深圳市龙华区2023-2024学年高二上学期开学考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C D C B B
题号 9 10 11 12
答案 AB ACD AB ABC
13． 14. 15. 16.
8．令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 故选：B
10.【详解】由题意可得，所以，故A正确；
因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误；
因为事件互不影响，所以为相互独立事件，则，
因为事件表示第一次为奇数且第二次为偶数，所以，
又，所以A与相互独立，故C正确；
事件表示第一次或第二次为奇数，它的对立事件为第一次和第二次都是偶数，
所以，故D正确.故选：ACD.
11．【详解】函数，作出图像如图所示，
，故选项A正确；当时，若，则，即，解得或，当时，若，则，即，解得，
结合的图像可得，不等式的解集是，故选项正确；
由函数可知，与的图像有三个不同的交点时，，故选项错误；设存在实数满足，则函数与的图像有三个不同的交点，其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，故c的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选项错误.故选：.
12．ABC【详解】A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；
B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；
C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；
D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误. 故选：ABC.
16．【详解】在梯形中，，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，设点为线段的中点，则，
设，其中，
，
，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：.
17．【详解】（1）因为，，且，解得，
故，……………………2分
又的一个对称中心为，故，即，
因为，故当时，满足条件，此时，故.…………3分
（2）因为，则，……………………7分
所以，则，即函数在上的值域为.………10分
18．【详解】（1）由及正弦定理可得，
即，……………………2分
即，所以.……………………3分
因为,所以,所以. 因为，所以. ……………………5分
（2）因为，，所以由余弦定理可得，
所以，即，所以.……………………8分
因为，所以.因为，所以.……………………10分
设边上的高为则,……………………11分
则，则边上的高为……………………12分
19．【详解】（1）由题意得，，，
解之得. 故.……………………5分
（2）由(1)知，所以可化为.
故原问题等价于，使得成立.
则当时，，……………………7分
其中表示在上的最小值.
当时，令，则，设，……………………9分
则，当且仅当时取等号，所以当，取得最小值.
故的取值范围是……………………12分
20．【详解】（1）由，解得，…………2分
这次数学竞赛成绩的平均数为，……4分
前组的频率和为，前组的频率和为，
所以中位数为．……………6分
（2）分层抽样抽取的人中，数学成绩位于的有人，记为、．
数学成绩位于的有人，记为、、、，………………8分
从人中任取人，基本事件有：、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共种，……10分
其中人分数都在的有、、、，共种，……………………11分
所以从人中任取人，分数都在的概率为.……………………12分
21．【详解】（1）连接交于M，连接，因为底面是菱形，所以为的中点，
又点是的中点，故为的中位线，……………2分
故，而平面，平面，故平面；……………5分
（2）设为的中点，连接，因为，故，
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，故，
底面是菱形，故，作交于N，则，且N为的中点，
连接，因为平面，故平面，平面，
故，则即为二面角的平面角，……………………8分
设，则，，则，则，
由于为的中点，N为的中点，故，则，而平面，平面，故，则所以，……………………11分
即二面角的正弦值为.……………………12分
22．【详解】（1）解：因为，则，，
设，则，则，……………………2分
则二次函数的对称轴方程为.
当时，即当时，函数在上单调递增，故当时，；
当时，即当时，函数在上单调递减，故当时，；
当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，.………………5分
综上：.………………6分
（2）解：，因为函数与图象有个公共点，
由可得且，由，可得，…………7分
设，则，即，……………………8分
又因为函数在上单调递增，所以方程有两个不等的正根，
所以，，解得，因此，实数的取值范围为.……12分深圳市龙华区2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．若直线在平面内，直线在平面外，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心为 D．在区间上的最小值为
10．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A． B．A与互斥
C．A与相互独立 D．
11．关于函数下列说法正确的有（ ）
A． B．不等式的解集是
C．若方程有3个实数根，则
D．若存在实数满足，则的最小值为7
12．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是
第二部分 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． .
14．已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ．
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .
16．在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为．
(1)求函数的解析式；
(2)求时，函数的值域．
18．（12分）已知在中，.
(1)求；
(2)若，且，求边上的高.
19．（12分）设函数，且，.
(1)求的值；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
20．（12分）某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在分以上（包括分，满分分）共有人，分成、、、、五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到）；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任取人，求此人分数都在的概率．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形.
(1)若点是的中点，证明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
22．（12分）已知函数.
(1)若函数，，求函数的最小值；
(2)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
答案第1页，共2页
