2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.2 复数的四则运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·深圳期末）若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·绍兴月考）已知复数在复平面内对应的点是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·宁波期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
4．（2023高二下·镇巴县期末）复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023高二下·定远期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·定远期末）已知复数满足为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023高二下·汕头期末）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·深圳月考）已知，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高一下·达州期末）在复平面内，点对应的复数为z，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·福州期末）已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的实部与虚部之和为 B．
C．是纯虚数 D．
11．（2023高一下·广州期末）设，，为复数，且.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．（2023高一下·定远期末）复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为
D．在复平面内的对应点位于第一象限
13．（2023高一下·温州期末） 已知复数，其共轭复数为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023高一下·台州期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．
D．在复平面内对应的点在第二象限
15．（2023高一下·吉林期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若复数，则
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．若，则
D．若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
16．（2021高一下·高要月考）若关于 方程 （ 是实数）有两个不等复数根 ，其中 （ 是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
17．（2023高一下·黄浦期末）若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ．
18．（2023·房山模拟）已知复数（是虚数单位），则
19．（2023高一下·深圳期中）已知（为虚数单位），则 .
20．（2023·深圳模拟）已知复数满足，则 .
21．（2023高三上·南宁期末）已知i为虚数单位，若，则 ．
22．（2022高一下·金华期中）已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为
23．（2019高二下·上海月考）已知 ( 是虚数单位), 定义: 给出下列命题:
⑴对任意 都有
⑵若 是 的共轭复数,则 恒成立；
⑶若 则
⑷对任意 结论 恒成立.
则其中所有的真命题的序号是 .
四、解答题
24．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
25．（2023高一下·定远期末）解下列小题：
（1）设复数满足，求复数
（2）若复数满足，求复数
（3）已知复数，当实数为何值时，复数对应的点在第四象限．
26．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
27．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足.
（1）求；
（2）求.
28．（2023高一下·深圳期中）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
29．（2020高二上·上海期末） 为虚数单位， 且 是纯虚数，
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
30．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故选：C.
【分析】首先根据复数的除法运算求出z，然后由共轭复数的定义即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是，∴，
∴.
故选：B．
【分析】首先根据复数z在复平面内对应的点是，可得，再利用复数的四则运算求解．
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，其虚部为.
故答案为：D
【分析】先利用复数除法求 ，再根据共轭复数定义写出其虚部 .
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，.
故答案为：B
【分析】先根据复数的四则运算求出，再求 。
5．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ， ，.
故答案为：A
【分析】利用复数的除法计算，进而得到 。
6．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为（-1，-2） ，在第三象限.
故选：C.
【分析】求出z=-1+2i即得解.
7．【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】 ，又，其 虚部为 .
故答案为：D
【分析】先化简求出，进而求出共轭复数 写出其虚部.
8．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由 得
故
故答案为：D.
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的定义可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得，，
A、 ， A错误；
B、 ，B正确；
C、，C正确；
D、，D错误.
故答案为：CD.
【分析】根据题意写出复数的代数式和共轭复数，进而逐一判断选项.
10．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 z=2+2i-3i- 3i2=5- i，即z的实部与虚部之和为5+（-1）=4，故A正确；
，故B正确；
z2=(5-i)2= 24- 10i，故C错误；
，故D错误.
故选： AB.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再根据复数的定义，共轭复数的概念以及复数模的公式，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对A：若，，则，
因为，则，所以，故A正确；
对B：若，则，
因为与不一定相等，所以，不一定相等，故B错误；
设，
对C：所以，
由，则，
整理得，
又因为不一定等于0，故C错误；
对D：因为，则，
由C可知：因为，
，
所以，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.
12．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
由于 ，故A正确；
，故B错误；
z的实部与虚部之和为，故C正确；
z在复平面内的对应点位于第一象限，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 利用复数的乘除运算化简z，根据共轭复数的定义和复数的几何意义逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
对于A， ， 则 ，故选项A正确；
对于B， ， ，则，故选项B不正确；
对于C， ，故选项C错误；
对于D， ，因为 ，当且仅当b=0时等号成立，所以 ，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】先设出，则，由共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算，对四个选项逐一分析判断即可．
14．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数，得 ，
，则 ，故A正确；
满足 的复数z对应的点在以(2，-1)为圆心，以1为半径的圆上，则|z|的最大值为 ，故B错误；
，故C正确；
， 在复平面内对应的点的坐标为(-1，2)，在第二象限，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算判断A；利用复数模的几何意义判断B；求出 判断C；求出 在复平面内对应的点的坐标判断D.
