25.4 解直角三角形的应用 课件（41张PPT）

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25.4解直角三角形的应用
第25章 锐角的三角比
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
与方位角有关的问题
利用坡度和坡角解决问题
仰角和俯角问题
01
03
02
CONTANTS
目 录
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种，重叠、向上、和向下
情景引入
与方位角有关的问题
01
与方位角有关的实际问题
方向角：
如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
探究新知
东
北
A
B
C
25°
例1：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.
一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55 的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
55°
探究新知
A
B
55°
C
25°
你是怎样想的？与同伴进行交流.
20海里
D
x
Rt△ABD中,
Rt△ACD中,
∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°
∴x= ≈20.79 海里
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
探究新知
例2：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
65°
34°
典型例题
A
P
C
B
北
65°
34°
解：如图，在Rt△APC中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
典型例题
归纳总结
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
探究新知
仰角和俯角问题
02
仰角和俯角问题
仰角和俯角：
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
探究新知
例3 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在N 处看塔顶，仰角为60°.
乙：我站在M 处看塔顶，仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5 m.
乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1 m)．
典型例题
由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20 m，
AM＝BN＝DP＝1.5 m．
在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.
∴∠ACB＝∠CAB. ∴BC＝AB＝20 m．
在Rt△CBD 中，BC＝20 m，∠CBD＝60°，
sin ∠CBD＝
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin 60°＝20× (m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 ＋1.5≈19(m)．
答：白塔的高度约为19 m.
解：
典型例题
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
典型例题
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
典型例题
总 结
从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来表示这两个不同位置到被测物底部的距离．然后利用两次测量的不同位置之间的距离来解决问题．
探究新知
如图，某飞机在空中A 处探测到它的正 下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B 的距离为(　　)
A．1 200 m
B．1 200 m
C．1 200 m
D．2 400 m
D
针对练习
2 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为(　　)
A. m　　　　　　　
B．30sin α m
C．30tan α m
D．30cos α m
C
针对练习
3 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50 m的C 处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1 m，则桥塔AB 的高度约为(　　)(参考数据：sin 41.5°≈0.663，
cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34 m　　B．38 m　　
C．45 m　　D．50 m
C
针对练习
利用坡度和坡角解决问题
03
利用坡角解决实际问题
坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
坡度和坡角有什么区别？
探究新知
例5 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
连接AE，在Rt△ABE 中求出AE，且根据∠EAB 的正
切值求出∠EAB 的度数，
进而得到∠EAF 的度数，
最后在Rt△EAF 中解出
EF 即可．
导引：
典型例题
连接AE，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝
则AE＝
∵tan ∠EAB＝
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，
∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
解：
典型例题
如图，将一个Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm(如箭头所示)，则木桩上升了(　　)
A．6sin 15° cm B．6cos 15° cm
C．6tan 15° cm D. cm
C
针对练习
如图，长4 m的楼梯AB 的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为(　　)
A． m
B． m
C．(2 －2)m
D．(2 －2)m
B
针对练习
例6 小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则
他升高了(　　)
A．200 m　 B．500 m　
C．500 m　 D．1 000 m
如图，设他升高了h m，
∵i＝ BC＝h m，
∴AC＝2h m.由BC 2＋AC 2＝AB 2，
得h 2＋(2h)2＝1 0002，
∴h 2＝2×105，即h＝200
A
导引：
坡比的应用
典型例题
如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1：2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC 的高度为(　　)
A．5米　　
B．6米　　
C．8米　　
D．(3＋ )米
A
针对练习
如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E 的俯角α 是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20 m，梯坎坡长BC 是12 m，梯坎坡度i＝
1∶ ，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参
考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45)(　　)
A．30.6 m
B．32.1 m
C．37.9 m
D．39.4 m
D
针对练习
1.从一艘船上测得海岸_上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是( )
A.42米 B.14米 C.21米 D.42米.
2.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
A
D
课堂练习
3.如图，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球表面的最远点Q，若∠QAP=a，地球半径为R,则航天飞船距离地球表面的最近距离AP以及P，Q两点间的地面距离分别是( )
A. B.
C. D.
B
课堂练习
4.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BC0=x，则点A到OC的距离等于( )
A. a·sinx+b·sinx
B. a·cosx+b·cosx
C. a·sinx+b·cosx
D. a·cosx+b·sinx
D
课堂练习
5.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为
_________m.(结果保留根号)
6.如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为______米. (结果保留根号)
5+5
1
课堂练习
7.某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角由45°减至30°，楼梯高度不变.已知楼梯原长4m，那么调整的楼梯.会增加多长 楼梯多占了多长一段地面
解:在Rt△ABC中，AB=4，∠ABC=45°
∴BC=AC=AB·sin45°=2m
在Rt△ADC中，AC=2，∠ADC=30°
∴AD= m,DC= m
∴AD-AB=(4-4)m,DC-BC=(2-2)m
答:调整后楼梯会增加(4-4)m,占地会加长(2-2)m.
课堂练习
8.如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1m)
解:在Rt△ACD中，∠A=30°
∴tan30 °= ∴AC=CD
在Rt△BCD中，∠CBD=60°
∴tan60°= ，∴BC=CD
∵AC-BC=50，∴CD-CD=50 解得,CD≈43
答:该塔约为43m高.
课堂练习
9.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10m，其坡度为i1=1:,将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1:4，求斜坡AF的长度(结果精确到0.01m，参考数据: ≈1.732， ≈4.123).
课堂练习
解:∵DE=10m，其坡度为i1=1:
∴CE=CD
由勾股定理得 ,解得CD=5m
∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=5m
∵斜坡AF的坡度为i2=1:4
∴
∴BF=4AB=20m
在Rt△ABF中，
故斜坡AF的长度约为20.62m.
课堂练习
10.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）
课堂练习
9.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）
解：由题意得，，
则四边形均为矩形．
所以米，米，
在中，，则．设米，
课堂练习
9.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）
在中，，
则，即，
解得：，
所以米，
则（米）．
答：八仙阁AB的高度为48米．
课堂练习
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