专题6 构造等腰三角形的常见方法
选择题
1．（原创）如图所示，已知等腰直角三角形中，，，平分，，垂足为点，若CE=2,则BD=( ）
A.4 B.5 C.6 D.7
2．（2022五中期末）如图，中，为中线，为上一点，，交于点，且．若AB=5，则CF=（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3．（2021铁一中学期末）如图，中，，，平分交于，为上一点，．若AD=5，CD=7,则BC=( )
A.6 B.8 C.10 D.12
4．（2021越秀期末）如图，在中，，平分交于，若AC=5，AD=2,则BC=( )
A.6 B.8 C.7 D.12
5．（2020大石中学期末）如图，已知中，，，若AB=5，BD=2,则CD=( )
A.6 B.8 C.7 D.12
填空题
6.（2022天河区期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到△．如图，点在延长线上，且．
则，，之间是数量关系是 ．
7．(课本改编)如图，在中，，AC=10，AB=6，是的平分线，，垂足为，则BE= .
8.（2020莲花中学期末）如图，等腰中，，，点在上，，垂直于直线于点．若BE=3,则（1）= ；（2）CD= ；
9.（2022越秀区期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
10.（2022荔湾区期末）如图，已知平分，于点，．有下列结论：
①；
②；
③；
④若，，是射线上一点，是射线上一点，则周长的最小值大于6．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
11.（2022玉岩中学期末）如图，中，，在的延长线上，在上，且，求证：．
12.（2022广州中学期末）如图，为的平分线，为的中点，交的延长线于，交于．
（1）求证：；
（2）求证：；
13.（2022市桥中学期末）如图，在等边中，是上一点，是延长线上一点，，交于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求．
14.（2023黄埔区期末）在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于．如图，
（1）求证：；
（2）若点在线段上（不与，点重合），求证：；
15.（2022海珠区期末）已知：如图，中，，，是上的一点，，过点作于，交于点．
（1）直接写出图中除外的所有等腰三角形；
（2）求证：；
（3）点、分别为、边上的动点，当周长取最小值时，求的度数．专题6 构造等腰三角形的常见方法
选择题
1．（原创）如图所示，已知等腰直角三角形中，，，平分，，垂足为点，若CE=2,则BD=( ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】
证明：如图所示，延长，交于点，
，，
，
又，
在和中，
，
，
，
在和中，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
．
∵CE=2,∴BD=4
∴答案选：A
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2022五中期末）如图，中，为中线，为上一点，，交于点，且．若AB=5，则CF=（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】
证明：方法一：延长至，使，连接，如图
为中线，
．
在与中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
；
∵AB=5，
∴CF=5
方法二，过点作，交的延长线于，如图
，
．
为中线，
．
，
，
．
，
．
，
，
，
；
∵AB=5，
∴CF=5
方法三，可延长于点，使，连接．
，，，
△，
，，
，
，
，，
，
．
．
∵AB=5，
∴CF=5
∴答案选：B
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．
3．（2021铁一中学期末）如图，中，，，平分交于，为上一点，．若AD=5，CD=7,则BC=( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】
解：过分别作直线、垂线，分别交于、点，则，
，
，
，
平分
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
∵AD=5，CD=7,
∴BC=12
∴答案选：D
【解析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
4．（2021越秀期末）如图，在中，，平分交于，若AC=5，AD=2,则BC=( )
A.6 B.8 C.7 D.12
【答案】
证明：在上截取，连接．
的平分线交边于点，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
∵AC=5，AD=2,
∴BC=7
∴答案选：C
【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是在上截取，连接，利用已知条件求证.
5．（2020大石中学期末）如图，已知中，，，若AB=5，BD=2,则CD=( )
A.6 B.8 C.7 D.12
【答案】证明：中，，
，，
．
，
．
．
．
．
∵AB=5，BD=2,
∴CD=7
∴答案选：C
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
填空题
6.（2022天河区期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到△．如图，点在延长线上，且．
则，，之间是数量关系是 ．
【答案】
解：，理由如下：
连接，在上取一点，使，
是等边三角形，
，，
，
△，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
即；
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识。
关键：构造共顶点的等边三角形，即构造手拉手模型。
7．(课本改编)如图，在中，，AC=10，AB=6，是的平分线，，垂足为，则BE= .
【答案】
证明：延长交于点，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵AC=10，AB=6，
∴BE=2
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.（2020莲花中学期末）如图，等腰中，，，点在上，，垂直于直线于点．若BE=3,则CD= ．
【答案】
解：作于，如图：
直线于，，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
即；
∵BE=3,∴CD=6
【解析】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．
9.（2022越秀区期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
【答案】
解：如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，，，，．
，，，点为的中点，
，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
当，，，共线时，的值最大，最大值为19，
故答案为：19．
【解析】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识。
关键：利用轴对称构造等边三角形．
10.（2022荔湾区期末）如图，已知平分，于点，．有下列结论：
①；
②；
③；
④若，，是射线上一点，是射线上一点，则周长的最小值大于6．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】
解：过点作交于点，
平分，，
，
，
，
，，
，
；
故①正确；
，，
，
，
；
故②正确；
，
，
，
，
，
；
故③正确；
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、、、，
，，
，
当、、、四点共线时，周长最小，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值为6；
故④不正确；
故答案为：①②③．
【解析】本题考查角平分线的性质，轴对称求最短距离，熟练掌握三角形全等的判断与性质。
关键：通过轴对称构造等腰三角形。
三、解答题
11.（2022玉岩中学期末）如图，中，，在的延长线上，在上，且，求证：．
【答案】
证明：如图，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
12.（2022广州中学期末）如图，为的平分线，为的中点，交的延长线于，交于．
（1）求证：；
（2）求证：；
【答案】解：（1）如图1所示：
平分，
．
，
，．
．
．
（2）如图2，延长到使．
在和中，
，
．
，．
又，
．
．
．
【解析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
13.（2022市桥中学期末）如图，在等边中，是上一点，是延长线上一点，，交于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求．
【答案】证明：（1）过点作交于点，
，，，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，，
，
，
在与中
，
；
（2）是等边三角形， ，
，
又，
，
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题.
14.（2023黄埔区期末）在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于．如图，
（1）求证：；
（2）若点在线段上（不与，点重合），求证：；
【答案】
（1）证明：为等边三角形，
，
，
为角平分线，
，
；
（2）解：如图，过点作交于，
是等边三角形，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
是外角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换求得结论．关键：作平行线构造等边三角形。
15.（2022海珠区期末）已知：如图，中，，，是上的一点，，过点作于，交于点．
（1）直接写出图中除外的所有等腰三角形；
（2）求证：；
（3）点、分别为、边上的动点，当周长取最小值时，求的度数．
【答案】
（1）解：，，都是等腰三角形．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
时等腰三角形，
，
，
是等腰三角形．
（2）证明：如图1中，在线段上取一点，使得，连接．
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图2中，作点关于直线的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的周长最小，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识。关键：构造等腰三角形，从而构造全等。