15．【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】A、复数 ， ，A正确；
B、，， ，B错误 ；
C、当，时， ，可 ，C错误；
D、 ，，，，解得，，D正确。
故答案为：AD
【分析】A、利用复数性质判断；B、由代入计算；C、举反例；D、等式两边复数相等实部与虚部均相等计算判断选项。
16．【答案】A,B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意得α+β=-p，αβ=q，
令β=x+yi，则由
为实数p，
则
，
又
为实数q，
则
故
对于A，
，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确。
故答案为：ABD
【分析】根据复数的运算法则逐项判断即可.
17．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
因为，则，即，
化简得，即，
所以，
根据二次函数性质可知，当时，|z|取得最小值，此时，符合，，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案.
18．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为：
【分析】先利用复数除法求 ，再求模长.
19．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由得，
则，
故答案为：
【分析】 根据复数的乘除运算化简z，结合求解即可得答案.
20．【答案】1
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，即，
所以，或，
若，则，则，
若，则，则.
综上所述，.
故答案为：1.
【分析】 解方程 可得复数z，利用共轭复数的定义结合复数的乘法可得答案.
21．【答案】1
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以，，则，
故答案为：1.
【分析】 直接利用复数的乘除运算以及复数相等的充要条件求出a， b，即可得答案.
22．【答案】
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；
又，设，且，，，
所以，设对应的点为，
则，所以，又，，所以，
因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，
由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.
由得，由得，
所以.
故答案为
【分析】利用复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域，再利用，设，且，，，设对应的点为，再结合复数的乘法运算法则和复数的几何意义，进而得出和，再利用，，所以，再结合复数，所以复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，由题意及图形易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可，由得出交点B的坐标，由得出交点C的坐标，再结合矩形的面积公式和三角形的面积公式以及作差法得出阴影部分的面积，进而得出复数对应的点在复平面内所形成图形的面积。
23．【答案】⑵⑷
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：对于（1），当 时， ，命题（1）错误；
对于（2），设 ，则 ，
则 ，命题（2）正确；
对于（3），若 ，则 错误，如 ，满足 ，但 ；
对于（4），设 ，
则 ，
，
，
由 得 恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故答案为（2），（4）．
【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．
24．【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
25．【答案】（1）
，
．
（2）设，则，化简得，
根据对应相等得：，解得，，所以．
（3）由，得，因为复数对应的点在第四象限，所以，解得：．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据复数的四则运算及复数的模公式即可求解出 复数；
(2)利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解出复数 ；
(3)复数的几何意义得出点Z的坐标，再根据点在第四象限的特点求解，即可求出实数的范围 .
26．【答案】（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得
或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
故答案为：-2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）首先设z=x+yi，根据和的虚部为2．得到关于x和y的方程组，解方程组求出x和y的值即可求出z．
（2）根据复数z的虚部大于零，可写出三个复数的表示式，再写出复数对应的点的坐标，根据向量的数量积即可求出的值．
27．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以.
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.
28．【答案】（1）解：由复数为纯虚数，有，得
（2）解：由（1）知，令，有．
又由，得，有．
由上知或
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据已知条件，得到关于m的方程组，求解可得m的值；
(2)由（1）知，令，然后根据复数模的公式求出，再由 列出方程，求出a的值，进而求出b的值，即可得到复数．
29．【答案】（1）解： ，
因为 为纯虚数，
所以 且 ，
所以 或 ，
当 时，
，
当 时，
， ，
所以 ，
综上： .
（2）解：由（1） 或 ，又 ，
所以 ， ，
， ，
由题意知 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据题意首先整理代数式结合已知条件为纯虚数，即可计算出a、b的关系式，分情况讨论即可求出的代数式，结合a的取值范围即可得出结果。
(2)由(1)的结论得出a的取值范围，结合题意整理即可得出；再由即可求出，整理化简结合基本不等式即可求出最小值。
30．【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.2 复数的四则运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·深圳期末）若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故选：C.
