2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.3 复数的三角表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·资阳期末）复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·昆明模拟）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高三上·铜仁期末）若复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
4．（2022高一下·宜春期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023高二下·安徽月考）棣莫佛公式（i为虚数单位，），是由法国数学家棣莫佛发现的.根据棣莫佛公式，复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·广东月考）已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．1
7．（2022高三上·如皋月考）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为0
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的共轭复数为
8．（2022·湖北模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-i
9．（2022·开封模拟）已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
10．（2022·晋城二模）欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多项选择题
11．（2022·滨州二模）欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数 为纯虚数
B．复数 对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
12．（2023高一下·太原期中）已知复数、，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则、中至少有个是
D．若且，则
13．（2022高三上·临沂期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为纯虚数
C． D．复数对应的点位于第三象限
14．（2022·佛山模拟）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
三、填空题
15．（2022高一下·景德镇期末）已知复数，则 ．
16．（2022高一下·广州期末）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为 ．
17．（2022高一下·杭州期中）欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则 .
四、解答题
18．（2023高一下·苏州期中）已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19．（2023高一下·太原期中）已知复数，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式以及特殊角三角函数求出三角函数值即可求得复数.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意可得：对应的点为，
∵，则，
故位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】 根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解出答案.
4．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由，知复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】 对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解出答案.
5．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意得 ，
故选：C
【分析】根据棣莫佛公式化简，即可求解出z的虚部.
6．【答案】A
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】因为复数，所以，
则，
故答案为：.
【分析】根据复数模的公式可得，进而求出答案.
7．【答案】C
【知识点】复数的三角形式
【解析】【解答】对于A，，则实部为-1，A不符合题意；
对于B，对应的点为，
，，对应的点位于第二象限，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，则其共轭复数为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 由欧拉公式 ，逐项进行分析判断，可得答案.
8．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】易知，再根据已知条件转化为即可求解.
9．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；复数的三角形式
【解析】【解答】 ，
，
∴ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则可得 ， ，再根据正切的二倍角公式可得答案。
10．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意得 ，
所以复数z对应的点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】先利用欧拉公式得，然后利用复数的运算性质求解出复数z，从而可求出复数z对应的点位于的象限.
11．【答案】A,B,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数的三角形式
【解析】【解答】解：对A：因为复数 为纯虚数，A符合题意；
对B：复数 ，因为 ，所以复数 对应的点为 位于第二象限，B符合题意；
对C：复数 的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：复数 在复平面内对应的点为 ，
因为 ，所以复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.
12．【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】设，，
对于A选项，，
所以，
，
因为
，
则，
所以，，A对；
对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B不符合题意；
对于C选项，若，假设、均不为零，则，，
则存在、，使得，，
则，
因为，则、不可能同时为零，
所以，，
故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；
对于D选项，，则，
因为，则，由C选项可知，，即，D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数模的几何意义判断选项A；由特殊例子判断选项B；利用复数相等求解，即可判断选项C；由复数模的性质判断选项D.
13．【答案】B,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】解：对于A：，A不符合题意；
对于B：，所以为纯虚数，B符合题意；
对于C：，C符合题意；
对于D：，则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以点位于第二象限，
即复数对应的点位于第二象限，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
14．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】
所以
A符合题意
，则在复平面上对应的点为位于第三象限
B不符合题意
C符合题意
D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解出答案.
15．【答案】1
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】∵
∴.
故答案为：1
【分析】根据复数模的运算可得答案.
16．【答案】1-i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【解答】由已知可得，
所以，，
因此，复数的共轭复数为1-i.
故答案为：1-i.
【分析】 由已知可得，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念求出 复数的共轭复数 .
17．【答案】-i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【解答】解法一：则
；
解法二：∵
∴
故答案为：-i．
【分析】 法一：利用复数乘法运算法则能求出结果；法二：利用复数三角表示能求出结果.
18．【答案】（1）解：若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
则，解得；
（2）解：若，
则，
由②得③，
将①③相加得，
故，
因为，
则当时，，当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【分析】(1)由题意可得 的实部与虚部相等且小于0，由此列式求解出m的值；
(2)利用两复数的实部与实部、虚部与虚部相等列方程组，可得 关于sinθ的函数式，再由配方法求得最值，进而求出实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：因为，
，
又为纯虚数，
，
解得.
（2）解：，
因为复数所对应的点在第二象限，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的取值范围.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.3 复数的三角表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·资阳期末）复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式以及特殊角三角函数求出三角函数值即可求得复数.
