24.1.1圆的有关性质（5） 课件（23张PPT）

(共23张PPT)
24.1.1圆的有关性质（5）
人教版九年级上册
知识回顾
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
A1
A2
A3
教学目标
1.掌握圆内接四边形及其对角的性质.
2.掌握圆内接四边形外角的性质.
新知导入
观察下面的图形，图中的多边形与圆有什么位置关系？
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
新知探究
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
新知探究
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
思考：如何证明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
新知探究
1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ______________ ，这个圆叫做这个多边形的 ．
2．圆内接四边形的对角_______．
圆内接多边形
外接圆
互补
新知探究
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
新知探究
在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．
例1
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.
∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，
∴x＝18°，
又∵∠B＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°－36°＝144°.
新知探究
如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.
求证：DC平分∠BDE.
例2
解：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDA＋∠ABC＝180°，
又∵∠3＋∠CDA＝180°，
∴∠3＝∠ABC.
又∵AC＝BC，
∴∠1＝∠ABC，
∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
即DC平分∠BDE.
新知练习
1.（2018 邵阳中考）如图所示，四边形ABCD为 ⊙O 的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
B
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°．
新知练习
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.AB与DC的延长线交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50° ，则∠DBC的度数为( )
C
A.50° B.60° C.80° D.90°
解：延长AE交⊙O于点F，
∵AE⊥CD，∴ ，
∴∠DBC=2∠DAF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠GBC=50°，
∴∠DAF=40°，
∴∠DBC=2∠DAF=80°.
F
新知练习
3.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，点 D 是 的中点，点 E 是 上的一点，若 ∠CED=40°，则∠ADC=_____度 .
解：如图，连接 AE，
∵点 D 是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形 ADCE 是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.
100
新知练习
4.如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =2则AE2 +BE2的值为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，
新知练习
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BCF (ASA)，
∴AE=BF，
∵在Rt△ECF中，CF=2，∠EFC=45°，∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.
4.如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =2则AE2 +BE2的值为( )
C
课堂总结
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
课堂练习
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为( )
C
A.45° B.50° C.60° D.75°
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC，
∴∠ADC=60°.
课堂练习
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 ．
第2题图
128°
课堂练习
3.如图，点A，B，C，D在⊙O上，= ∠CAD =30°，∠ACD =50° ，则∠ADB= °.
70
解：∵ = ，∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-50°-30°=70°．
课堂练习
4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．
解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，
∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＝180°－∠C＝50°.
课堂练习
5.求证：圆内接平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
谢谢
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