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新人教九年级数学下第二十七章 相似三角形27.2.3 相似三角形的应用举例小松中学 温光洪新人教九年级数学下1、会用相似三角形的知识,解决一些不能直接测量物体的长度和高度的实际问题.
2、能把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力 。
能把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力利用相似三角形的有关知识解决实际问题新人教九年级数学下阅读本课时的教材,回答下列问题1、"泰勒斯"测量金字塔的高度时,构造了哪两个三角形?它们有什么关系?说明理由.2、根据两个三角形的关系求金字塔高度时,运用了相似三角形的 .3、在例5中,关键是构造两个 三角形,它们分别
是 和 .4、在例5中,先利用 证明 两三角形相似 ,再利用 求PQ5、人行进过程中,从什么时候看不到右边较高的树?6、在例6中,本题证明两个三角形相似的理论依据是"
".对应边成比例相似两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的对应边成比例相似三角形的判定一 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO＝∠EDF
又∠AOB＝∠DEF＝90°，
∴△ABO∽△DEF因此金字塔的高度为134m．∴∴ 如图，已知EF＝2，FD＝3，OA＝201 m，AB∥DE∠AOB＝∠DEF＝90°,求线段BO的长． 新人教九年级数学下AFEBO┐┐ 若给你一面平面镜，你能设计出一种测量金字塔高的方法吗？△ABO∽△AEF平面镜新人教九年级数学下新人教九年级数学下1、小明在太阳光下测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为 .3、如图,A,B两点被池塘隔开,在AB处取一点C连接AC,BC,在AC上取点M,使AM=3MC,作MC∥AB交BC于N.量得MN=38m,则AB的长为 。2、[变式训练]如图,太阳光下小明和小华分别站在B,C的位置,两人影子的顶端恰好在同一点D,若小明的高度为1.8m,身高1.6m的小华站在C处测得自己的影长CD=2m,则此时小华与小明相距 。3题0.25m10m152m例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．点拔：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，PQ×90＝（PQ＋45）×60解得PQ＝90.∴ △PQR∽△PST．因此河宽大约为90m新人教九年级数学下例2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6cm和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域1 和11都在观察者看不到的区域（盲区）之内．新人教九年级数学下解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．由题意可知，AB⊥L，CD⊥L∴ AB∥CD，△AFH∽△CFK即解得 FH＝8由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．新人教九年级数学下新人教九年级数学下【达标测评之自我尝试】1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( )
A．15m B．60m C．20m D．2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( )
A． B. C. D.3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16mABA新人教九年级数学下【达标测评之自我尝试】4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．4题5题6题C312新人教九年级数学下【达标测评之自我展示】7.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是 .8. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m。 9.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______。
54m84m新人教九年级数学下【自我展示之归纳小结】请谈谈你的收获小组合作讨论1.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树
的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=80cm， EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树
高AB．哪两个三角形相似？△DEF∽△DCBBC与AB的关系？【达标测评之自我提升】新人教九年级数学下解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D ∴△DEF∽△DCB ∴ ∵DE=80cm=0.8m，
EF=40cm=0.4m，AC=1.5m，
CD=8m， ∴ ∴BC=4米， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米， 答：树高AB为5.5m.【达标测评之自我提升】新人教九年级数学下 2.请仿照人教八上利用全等测量河宽的方案，设计一个利用相似来测量河宽的方案？新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】 2. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】 2. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使点A、B、C共线且直线AB与河垂直，接着在过点C且与AC垂直的直线a上选择适当的点E，确定AE与过点B且垂直AB的直线的交点D．新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】方法1：(如左图) BD＝120米，DC＝60米，EC＝ 50米，求AB．
方法2：(如右图) BD＝ 60 米，BC＝30米，EC＝120米，求AB． 新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】解： 因为 ∠ADB＝∠EDC, ∠ABC＝∠ECD＝90°， ?所以△ABD∽△ECD， 答：两岸间的大致距离为100米． ? 2(1):测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．(方法一)那么解得新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】 2(2). 测得BD＝60米，BC＝30米，EC＝120米，求两岸间的大致距离AB（方法二）． ∵ AB⊥BD，AC⊥CE，
∴△ABD∽△ACE∴∴解得：AB＝30答：两岸间的大致距离AB为30米新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】 3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为 x 毫米。
∵PN∥BC，∴△APN∽ △ABC新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】 1、（2012?青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为___m． 解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∵BE=1.5，AB=2，BC=14， ∴AC=16 ∴∴CD=12． ∴【自我提升之中考链接】新人教九年级数学下新人教九年级数学下【自我提升之反思总结】把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评新人教九年级数学下27.2.3相似三角形的应用举例
一、基础训练? ?
