专题1 与三角形有关的线段的几种常见题型
一、选择题
1. (2023黄埔区期末)以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. (2023番禺区华南碧桂园学校期末)如图，在中，边上的高为( )
A. B.
C. D.
3. (2023荔湾区期末)已知三条线段的长分别是，，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是( )
A. B. C. D.
4. (2021番禺区期末)如图，是的角平分线，于点，，，，则长是( )
A. B.
C. D.
5. (2023广大附中实验学校期末)已知的三条边长分别为，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、填空题
6. (2023天河区天省实验学校期末)已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则它的周长为 ．
7. (2023海珠区南武中学期末)如图，在中，，，平分，若，则的面积为 ．
8. (2023广州七中期中)如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则 ．
9. (2023广州市清华附中湾区学校期末)如图，已知的周长是，、分别平分和，于且，的面积是 ．
10. (2022白云区期末)如图，在锐角中，，是中线，两条高和交于点，则下列结论中，正确的是 （填序号)．
；
；
：：；
当点在上时，是等边三角形．
三、解答题
11. (2023广州四十一中期末)如图，在中，，，是的角平分线．
（1）是边上的高线，请画出图形；
（2）在（1）条件下，求的度数．
12. (2023广州四十一中期末)求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等．
（解题要求：补全已知、求证，写出证明）
已知：如图，在中，是边上的中线， ．
求证： ．
证明：
13. （2021白云区期末)
如图，在中，平分，，．
（1）作边上的高，求的度数；
（2）作的平分线，分别交，于点，，求的度数．
（要求尺规作图，保留作图痕迹不写作法）
14. (2021白云区期末)如图，在等腰中，，点在边上，点是延长线上的点，交底边于点，．
（1）求的长度；
（2）求证：是的中线．
15. (2021番禺区期末)如图，在中，，，为边的中点，交的延长线于点，连接．
（1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹）；
（2）求证：；
（3）探究与之间的数量关系，并证明结论．专题1 与三角形有关的线段的几种常见题型
选择题
1. (2023黄埔区期末)以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】D
解：、，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
B、，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
C、，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
D、，故能构成三角形，故选项符合题意．
故选：．
【解析】本题主要考查了三角形的三边关系定理，正确理解定理是关键．
根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．
2. (2023番禺区华南碧桂园学校期末)如图，在中，边上的高为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：由图可知，中，边上的高为，
故选：．
【解析】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
3. (2023荔湾区期末)已知三条线段的长分别是，，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：根据三角形的三边关系，得，
即，
因为是整数，
则的最大值为，
故选：．
【解析】本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
4. (2021番禺区期末)如图，是的角平分线，于点，，，，则长是( )
B.
C. D.
【答案】D
解：过作于，
因为是的角平分线，，
所以，
因为，
因为的面积为，
所以的面积为，
所以，
所以，
所以，
故选D．
【解析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
5. (2023广大附中实验学校期末)已知的三条边长分别为，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】B
解：如图所示：当，，，，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：．
【解析】
此题主要考查了等腰三角形的判定知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
利用等腰三角形的性质分别利用，为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
二、填空题
6. (2023天河区天省实验学校期末)已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则它的周长为 ．
【答案】
解：等腰三角形的底边长为，腰长为，
它的周长，
故答案为：．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7. (2023海珠区南武中学期末)如图，在中，，，平分，若，则的面积为 ．
【答案】
解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故答案为：．
【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键．
8. (2023广州七中期中)如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则 ．
【答案】
解：，是边上的高，
，
则，
解得：，
是边上的中线，
．
故答案为：．
【解析】本题主要考查三角形的面积以及三角形的高线，中线，解答的关键是由三角形的面积公式求得的长．
(2023广州市清华附中湾区学校期末)如图，已知的周长是，、分别平分和，于且，的面积是 ．
【答案】
解：过作于，于，连接，
，分别平分和，，
，，
即，
的面积是：
，
故答案为：．
【解析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
10. (2022白云区期末)如图，在锐角中，，是中线，两条高和交于点，则下列结论中，正确的是 填序号．
；
；
：：；
当点在上时，是等边三角形．
【答案】
解：是高，
，
，
，
，
，
，故错误
是高，
，
，
，
，
，
，故正确；
，是的高
：：，故正确；
，交于点，点在上，
，
是的中线，
垂直平分
，
，
是等边三角形，故正确，
故答案为：．
【解析】本题考查了三角形的中线，高线，等边三角形的判定，含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，能灵活运用等边三角形的判定与性质是解此题的关键．
三、解答题
11. (2023广州四十一中期末)
如图，在中，，，是的角平分线．
是边上的高线，请画出图形；
在条件下，求的度数．
【答案】
解：延长，过点作射线于点，如图所示．
在中，，，
，
平分，
．
是的外角，
，
，
的度数为．
【解析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高以及三角形的外角性质，解题的关键：熟练掌握钝角三角形高线的画法；利用三角形内角和定理及三角形的外角性质，求出及的度数．
12. (2023广州四十一中期末)求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等．解题要求：补全已知、求证，写出证明
已知：如图，在中，是边上的中线，______．
求证：______．
证明：
【答案】
解：已知：如图，为的中线，于，的延长线于．
求证：．
证明：为的中线．
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是得到≌．
13. (2021白云区期末)
如图，在中，平分，，．
作边上的高，求的度数；
作的平分线，分别交，于点，，求的度数．
要求尺规作图，保留作图痕迹不写作法
【答案】
解：如图，高即为所求，
，，
，
，
，
，
如图，射线即为所求，
平分，
，
是的平分线，
，
，
答：的度数为．
【解析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决本题的关键是掌握尺规作图方法．
14. (2021白云区期末)
如图，在等腰中，，点在边上，点是延长线上的点，交底边于点，．
求的长度；
求证：是的中线．
【答案】
解：过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
证明：过点作交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中
≌，
，
是的中线．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
15. (2021番禺区期末)
如图，在中，，，为边的中点，交的延长线于点，连接．
尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹；
求证：；
探究与之间的数量关系，并证明结论．
【答案】
解：如图所示，是的平分线；
证明：因为，，
所以，
因为是的平分线，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为为边的中点，
所以，
在和中，
，
所以≌，
所以；
解：，
理由如下：由可知，≌，
所以，
在和中，
所以≌，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
由知，
所以，即，
因为
所以．
【解析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定、三角形的外角性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
