专题11 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
一．选择题
1.（2022广州五中期末）若是分式方程的根，则a的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
2.（2022天河中学期末）若关于x的方程有解，则a的值不能是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3.（2022广州期末）已知关于的分式方程，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：
当时，方程的解是负数；乙：当时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
4.（名校课堂）若关于x的方程＝2＋无解，则m的值为( )
A.－5 B.－8 C.－2 D.5
5.（2022广附期末）关于的方程有整数解，则满足条件的整数的值的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
6.（2022广州中学期末）若关于的分式方程有增根，则的值是______．
7.（2022广附英豪期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
8.（学霸课堂）若关于x的分式方程－1＝无解，则m的值是 ．
9.（名校课堂）已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为 .
10.（2022华外同文外国语期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
三、解答题
11.（名校课堂）已知关于x的分式方程＝与分式方程＝的解相同，求m2－2m的值.
12.（2023春·广东清远·八年级校考期中）在，0，1，2，3这六个数中任取一个数记为m，使得关于x的不等式组有解，同时关于x的方程：有正数解，求所有满足条件的m的值．
13.（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，求所有满足条件的整数的值之和．
14.（2022年黄埔期末）已知：，
(1)化简分式；
(2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围；
(3)当取什么整数时，分式的值为整数．
15.（2022华外同文外国语周测）关于x的分式方程＋＝.
(1)当m为何值时，分式方程有增根；
(2)当m为何值时，分式方程无解．专题11 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
一．选择题
1.（2022广州五中期末）若是分式方程的根，则a的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】将代入分式方程中，
可得：，
解得，
故选A．
【解析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义．
2.（2022天河中学期末）若关于x的方程有解，则a的值不能是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的方程有解，
∴，即，
∴，
又∵，即，
∴，
∴ ，
故选BC．
【解析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确得到是解题的关键；先把分式方程化成整式方程得到，再由分式方程有解得到，即，进一步求出分式方程的解为，再由分式有意义的条件得到，即可得到答案．
3.（2022广州期末）已知关于的分式方程，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当时，方程的解是负数；乙：当时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】解：去分母得，，
解得，
要使分式方程有解，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴当，且时，方程的解是负数，故甲说法错误；
当时，，
∴，
∴乙说法正确．
故选：B．
【解析】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．
4.（名校课堂）若关于x的方程＝2＋无解，则m的值为( )
A.－5 B.－8 C.－2 D.5
【答案】
解：＝2＋
3x-2=2(x+1)+m
3x-2=2x+2+m
x=4+m
∵该分式方程无解
∴x的解会让分母为0，即4+m+1=0
解得m=-5
【解析】本题考察了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，同时注意分式无解的情况有两种;(1) 原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0) ，此时整式方程无解；
(2) 原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．
5.（2022广附期末）关于的方程有整数解，则满足条件的整数的值的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】解：去分母，得，
整理，得，
关于的方程有整数解，
，且，
或，
解得或或，
满足条件的整数有3个，
故选：A．
【解析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
填空题
6.（2022广州中学期末）若关于的分式方程有增根，则的值是______．
【答案】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故答案：1．
【解析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
7.（2022广附英豪期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
【答案】∵分式方程解为负数，∴.
由得和∴的取值范围是且
【解析】本题本题考察了分式方程的解，先把a看成已知数，求解分式方程的解，再利用分式方程解为负数得出a的取值范围；
8.（学霸课堂）若关于x的分式方程－1＝无解，则m的值是 ．
【答案】解：解原分式方程－1＝.
方程两边乘x－2，得3x－(x－2)＝m＋3.
解得x＝.
∵原分式方程无解，∴x＝2
∴＝2，解得m＝3.
【解析】分式方程无解的两种情形：(1) 原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0) ，此时整式方程无解；
(2) 原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解
9.（名校课堂）已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为 .
【答案】
解：－2＝
x-2(x-3)=k
x-2x+6=k
-x=k-6
x=6-k
∵分式方程的解是正数
∴x>0,即6-k>0
得k<6
∵x-3≠0，即x≠3
∴6-k≠3，即k≠3
∴k＜6且k≠3
【解析】先把k看成是已知数解此分式方程，用k表示出分式方程的解，再由此分式方程的解为正数即可得出k的取值范围；
10.（2022华外同文外国语期末）若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是_____．
【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【解析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
11.（名校课堂）已知关于x的分式方程＝与分式方程＝的解相同，求m2－2m的值.
【答案】
解：解分式方程＝，得x＝3.
将x＝3代入＝，得＝，
解得m＝.
∴m2－2m＝()2－2×＝－.
12.（2023春·广东清远·八年级校考期中）在，0，1，2，3这六个数中任取一个数记为m，使得关于x的不等式组有解，同时关于x的方程：有正数解，求所有满足条件的m的值．
【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得：；
解方程，得：，
∵方程有正数解，
∴，且，
解得：且；
所以且，
【解析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，求所有满足条件的整数的值之和．
【答案】解：，
两边同时乘以（)，
，
，
由于该分式方程的解为正数，
∴，其中，，
∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，
由①得：，
由②得：，
∴，
∴，
综上可得：，且，
∴满足条件的所有整数a为：，，0，1，
∴它们的和为．
故答案为：．
【解析】本题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形．
14.（2022年黄埔期末）已知：，
(1)化简分式；
(2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围；
(3)当取什么整数时，分式的值为整数．
【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意：
，
，
．
∵解是非负数，
∴
∴．
∵即，
∴，
解得，
∴且；
（3）解：
．
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0；
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0．
【解析】此题考查了分式的除法运算法则，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，完全平方公式是解题的关键．
15.（2022华外同文外国语周测）关于x的分式方程＋＝.
(1)当m为何值时，分式方程有增根；
(2)当m为何值时，分式方程无解．
【答案】解:(1)方程两边乘(x－2)(x＋2)，得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)．
化简，得(1－m)x＝10.
若原分式方程有增根，
则x＝2或x＝－2是方程(1－m)x＝10的根．
当x＝2时，2(1－m)＝10，解得m＝－4；
当x＝－2时，－2(1－m)＝10，解得m＝6.
(2)方程两边乘(x－2)(x＋2)，得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)．
化简，得(1－m)x＝10.
若原分式方程无解，则有两种情形：
①当1－m＝0，即m＝1时，方程(1－m)x＝10为0x＝10，
此方程无解，则原方程无解；
②当(1－m)x＝10的解是原分式方程的增根，此时原分式方
程无解，增根为x＝2或－2.
由(1)可知，此时m＝－4或m＝6.
综上所述，m的值为1或－4或6.
【解析】分式方程无解的两种情形：(1) 原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0) ，此时整式方程无解；
(2) 原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解
