1）≤0，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）若，，，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1＞1，a2022＞1，a2023＜1，则（　　）
A．a2022 a2024﹣1＜0
B．S2022+1＜S2023
C．T2022是数列{Tn}中的最大项
D．T4045＞1
（多选）10．（5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角垛）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，从上往下n层球的球的总数为Sn，则（　　）
A．an﹣an﹣1＝n+1（n≥2）
B．S7＝84
C．a99＝4950
D．
（多选）11．（5分）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，体现了中国人民的劳动智慧：图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．的取值范围为
（多选）12．（5分）已知函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x+1）为偶函数，下列说法正确的有（　　）
A．f（x）图象关于直线x＝﹣1对称
B．g（2023）＝0
C．g（x）的最小正周期为4
D．对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围是 　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝，其中a＞1，若函数f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（5分）直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于　 　．
16．（5分）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），其导函数为f′（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sinx，且当x 0时，f′（x）＞﹣cosx，则不等式的解集为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
18．（12分）在△ABC中，其内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且满足_____．
①；
②；
③．
请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC外接圆的半径为，如图所示，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝1，求△ABC的面积．
19．（12分）已知数列{an}的首项a1＝，an+1＝
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设数列{an}的前n项和Sn，证明：Sn＞．
20．（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x（x≥16）元，并投入（x﹣16）万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．
（提示：月总利润＝月销售总收入﹣月总成本）
21．（12分）已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣b，且g（x）在上有两个零点，求b的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a＞0）．
（1）当时，求的极值；
（2）若lnx﹣ax2≤bx恒成立，求a+2b的最小值．
高三（上）期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．C．
2．A．
3．C．
4．D．
5．C．
6．D．
7．D．
8．A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．AC．
10．BC．
11．ACD．
12．ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（3，+∞）．
14．（4，+∞）．
15．或
16．．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）m＝1．
（2）由（1）可得：f（x）＝．
当x∈[1，9]时，f（x）的值域为：[1，3]＝A．
g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4．
可知：x＝2时，函数g（x）取得最小值，g（2）＝t﹣4．
又g（1）＝t﹣3，g（9）＝t+45＞t﹣3，
∴x＝9时函数g（x）取得最大值．
∴B＝[t﹣4，t+45]．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，
则，且等号不能同时成立．
∴﹣42≤t≤5．
∴实数t的取值范围是[﹣42，5]．
18．解：（I）若选①；
可得（tanBtanC﹣1）＝tanB+tanC，
∴tan（B+C）＝＝﹣，
在△ABC中，A+B+C＝π，tan（B+C）＝tan（π﹣A）＝﹣，∴tanA＝，
又A为△ABC内角，故A＝；
若选②：，
在△ABC中，A+B+C＝π，
则已知式可化为sin（π﹣A）＝2﹣cosA，
∴sinA+cosA＝2，∴2sin（A+）＝2，
∴sin（A+）＝1，又A为△ABC内角，故A+＝，
∴A＝；
若选③：．
∴sinBsin（﹣）＝sinAsinB，
又sinB≠0，则cos＝2sincos，
又cos≠0，则sin＝
又A为△ABC内角，故A＝；
（II）由（I）和题设可知，A＝，△ABC外接圆的半径为，
从而在△ABC中，由正弦定理得a＝2RsinA＝2sin＝，
由于AD＝1，∠BAD＝∠CAD＝，且S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴bcsin＝c ADsin+b ADsin，
∴bc＝b+c，
在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
得6＝b2+c2﹣2bccos，即6＝b2+c2﹣bc，又bc＝b+c，
解得bc＝2或bc＝﹣1（舍去），
∴S△ABC＝bcsinA＝×2sin＝．
19．解：（1）因为，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）设数列{bn}的前n项和为，
则，
当n＞1时，，
易知满足上式，
所以数列{bn}的通项公式为，
当n＝1时，，S1＞T1＞1显然成立；
当n＝2时，，a2＞b2，则S2＞T2成立；
当n≥3且n为正整数时，，
令f（n）＝3n﹣2n2﹣2n+2，
因为n≥3，
所以f′（n）＝3nlnn﹣4n﹣2＞3n﹣4n﹣2，
令g（n）＝3n﹣4n﹣2，
则g′（n）＝3nlnn﹣4＞3n﹣4＞0，
则当n≥3时，g（n）＝3n﹣4n﹣2＞0，
所以f′（n）＞0，
所以当n≥3时，f（n）≥f（3）＞0，
即an﹣bn＞0，
又因为a1＞b1，a2＞b2，
所以Sn＞Tn，
即．
20．解：（1）设饮料每瓶售价为a元，
由题意得[8﹣0.8（a﹣15）]（a﹣10）≥（15﹣10）×8，即a2﹣35a+300≤0，
解得15≤a≤20，
故饮料每瓶售价最多为20元；
（2）每瓶售价x（x≥16）元，设下月总利润为W，则每瓶利润为（x﹣10）元，月销售量为8﹣ （x﹣15）＝（8﹣）万瓶，
由题意得W＝（x﹣10）（8﹣）﹣（x﹣16）＝﹣x﹣+51.2＝﹣[（x﹣15）+]+47.45（x≥16），
∵x≥16，则x﹣15≥1，
∴（x﹣15）+≥2＝8，当且仅当x﹣15＝，即x＝19时，等号成立，
∴W＝﹣[（x﹣15）+]+47.45≤﹣×8+47.45＝45.45，
故当每瓶售价x为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．
21．解：（1）因为＝，
因为函数图象相邻对称中心之间的距离为，故函数f（x）的最小正周期为π，
因为ω＞0，则，则ω＝1，故．
由可得，
因此，函数f（x）的单调递增区间为．
（2）因为，
当时，，
由可得，所以，函数g（x）在上单调递增，
由可得，所以，函数g（x）在上单调递减，
因为，，，
要使得函数g（x）在上有两个零点，
则，解得，
因此，实数b的取值范围是．
22．解：（1）因为，所以，
设，因为g（x）单调递减，且，所以g（x）在上大于0，
在上小于0，所以原函数在上单调递增，在上单调递减，
且，所以的极大值为0，无极小值．
（2）原不等式lnx﹣ax2≤bx等价于，
令，，
存在x0∈（0，+∞），F'（x0）＝0，即，
∴在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，
，∴，
∴，
令，
，
，
即，
所以H（x）在，递减，在递增，
当时，，
因此当时，，所以a+2b的最小值为﹣4ln2