专题7 等腰直角三角形的常见解法
一、选择题
1.(2022年深圳市中考)将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2.（广州市天河外国语学校2022学年第一学期期末考试八年级数学）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DAF=45°，AB∥ED，则∠AFD的度数是（ ）
A. B. C. D.
3.（2020秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点，∠A=70°，则∠DME的度数为（ ）
A. B. C. 40° D.
4.(2022-2023学年清华附中湾区学校期末考式)如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD、CE交于点F，连接AF，则下列结论不正确的是（ ）
A. BD=CE B. EC⊥BD C. AF平分∠CAD D. ∠ADE=45°
5.（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6.（广州市执信中学2022-2023学年八年级上学期期末）如图一副直角三角板如图放置，∠B=30°，∠F=45°，则求_______．
7.（2022秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，其，，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别是D、E．，，则的长为______．
8.（2022秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，，，于E，于D．若，，则的长为 ．
9.（2022秋·广东广州·八年级广州市第七十五中学校考期中）如图在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于______．
10.（2022秋·广东广州·八年级校联考期中）如图，在中，，，BF平分，过点C作于F点，过A作于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是____________．
三、解答题
11．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）已知：如图，在 、中，， ，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：≌；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
12.(2022-2023学年越秀区育才实验学校期末考试)如图，已知中，，．
（1）请用尺规作图作的角平分线；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）过点C作交的延长线于点E，求证：．
13.(广州市花都区2022-2023学年第一学期期末模拟考)已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E．求证：BD＝AE．
（2）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由．
14.(2022-2023学年越秀区育才实验学校期末考试)如图，，，．
（1）求证：；
（2）过点B作于点F交直线于点M，连接，判断与的位置关系，并说明理由．
15．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD．求证：
(1)△BAD≌△CAE；
(2)BD⊥CE 专题7 等腰直角三角形的常见解法
一、选择题
1.(2022年深圳市中考)将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：如图，，，
，
，
，
故选：C．
【解析】此题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
2.（广州市天河外国语学校2022学年第一学期期末考试八年级数学）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DAF=45°，AB∥ED，则∠AFD的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：设AB与EF交于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故选：A．
．
【解析】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
3.（2020秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点，∠A=70°，则∠DME的度数为（ ）
A. B. C. 40° D.
【答案】如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=BC，ME= BC，
∴DM=ME
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
∴DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD=∠MDC+∠MCD=180°-2∠ABC，
∠CME=∠MBE+∠MEB=180°-2∠ACB，
又∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A
=140°，
∴∠DME=180°-140°=40°
故选：C．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角和与内角和，掌握基本性质是解题的关键．
4.(2022-2023学年清华附中湾区学校期末考式)如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD、CE交于点F，连接AF，则下列结论不正确的是（ ）
A. BD=CE B. EC⊥BD C. AF平分∠CAD D. ∠ADE=45°
【答案】解：∵和是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，，故D正确；
在和中
，
∴，
∴，，故A正确；
∵，
∴，
∴，即，故B正确；
过点A作，
∵，，
∴，
∴，
∴平分，即，
若平分，则，
∴，
∴，
由题意知，不一定等于，
∴不一定平分，故C错误；
故选：C．
【解析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，，AC=BC．，，垂足分别是点D、E．若AD=6，BE=2，则DE的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】∵，
∴∠ACD+∠ECB=90 ，
∵，，
∴∠ADC=∠CEB=90 ，
∴∠ECB+∠CBE=90 ，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90 ，∠ACD=∠CBE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=6，CD=BE=2，
∴ED=EC-CD=6-2=4．
故选择：C．
【解析】本题考查全等三角形中的线段差问题，关键掌握三角形全等的证明方法，会用差线段来解决问题．
二、填空题
6.（广州市执信中学2022-2023学年八年级上学期期末）如图一副直角三角板如图放置，∠B=30°，∠F=45°，则求_______．
【答案】解：∵，
∴∠BAF=∠F=45°，
∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°．
故答案是：75°．
【解析】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
7.（2022秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，其，，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别是D、E．，，则的长为______．
【答案】（1）证明：，，
∴，
又∵，
∴．
在与中，
，
∴（AAS）；
∴，，
∵ ．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等．
8.（2022秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，，，于E，于D．若，，则的长为 ．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
在与中，
，
．
∴，，
∵，
，
∴．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键．
9.（2022秋·广东广州·八年级广州市第七十五中学校考期中）如图在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于______．
【答案】解：，，AB=10，
∴AC=BC=，∠B=45°,
∵
∴∠AED=90°，
∴∠BED=∠B=45°,
∴DE=BE,
∵平分交于，
∴∠CAD=∠DAE，
∵
∴∠C=∠AED=90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC=，CD=DE，
∴CD=DE =BE=AB-AE=10-5，
∴BD=BC-CD=-（10-5）=10-10，
∴△BDE的周长=DE+BE+BD=10-5+10-5+10-10=10，
故答案为：10．
【解析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.（2022秋·广东广州·八年级校联考期中）如图，在中，，，BF平分，过点C作于F点，过A作于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是____________．
【答案】解：延长BA、CF，交于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知，F为CH中点，又为直角三角形，
故，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又BF为的平分线，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，故结论②正确；
③过E作交AF于点M，由②知，为的平分线，
∴，
易得，为等腰直角三角形，
∴，
∴，故结论③正确；
④过E作于点N，可知，
在中，，
∴，
即，而，
∴，
故，
∴，故结论④错误．
故答案为：①②③．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）已知：如图，在 、中，， ，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：≌；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴ ，
∴，
在△BAD与中，
∵ ，，，
∴．
（2），，理由如下：
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
12.(2022-2023学年越秀区育才实验学校期末考试)如图，已知中，，．
（1）请用尺规作图作的角平分线；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）过点C作交的延长线于点E，求证：．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的角平分线．
（2）证明：延长、，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】本题主要考查了作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是作出辅助线．
13.(广州市花都区2022-2023学年第一学期期末模拟考)已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E．求证：BD＝AE．
（2）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB=AC，∠BAC=∠ACE ，∠AEC=∠ABD，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．
（2）BD与AE仍然相等，
证明：过点C作，过点A作AE⊥BD于点F，
∵，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB=AC，∠BAC=∠ACE ，∠AEC=∠ABD ，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．
【解析】本题主要考查角平分线的作图、全等三角形的判定及平行线的性质，解题的关键是正确运用定理.
14.(2022-2023学年越秀区育才实验学校期末考试)如图，，，．
（1）求证：；
（2）过点B作于点F交直线于点M，连接，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：；理由如下：
过点A作交的延长线于点N，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角的性质，垂线的定义，解题的关键是作出辅助线．
15．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD．求证：
(1)△BAD≌△CAE；
(2)BD⊥CE
【答案】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
（2）BD⊥CE,理由如下：
由（1）知,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD+∠DBC=45°,
∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,则BD⊥CE．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.