【分析】首先根据复数的除法运算求出z，然后由共轭复数的定义即可得出答案．
2．（2023高一下·绍兴月考）已知复数在复平面内对应的点是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是，∴，
∴.
故选：B．
【分析】首先根据复数z在复平面内对应的点是，可得，再利用复数的四则运算求解．
3．（2023高一下·宁波期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，其虚部为.
故答案为：D
【分析】先利用复数除法求 ，再根据共轭复数定义写出其虚部 .
4．（2023高二下·镇巴县期末）复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，.
故答案为：B
【分析】先根据复数的四则运算求出，再求 。
5．（2023高二下·定远期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ， ，.
故答案为：A
【分析】利用复数的除法计算，进而得到 。
6．（2023高一下·定远期末）已知复数满足为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为（-1，-2） ，在第三象限.
故选：C.
【分析】求出z=-1+2i即得解.
7．（2023高二下·汕头期末）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】 ，又，其 虚部为 .
故答案为：D
【分析】先化简求出，进而求出共轭复数 写出其虚部.
8．（2023高三上·深圳月考）已知，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由 得
故
故答案为：D.
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的定义可得答案.
二、多项选择题
9．（2023高一下·达州期末）在复平面内，点对应的复数为z，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得，，
A、 ， A错误；
B、 ，B正确；
C、，C正确；
D、，D错误.
故答案为：CD.
【分析】根据题意写出复数的代数式和共轭复数，进而逐一判断选项.
10．（2023高二下·福州期末）已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的实部与虚部之和为 B．
C．是纯虚数 D．
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 z=2+2i-3i- 3i2=5- i，即z的实部与虚部之和为5+（-1）=4，故A正确；
，故B正确；
z2=(5-i)2= 24- 10i，故C错误；
，故D错误.
故选： AB.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再根据复数的定义，共轭复数的概念以及复数模的公式，逐项进行判断，可得答案.
11．（2023高一下·广州期末）设，，为复数，且.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对A：若，，则，
因为，则，所以，故A正确；
对B：若，则，
因为与不一定相等，所以，不一定相等，故B错误；
设，
对C：所以，
由，则，
整理得，
又因为不一定等于0，故C错误；
对D：因为，则，
由C可知：因为，
，
所以，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.
12．（2023高一下·定远期末）复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为
D．在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
由于 ，故A正确；
，故B错误；
z的实部与虚部之和为，故C正确；
z在复平面内的对应点位于第一象限，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 利用复数的乘除运算化简z，根据共轭复数的定义和复数的几何意义逐项进行判断，可得答案.
13．（2023高一下·温州期末） 已知复数，其共轭复数为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
对于A， ， 则 ，故选项A正确；
对于B， ， ，则，故选项B不正确；
对于C， ，故选项C错误；
对于D， ，因为 ，当且仅当b=0时等号成立，所以 ，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】先设出，则，由共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算，对四个选项逐一分析判断即可．
14．（2023高一下·台州期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．
D．在复平面内对应的点在第二象限
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数，得 ，
，则 ，故A正确；
满足 的复数z对应的点在以(2，-1)为圆心，以1为半径的圆上，则|z|的最大值为 ，故B错误；
，故C正确；
， 在复平面内对应的点的坐标为(-1，2)，在第二象限，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算判断A；利用复数模的几何意义判断B；求出 判断C；求出 在复平面内对应的点的坐标判断D.
15．（2023高一下·吉林期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若复数，则
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．若，则
D．若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】A、复数 ， ，A正确；
B、，， ，B错误 ；
C、当，时， ，可 ，C错误；
D、 ，，，，解得，，D正确。
故答案为：AD
【分析】A、利用复数性质判断；B、由代入计算；C、举反例；D、等式两边复数相等实部与虚部均相等计算判断选项。
16．（2021高一下·高要月考）若关于 方程 （ 是实数）有两个不等复数根 ，其中 （ 是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意得α+β=-p，αβ=q，
令β=x+yi，则由
为实数p，
则
，
又
为实数q，
则
故
对于A，
，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确。
故答案为：ABD
【分析】根据复数的运算法则逐项判断即可.