2．（2023·昆明模拟）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意可得：对应的点为，
∵，则，
故位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】 根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案.
3．（2023高三上·铜仁期末）若复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
【答案】C
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解出答案.
4．（2022高一下·宜春期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由，知复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】 对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解出答案.
5．（2023高二下·安徽月考）棣莫佛公式（i为虚数单位，），是由法国数学家棣莫佛发现的.根据棣莫佛公式，复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意得 ，
故选：C
【分析】根据棣莫佛公式化简，即可求解出z的虚部.
6．（2022高三上·广东月考）已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】因为复数，所以，
则，
故答案为：.
【分析】根据复数模的公式可得，进而求出答案.
7．（2022高三上·如皋月考）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为0
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的共轭复数为
【答案】C
【知识点】复数的三角形式
【解析】【解答】对于A，，则实部为-1，A不符合题意；
对于B，对应的点为，
，，对应的点位于第二象限，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，则其共轭复数为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 由欧拉公式 ，逐项进行分析判断，可得答案.
8．（2022·湖北模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-i
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；复数的三角形式
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】易知，再根据已知条件转化为即可求解.
9．（2022·开封模拟）已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；复数的三角形式
【解析】【解答】 ，
，
∴ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则可得 ， ，再根据正切的二倍角公式可得答案。
10．（2022·晋城二模）欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【解答】由题意得 ，
所以复数z对应的点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】先利用欧拉公式得，然后利用复数的运算性质求解出复数z，从而可求出复数z对应的点位于的象限.
二、多项选择题
11．（2022·滨州二模）欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数 为纯虚数
B．复数 对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
【答案】A,B,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数的三角形式
【解析】【解答】解：对A：因为复数 为纯虚数，A符合题意；
对B：复数 ，因为 ，所以复数 对应的点为 位于第二象限，B符合题意；
对C：复数 的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：复数 在复平面内对应的点为 ，
因为 ，所以复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.
12．（2023高一下·太原期中）已知复数、，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则、中至少有个是
D．若且，则
【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】设，，
对于A选项，，
所以，
，
因为
，
则，
所以，，A对；
对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B不符合题意；
对于C选项，若，假设、均不为零，则，，
则存在、，使得，，
则，
因为，则、不可能同时为零，
所以，，
故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；
对于D选项，，则，
因为，则，由C选项可知，，即，D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数模的几何意义判断选项A；由特殊例子判断选项B；利用复数相等求解，即可判断选项C；由复数模的性质判断选项D.
13．（2022高三上·临沂期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为纯虚数
C． D．复数对应的点位于第三象限
【答案】B,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】解：对于A：，A不符合题意；
对于B：，所以为纯虚数，B符合题意；
对于C：，C符合题意；
对于D：，则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以点位于第二象限，
即复数对应的点位于第二象限，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
14．（2022·佛山模拟）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】
所以
A符合题意
，则在复平面上对应的点为位于第三象限
B不符合题意
C符合题意
D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解出答案.
三、填空题
15．（2022高一下·景德镇期末）已知复数，则 ．
【答案】1
【知识点】复数的模；复数的三角形式
【解析】【解答】∵
∴.
故答案为：1
【分析】根据复数模的运算可得答案.
16．（2022高一下·广州期末）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为 ．
【答案】1-i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【解答】由已知可得，
所以，，
因此，复数的共轭复数为1-i.
故答案为：1-i.
【分析】 由已知可得，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念求出 复数的共轭复数 .
17．（2022高一下·杭州期中）欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则 .
【答案】-i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【解答】解法一：则
；
解法二：∵
∴
故答案为：-i．
【分析】 法一：利用复数乘法运算法则能求出结果；法二：利用复数三角表示能求出结果.
四、解答题
18．（2023高一下·苏州期中）已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
则，解得；
（2）解：若，
则，
由②得③，
将①③相加得，
故，
因为，
则当时，，当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的三角形式
【解析】【分析】(1)由题意可得 的实部与虚部相等且小于0，由此列式求解出m的值；
(2)利用两复数的实部与实部、虚部与虚部相等列方程组，可得 关于sinθ的函数式，再由配方法求得最值，进而求出实数的取值范围.
19．（2023高一下·太原期中）已知复数，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
，
又为纯虚数，
，
解得.
（2）解：，
因为复数所对应的点在第二象限，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的取值范围.
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