一、二 选择题答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C C B C C A ACD BD CD BD
三、填空题：
14. 0或-2 15. 16.
解答题
17【答案】(1)
(2)
18、【详解】（1）因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
（2）在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
19、【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用复数的相等的概念以及复数的四则运算进行求解.
（2）利用复数的几何意义求解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由（1）有：，
因为在复平面所对应的点是，且在直线上，所以.
解得.
20、（1）是圆O的直径，．
由题意，在中，，
，即，
在中，，，
又三棱锥的体积为，
由，解得，
故圆柱的表面积为：．
（2）取中点，连接，，
则，且．
或它的补角为异面直线与所成的角，
又， ，
在中，由余弦定理得，，
异面直线与所成角余弦值为．
21、（1）取BD的中O点，连CO，，
∵，，∴，
∴， ∴
（2）∵，
∴，是正三角形，，
，
∴，，
即
取、的中点、，连，
则∥，且=
因为，，所以即二面角的平面角
，，
22、【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.
【详解】（1）解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，
∴，，
∵，∴.
（2）若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．海盐县 2022/2023学年第二学期高一期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的。
1．下列几何体中是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
A．①和⑤ B． ① C． ③和④ D． ①和④
2．已知复数 z1 a 3i ,z2 2 i （i为虚数单位），若 z1z2是纯虚数，则实数 a=（ ）
3 3
A． B． C． 3 D．3
2 2
3. 已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
4．向量a 1,2 ，b x,1 ，若 a b a b ，则 x （ ）
A． 2 B． 2 C． 2 D．2
5. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 450 ，腰和上底边均为 1的等腰梯形，则
这个平面图形的面积是（ ）
A. 1 2 B. 2 2 C.
2
1 2 D. 1
2 2 2
6．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图 1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，
24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
148
A． cm3 B．74cm3 C．148cm3 D．3 298cm
3
7．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如
图，若设健身房在 A处，图书馆在 B处，为测量 A,B两地之间的距离，甲同学
选定了与 A,B不共线的 C处，构成 ABC ,以下是测量的数据的不同方案：①测
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量 A, B, C；②测量 A, B,BC；③测量 A, AC,BC；④测量 C,AC,BC其中要求能唯一确定 A,B
两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
8. 将 3个半径为 1的球和一个半径为 2－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四
个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）
A 3 2＋ 6 B 3＋2 6 2＋2 6 2 2＋ 6． ． C． D．
3 3 3 3
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合要求的。
9．如图，点C，D是线段 AB的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A． AC DB B． AB AC C． D． AD 2CD
10．如图，在四棱锥 P ABCD中，M 、N分别为 AC、PC上的点，且MN //平
面 PAD，则（ ）
A. MN //PD B．MN //平面 PAB
C．MN //AD D．MN //PA
11．已知向量 a,b不共线，若 AB 1a b，AC a 2b，且A，B，C三点共线，则关于实数 1, 2
的值可以是（ ）
1 1 1 1A．2， B． 32 ， C．2， D． 3，3 2 3
12．如图，设 E，F分别是长方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CD上的两个动点，点 E在点 F的左边，且
1
满足 2EF DC BC，有下列结论：（ ）
2
A．B1D⊥平面 B1EF ；
B．三棱锥D1 B1EF 体积为定值；
C． A1A//平面 B1EF ；
D．平面 A1ADD1⊥平面 B1EF ．
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．若复数 z a 2i（ i为虚数单位， a R），满足 z 3，则 a的值为 ．
r
14．已知向量 a 2,1 ，b q,1 ，且 a在b上的投影数量等于 1，则 q ．
15．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的高为 ．
16．如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF互相垂直，点 M在 AC上移
动，点 N在 BF上移动，若 CM＝BN＝a(0
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本题满分 10分
π
已知平面向量 a，b， a 2， b 3，且 a与b的夹角为 ．3
(1)求 a b
(2)若 a b与 a kb k R 垂直，求 k的值．
18. 本题满分 12分
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选 B，C两处作为测
量点，测得 BC的距离为50m， ABC=45 ， BCA 105 ，在C处测得大楼楼顶D的仰角 为 75°.
(1)求 AC两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
19. 本题满分 12分
a,b a bi 1 2i 3 i 1 i已知 为实数， i为虚数单位，且满足 .
1 i
（1）求实数 a,b的值；
（2）若复数 z m a m b i在复平面所对应的点在直线 y 2x上，求实数m的值.
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20. 本题满分 12分
如图，已知点 P在圆柱OO1的底面圆O上， AB为圆O的直径，OA 2， A O P 120 ，三棱锥
A1 APB
8
的体积为 3．
3
(1)求圆柱OO1的表面积；
(2)求异面直线 A1B与OP所成角的余弦值．
21. 本题满分 12分
已知四边形 ABCD， AB AD 2 ，BC CD 1， BC CD，将四边形沿 BD折起，使
A 'C 3，如图所示．
（1）求证： A C BD；
（2）求二面角D A B C的余弦值．
22. 本题满分 12分
在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 2b cosC 2a c．
(1)求角 B的大小；
(2)若b 2 3，D为 AC边上的一点， BD 1，且 ，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段 AC的中点．
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