三、填空题
17．（2023高一下·黄浦期末）若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
因为，则，即，
化简得，即，
所以，
根据二次函数性质可知，当时，|z|取得最小值，此时，符合，，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案.
18．（2023·房山模拟）已知复数（是虚数单位），则
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为：
【分析】先利用复数除法求 ，再求模长.
19．（2023高一下·深圳期中）已知（为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由得，
则，
故答案为：
【分析】 根据复数的乘除运算化简z，结合求解即可得答案.
20．（2023·深圳模拟）已知复数满足，则 .
【答案】1
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，即，
所以，或，
若，则，则，
若，则，则.
综上所述，.
故答案为：1.
【分析】 解方程 可得复数z，利用共轭复数的定义结合复数的乘法可得答案.
21．（2023高三上·南宁期末）已知i为虚数单位，若，则 ．
【答案】1
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以，，则，
故答案为：1.
【分析】 直接利用复数的乘除运算以及复数相等的充要条件求出a， b，即可得答案.
22．（2022高一下·金华期中）已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为
【答案】
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；
又，设，且，，，
所以，设对应的点为，
则，所以，又，，所以，
因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，
由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.
由得，由得，
所以.
故答案为
【分析】利用复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域，再利用，设，且，，，设对应的点为，再结合复数的乘法运算法则和复数的几何意义，进而得出和，再利用，，所以，再结合复数，所以复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，由题意及图形易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可，由得出交点B的坐标，由得出交点C的坐标，再结合矩形的面积公式和三角形的面积公式以及作差法得出阴影部分的面积，进而得出复数对应的点在复平面内所形成图形的面积。
23．（2019高二下·上海月考）已知 ( 是虚数单位), 定义: 给出下列命题:
⑴对任意 都有
⑵若 是 的共轭复数,则 恒成立；
⑶若 则
⑷对任意 结论 恒成立.
则其中所有的真命题的序号是 .
【答案】⑵⑷
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：对于（1），当 时， ，命题（1）错误；
对于（2），设 ，则 ，
则 ，命题（2）正确；
对于（3），若 ，则 错误，如 ，满足 ，但 ；
对于（4），设 ，
则 ，
，
，
由 得 恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故答案为（2），（4）．
【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．
四、解答题
24．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
25．（2023高一下·定远期末）解下列小题：
（1）设复数满足，求复数
（2）若复数满足，求复数
（3）已知复数，当实数为何值时，复数对应的点在第四象限．
【答案】（1）
，
．
（2）设，则，化简得，
根据对应相等得：，解得，，所以．
（3）由，得，因为复数对应的点在第四象限，所以，解得：．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据复数的四则运算及复数的模公式即可求解出 复数；
(2)利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解出复数 ；
(3)复数的几何意义得出点Z的坐标，再根据点在第四象限的特点求解，即可求出实数的范围 .
26．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
【答案】（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得
或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
故答案为：-2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）首先设z=x+yi，根据和的虚部为2．得到关于x和y的方程组，解方程组求出x和y的值即可求出z．
（2）根据复数z的虚部大于零，可写出三个复数的表示式，再写出复数对应的点的坐标，根据向量的数量积即可求出的值．
27．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以.
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.
28．（2023高一下·深圳期中）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
【答案】（1）解：由复数为纯虚数，有，得
（2）解：由（1）知，令，有．
又由，得，有．
由上知或
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据已知条件，得到关于m的方程组，求解可得m的值；
(2)由（1）知，令，然后根据复数模的公式求出，再由 列出方程，求出a的值，进而求出b的值，即可得到复数．
29．（2020高二上·上海期末） 为虚数单位， 且 是纯虚数，
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】（1）解： ，
因为 为纯虚数，
所以 且 ，
所以 或 ，
当 时，
，
当 时，
， ，
所以 ，
综上： .
（2）解：由（1） 或 ，又 ，
所以 ， ，
， ，
由题意知 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据题意首先整理代数式结合已知条件为纯虚数，即可计算出a、b的关系式，分情况讨论即可求出的代数式，结合a的取值范围即可得出结果。
(2)由(1)的结论得出a的取值范围，结合题意整理即可得出；再由即可求出，整理化简结合基本不等式即可求出最小值。
30．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
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