数学人教A版（2019）必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（共37张ppt）

(共37张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
新课导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题.
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为，则另一条边为.由题意，得
其中整理得
①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
新课讲解
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，.
一、一元二次不等式定义
下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系.如图，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根因此二次函数与轴的两个交点是和.
二、一元二次不等式的解法
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点是
一元二次函数的零点
从图可以看出，二次函数的两个零点将轴分成三段.相应地，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即当时，函数图象位于轴下方，此时，即所以，一元二次不等式的解集是.
因为因此当围成的矩形的一条边长满足时，围成的矩形区域的面积大于
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式()和()的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
我们知道，对于一元二次方程()，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数()的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式()和()的解集.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
例1 求不等式的解集.
解：对于方程，因为，所以，它有两个实数根.解得
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为或.
例2 求不等式的解集.
解：对于方程，因为，所以，它有两个实数根.解得
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为.
例3 求不等式的解集.
解：不等式可化为因为，所以，方程无实数根.
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为.
因此，原不等式的解集为.
注：对于二次项系数是负数(即)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？
利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.这里，我们以求解可化成()形式的不等式为例，用框图表示其求解过程.
练习（P53）
三、一元二次不等式的实际应用
例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，
根据题意，得：
移项整理，得：
对于方程，，方程有两个实数根
画出二次函数的图象如下图所示，结合图象得不等式的解集为从而不等式的解集为.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能获得6000元以上的收益.
例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车
速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？
解：根据题意，得：
移项整理，得：
对于方程，，
方程有两个实数根，.
画出二次函数的图象如下图所示，结合图象得不等式的解集为或，从而不等式的解集为或.
因为车速所以.而所以这辆汽车刹车前的车速至少为
练习（P54）
常见题型分类
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1 不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
A
变1 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
B
题型二：解含参数的一元二次不等式
例2 关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
D
变2 解关于的不等式
(1)当时，原不等式可化为
(2)当时，原不等式可化为.则此不等式所对应方程的两根分别为、1.
①当，即时，则
②当，即时，则
方法一
③当，即时，则
综上所述，当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
变2 解关于的不等式
方法二
当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为
∵，∴或
当时，原不等式可化为
若，即则
若，即则
若，即则
综上所述，当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
注：①对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
②当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
③当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型三：三个“二次”之间的关系
例3 已知不等式的解集为，求的值.
变3 若一元二次不等式的解集为一元二次不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
C
题型四：分式不等式的解法
例4 解下列不等式：
(1)(2)
解：(1)
所以原不等式的解集为
(2)，，即
或
而即.
∴原不等式的解集为
变4 解不等式：
解：原不等式可化为即
即
由“穿针引线”法可得：
原不等式的解集为或
题型五：一元二次不等式恒成立与能成立（有解）问题
一、“Δ”法解决恒成立问题
B
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
B
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立（有解）问题
六、转化为函数的最值解决能成立（有解）问题
题型六：一元二次不等式在实际中的应用
例6 学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
课堂小结
一、一元二次不等式定义
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，
称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，.
二、一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应
三、一元二次不等式的实际应用