4.2一次函数与正比例函数 课件（26张PPT）

(共26张PPT)
新课标 北师大版 八年级上册
2023-2024学年度上学期北师大版精品课件
第四章 一次函数
4.2一次函数与正比例函数
1.经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识。
2.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
学习目标
复习提问
1、什么叫函数
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定唯一一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
2、函数有哪些表示方法
图象法、列表法、关系式法
实例引入
在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，如图所示．当时的人们通过容器泄水的流量来判断时间的多少．那么你知道为什么可以用水流量来判断时间吗？
假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高，也就是说，浮子升高高度h=kt(k为常数）
实例引入
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子
探究新知
探究活动一：
1、某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
5.5
4
4.5
5
3
3.5
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=0.5x + 3
提示：等量关系：弹簧长度=增加的长度+自然长度
探究新知
探究活动二：
2、某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L。
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
(2) 你能写出y与x的关系吗
y=0.12x
(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗
z=60－0.12x
探究新知
上面的三个关系式中，有什么共同点及区别？
(1) y=0.5x + 3
(2) y=0.12x
(3)z=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
探究新知
思考：一次函数的结构特征有哪些？
（1）k≠0 .
（2）x 的次数是1.
（3）常数项ｂ可以为一切实数.
一次函数
正比例函数
解释应用
例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解释应用
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解释应用
例2：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3 500) (3500解释应用
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
拓展应用
例3：已知函数y=（k+1）x+（k2-1）
①当k取什么值时，y是x的一次函数？
②当k取什么值时，y是x的正比例函数？
解：
①由已知得 k+1≠0
∴k≠-1
故当k≠-1时，y是x的一次函数.
②由已知得
故当k=1时，y是x的正比例函数.
k+1≠0 ①
k2-1=0　②
由 ①得k≠-1
由 ②得k=±1
∴k=1
拓展应用
例4：已知函数y＝(m－5)xm －24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
解：(1) ∵y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0，
∴ m＝±5且m≠5，
∴ m＝－5.
∴当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数．
拓展应用
解：(2)∵ y＝(m－5)xm －24＋m＋1是一次函数，
∴ m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
∴ m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
∴函数y＝(m－5)xm －24＋m＋1不可能为正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
随堂练习
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
（7）不是一次函数，也不是正比例函数
（7）y=kx+b
中考链接
1.（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y关于x的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
一
1.(1)30件；(2)
(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一
中考链接
2.（2023·上海·统考中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．(1)他实际花了多少钱购买会员卡？(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
(1)900
(2)
(3)
课堂小结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
当堂测试
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ）
√
√
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
≠2
=-2
3．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3;
（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）.
当堂测试
分层作业
1.下列表示y式x的正比例函数的是（ ）
A.y=-0.1x B.y= C.y=2x D.y =4x
2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油
箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关
系式是_________
A
【基础达标作业】
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值
解：根据题意，得∣m∣=1,
解得m=±1，
但m-1≠0,即m≠1,
所以m=-1.
解：根据题意，得m2-9=0,
解得m=±3，
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
分层作业
【能力提升作业】
分层作业
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
解:(1)y1 =x.
(2)y2=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
【拓展延伸作业】
祝所有同学
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
不负韶华