9.8 幂的乘方 课件（23张PPT）
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(共23张PPT)
第九章 整式
第3节 整式的乘法
9.8 幂的乘方
1、理解幂的乘方的意义.
2、理解并掌握幂的乘方的法则，会用法则进行正确计算.
3、经历探究幂的乘方法则的过程，体验从特殊到一般研究问题的方法，逐步形成基础性的逻辑思维能力.?
53 是5的3次幂，(53)2可以看作是53的2次幂，即5的三次幂的平方.
同样， a · a · a · … · a · a 可以写成an (读作“a的n次方”).
n个 a
an 其中a表示底数,正整数n表示指数, a的n次乘方的结果叫做a的n次幂
1.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什
么规律？
53×2=56
（1） (53)2=53×53=56
（2） (34)3=34×34×34=312
34×3=312
（3） [(-2)3]4=(-2)3×(-2)3×(-2)3×(-2)3= (-2)12=212
(-2)3×4 =(-2)12=212
（4） (a2)5=a2×a2×a2×a2×a2= a10
a2×5 =a10
猜想：(am)n =_____.
amn
证一证：
( am )n
n 个 am
n 个 m
幂的乘方法则
(am)n = amn (m，n 都是正整数).
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
不变
相乘
例题1 计算下列各式,结果用幂的形式表示：
(1) (73)2 ；
解： (1) (73)2 = 73×2 = 76.
(2) (a2)3 = a2×3 = a6.
(3) [(-2)3]4 ；
(2) (a2)3；
(4) -(b3)3；
(3) [(-2)3]4 = (-2)3×4 = (-2)12 = 212.
(4)-(b3)3 = -b3×3 = -b9= (-b )9.
书本第21页
例题2 计算下列各式,结果用幂的形式表示：
(1) (x2)3· (x3)4 ；
解： (1) (x2)3·(x3)4 = x2×3·x3×4= x6·x12 = x6+12 = x18.
(2) -y2·(-y)3·[(- y)2]3 =-y2·(-y)3·y6 =y2+3+6 =y11 .
(2) -y2·(-y)3·[(- y)2]3 ；
(3) [(a + b)2]3 ；
(3) [(a + b)2]3 =(a + b)2×3 =(a + b)6.
(4) (x + y)3·[(x + y)2]2；
(4) (x + y)3·[(x + y)2]2= (x + y)3·(x + y)2×2
= (x + y)3·(x + y)4 = (x + y)7.
书本第22页
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
(2) (－x)2· (－x)4＋ (x2)3
例3 计算：
(1) a3·a4·a2＋(a3)3 ；
(2) (－x)2· (－x)4＋ (x2)3.
解：(1) a3·a4·a2＋(a3)3
= a3+4+2·a3×3
= a9＋a9 = 2a9.
= (－x)2+4＋x2×3
= x6＋x6 = 2x6.
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
书本第22页
(-a5)2 表示 2 个 -a5 相乘，结果没有负号.
比一比
(-a2)5 和 (-a5)2 的结果相同吗 为什么
不相同.
(-a2)5 表示 5 个 -a2 相乘，其结果带有负号.
n 为偶数，
n 为奇数.
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方法则拓展：
＝ ( a6 )4
＝ a24
[ ( y5 )2 ]2 =______ = ______；
[ ( x5 )m ]n =______=_______.
练一练：
( y10 )2
y20
( x5m )n
x5mn
例4 已知 10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：
(1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n.
解：(1) 103m＝(10m)3＝33＝27.
(2) 102n＝(10n)2＝22＝4.
(3) 103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求式子正确变形，然后整体代换求值即可.
幂的乘方法则的逆用：amn = (am)n = (an)m
(1) 已知 x2n＝3，求 (x3n)4 的值；
(2) 已知 2x＋5y－3＝0，求 4x · 32y 的值.
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵ 2x＋5y－3＝0，
∴ 2x＋5y＝3.
∴ 4x · 32y＝(22)x · (25)y＝22x · 25y＝22x＋5y＝23＝8.
变式练习
例4 比较 3500，4400，5300 的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是 100 的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解：3500 = (35)100 = 243100，4400 = (44)100 = 256100，
5300 = (53)100 = 125100.
∵ 256 > 243 > 125，
∴ 256100 > 243100 > 125100，即 4400 > 3500 > 5300.
方法总结：比较底数大于 1 的幂的大小的方法有两种：
(1) 底数相同，指数越大，幂就越大；
(2) 指数相同，底数越大，幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数或同指数的幂，然后再去比较大小.
1. ( x4 )2 等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
B
2.下列各式的括号内，应填入 b4 的是 ( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6
C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
C
3. 下列计算中，错误的是 ( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
B
4. 如果 ( 9n )2＝312，那么 n 的值是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
5. 计算：
(1) (102)8；
(2) (xm)2；
(3) [(－a)3]5；
(4)－(x2)m.
解：(1) (102)8＝1016.
(2) (xm)2＝x2m.
(3) [(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4) －(x2)m＝－x2m.
6. 计算：
(1) 5(a3)4－13(a6)2；
(2) 7x4 · x5 · (－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3) [(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1) 原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2) 原式＝－7x9 · x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3) 原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
7. 已知 3x + 4y - 5 = 0，求 27x · 81y 的值.
解：∵ 3x + 4y - 5 = 0，
∴ 3x + 4y = 5.
∴ 27x · 81y = (33)x · (34)y
= 33x · 34y = 33x+4y
= 35
= 243.
8. 已知 a = 291，b = 365，c = 539，试比较 a，b，c
的大小.
解：a = 291 = (27)13 = 12813，
b = 365 = (35)13 = 24313，
c = 539 = (53)13 = 12513.
∵ 243 > 128 > 125，
∴ b > a > c.
拓展提升
幂的乘方
法则
(am)n = amn ( m，n 都是正整数)
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的
区别：(am)n = amn；am·an = am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn = (am)n = (an)m
第九章 整式
第3节 整式的乘法
9.8 幂的乘方
1、理解幂的乘方的意义.
2、理解并掌握幂的乘方的法则，会用法则进行正确计算.
3、经历探究幂的乘方法则的过程，体验从特殊到一般研究问题的方法，逐步形成基础性的逻辑思维能力.?
53 是5的3次幂，(53)2可以看作是53的2次幂，即5的三次幂的平方.
同样， a · a · a · … · a · a 可以写成an (读作“a的n次方”).
n个 a
an 其中a表示底数,正整数n表示指数, a的n次乘方的结果叫做a的n次幂
1.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什
么规律？
53×2=56
（1） (53)2=53×53=56
（2） (34)3=34×34×34=312
34×3=312
（3） [(-2)3]4=(-2)3×(-2)3×(-2)3×(-2)3= (-2)12=212
(-2)3×4 =(-2)12=212
（4） (a2)5=a2×a2×a2×a2×a2= a10
a2×5 =a10
猜想：(am)n =_____.
amn
证一证：
( am )n
n 个 am
n 个 m
幂的乘方法则
(am)n = amn (m，n 都是正整数).
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
不变
相乘
例题1 计算下列各式,结果用幂的形式表示：
(1) (73)2 ；
解： (1) (73)2 = 73×2 = 76.
(2) (a2)3 = a2×3 = a6.
(3) [(-2)3]4 ；
(2) (a2)3；
(4) -(b3)3；
(3) [(-2)3]4 = (-2)3×4 = (-2)12 = 212.
(4)-(b3)3 = -b3×3 = -b9= (-b )9.
书本第21页
例题2 计算下列各式,结果用幂的形式表示：
(1) (x2)3· (x3)4 ；
解： (1) (x2)3·(x3)4 = x2×3·x3×4= x6·x12 = x6+12 = x18.
(2) -y2·(-y)3·[(- y)2]3 =-y2·(-y)3·y6 =y2+3+6 =y11 .
(2) -y2·(-y)3·[(- y)2]3 ；
(3) [(a + b)2]3 ；
(3) [(a + b)2]3 =(a + b)2×3 =(a + b)6.
(4) (x + y)3·[(x + y)2]2；
(4) (x + y)3·[(x + y)2]2= (x + y)3·(x + y)2×2
= (x + y)3·(x + y)4 = (x + y)7.
书本第22页
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
(2) (－x)2· (－x)4＋ (x2)3
例3 计算：
(1) a3·a4·a2＋(a3)3 ；
(2) (－x)2· (－x)4＋ (x2)3.
解：(1) a3·a4·a2＋(a3)3
= a3+4+2·a3×3
= a9＋a9 = 2a9.
= (－x)2+4＋x2×3
= x6＋x6 = 2x6.
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
书本第22页
(-a5)2 表示 2 个 -a5 相乘，结果没有负号.
比一比
(-a2)5 和 (-a5)2 的结果相同吗 为什么
不相同.
(-a2)5 表示 5 个 -a2 相乘，其结果带有负号.
n 为偶数，
n 为奇数.
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方法则拓展：
＝ ( a6 )4
＝ a24
[ ( y5 )2 ]2 =______ = ______；
[ ( x5 )m ]n =______=_______.
练一练：
( y10 )2
y20
( x5m )n
x5mn
例4 已知 10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：
(1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n.
解：(1) 103m＝(10m)3＝33＝27.
(2) 102n＝(10n)2＝22＝4.
(3) 103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求式子正确变形，然后整体代换求值即可.
幂的乘方法则的逆用：amn = (am)n = (an)m
(1) 已知 x2n＝3，求 (x3n)4 的值；
(2) 已知 2x＋5y－3＝0，求 4x · 32y 的值.
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵ 2x＋5y－3＝0，
∴ 2x＋5y＝3.
∴ 4x · 32y＝(22)x · (25)y＝22x · 25y＝22x＋5y＝23＝8.
变式练习
例4 比较 3500，4400，5300 的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是 100 的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解：3500 = (35)100 = 243100，4400 = (44)100 = 256100，
5300 = (53)100 = 125100.
∵ 256 > 243 > 125，
∴ 256100 > 243100 > 125100，即 4400 > 3500 > 5300.
方法总结：比较底数大于 1 的幂的大小的方法有两种：
(1) 底数相同，指数越大，幂就越大；
(2) 指数相同，底数越大，幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数或同指数的幂，然后再去比较大小.
1. ( x4 )2 等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
B
2.下列各式的括号内，应填入 b4 的是 ( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6
C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
C
3. 下列计算中，错误的是 ( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
B
4. 如果 ( 9n )2＝312，那么 n 的值是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
5. 计算：
(1) (102)8；
(2) (xm)2；
(3) [(－a)3]5；
(4)－(x2)m.
解：(1) (102)8＝1016.
(2) (xm)2＝x2m.
(3) [(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4) －(x2)m＝－x2m.
6. 计算：
(1) 5(a3)4－13(a6)2；
(2) 7x4 · x5 · (－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3) [(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1) 原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2) 原式＝－7x9 · x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3) 原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
7. 已知 3x + 4y - 5 = 0，求 27x · 81y 的值.
解：∵ 3x + 4y - 5 = 0，
∴ 3x + 4y = 5.
∴ 27x · 81y = (33)x · (34)y
= 33x · 34y = 33x+4y
= 35
= 243.
8. 已知 a = 291，b = 365，c = 539，试比较 a，b，c
的大小.
解：a = 291 = (27)13 = 12813，
b = 365 = (35)13 = 24313，
c = 539 = (53)13 = 12513.
∵ 243 > 128 > 125，
∴ b > a > c.
拓展提升
幂的乘方
法则
(am)n = amn ( m，n 都是正整数)
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的
区别：(am)n = amn；am·an = am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn = (am)n = (an)m