1.在相同时刻的物高与影长成正比．如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m，那么影长为30m旗杆的高是
A．15m
B．16m
C．18m
D．20m
2.某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（???）【出处：21教育名师】
A．12m
B．11m
C．10m
D．9m
3.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）21教育网
A．60m
B．40m
C．30m
D．20m
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（???） 2·1·c·n·j·y
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
5.小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为???????米。 二、能力培优 ? 6.如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 ???????? m． 7. 已知∽ ， 且相似比为 ， 若中边上的中线 ， 则中边上的中线=???????? ． 21cnjy.com
8. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（???） 21*cnjy*com
A．3米
B．4米
C．4.5米
D．6米
9.为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC=1m，CD=4m，则ED=?????????????m． 10.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=??????????m. 21·世纪*教育网
11. 如图,小丽在观察某建筑物 ． （1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物在阳光下的投影． （2）已知小丽的身高为,在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和,求建筑物的高．【来源：21cnj*y.co*m】
三、拓展提升 ? 12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m） 13.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． （1）求证：△BEF∽△CDF； （2）求CF的长． 21*cnjy*com
参考答案
2、知识点：相似三角形的应用 答案：A
3、知识点：相似三角形的应用 答案：B 解析：试题分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB． ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴ ， ∵BE=20m，CE=10m，CD=20m， ∴ ， 解得：AB=40． 考点：相似三角形的应用．21世纪教育网版权所有
4、知识点：相似三角形的应用 答案：B. 解析：试题分析：∵△ABP∽△CDP， ∴. ∴（米）． 故选B. 考点：相似三角形的应用．21·cn·jy·com
5、知识点：相似三角形的应用 答案：2
7、知识点：相似三角形的应用 答案：6. 解析：试题分析：因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解． ∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3， ∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3， ∵△ABC中BC边上的中线AM=8， ∴△DEF中EF边上的中线DN=6． 考点：相似三角形的性质． www.21-cn-jy.com
8、知识点：相似三角形的应用 答案：D． 解析：试题分析：由题意得，△ACD∽△ABE， ∴ ， 即 ， 解得BE=6， 即树的高度为6米． 故选D． 考点：相似三角形的应用． www-2-1-cnjy-com
9、知识点：相似三角形的应用 答案：10.1. 解析：试题分析：首先做出辅助线，得出△AHF∽△AGE，进而求出GE的长，进而求出ED的长： 如图，过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H． 由题意可得 四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，AB∥CF∥DE． ∴△AHF∽△AGE． ∴. 由题意可得AH=BC=1，AG=BD=5，FH=FC-HC=FC-AB=3.3-1.6=1.7． ∴. ∴ED=GE+DG=GE+AB=8.5+1.6=10.1． 考点：相似三角形的应用．2-1-c-n-j-y
10、知识点：相似三角形的应用 答案：5.5 解析：试题分析：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D ∴△DEF∽△DCB ∴ ∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m， ∴ ∴BC=4米， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米， 故答案是：5.5． 考点：相似三角形的应用 点评：难度中等，关键在于从实际问题中整理出相似三角形的模型。
11、知识点：相似三角形的应用 答案：（1）图形见解析;（2）建筑物AB的高为11m． 解析：试题分析:因为在同一时刻物高与影长成正比例,所以解题的关键是将实际问题转化为数学问题． 试题解析:（1）如图: 【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图,因为DE,AB都垂直于地面,且光线DF∥AC, 所以Rt△DEF∽Rt△ABC, 所以, 即,所以AB=11（m）． 即建筑物AB的高为11m． 考点:相似三角形的应用． 【版权所有：21教育】
13、知识点：相似三角形的应用 答案：（1）证明见解析； （2）CF的长度是169cm． 解析：试题分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似； （2）由△BEF∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度． 试题解析：（1）在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°， ∴△BEF∽△CDF； （2）∵△BEF∽△CDF． ∴ ， 即 ， 解得：CF=169． 即：CF的长度是169cm． 考点：相似三角形的应用．21教育名师原创作品
新人教九年级数学下27.2.3相似三角形的应用举例
一、基础训练? ?
1.在相同时刻的物高与影长成正比．如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m，那么影长为30m旗杆的高是21cnjy.com
A．15m
B．16m
C．18m
D．20m
2.某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（???）21教育网
A．12m
B．11m
C．10m
D．9m
知识点：相似三角形的应用 答案：A 3.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．60m
B．40m
C．30m
D．20m
知识点：相似三角形的应用 答案：B 解析：试题分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB． ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴ ， ∵BE=20m，CE=10m，CD=20m， ∴ ， 解得：AB=40． 考点：相似三角形的应用． 4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（???） www-2-1-cnjy-com
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
知识点：相似三角形的应用 答案：B. 解析：试题分析：∵△ABP∽△CDP， ∴. ∴（米）． 故选B. 考点：相似三角形的应用． 5.小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为???????米。 知识点：相似三角形的应用 答案：2 二、能力培优 ? 6.如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 ???????? m． 7. 已知∽ ， 且相似比为 ， 若中边上的中线 ， 则中边上的中线=???????? ． 知识点：相似三角形的应用 答案：6. 解析：试题分析：因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解． ∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3， ∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3， ∵△ABC中BC边上的中线AM=8， ∴△DEF中EF边上的中线DN=6． 考点：相似三角形的性质． 8. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（???） 21世纪教育网版权所有
A．3米
B．4米
C．4.5米
D．6米
知识点：相似三角形的应用 答案：D． 解析：试题分析：由题意得，△ACD∽△ABE， ∴ ， 即 ， 解得BE=6， 即树的高度为6米． 故选D． 考点：相似三角形的应用． 2·1·c·n·j·y
9.为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC=1m，CD=4m，则ED=?????????????m． 知识点：相似三角形的应用 答案：10.1. 解析：试题分析：首先做出辅助线，得出△AHF∽△AGE，进而求出GE的长，进而求出ED的长： 如图，过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H． 由题意可得 四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，AB∥CF∥DE． ∴△AHF∽△AGE． ∴. 由题意可得AH=BC=1，AG=BD=5，FH=FC-HC=FC-AB=3.3-1.6=1.7． ∴. ∴ED=GE+DG=GE+AB=8.5+1.6=10.1． 考点：相似三角形的应用． 10.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=??????????m. 【来源：21·世纪·教育·网】
知识点：相似三角形的应用 答案：5.5 解析：试题分析：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D ∴△DEF∽△DCB ∴ ∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m， ∴ ∴BC=4米， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米， 故答案是：5.5． 考点：相似三角形的应用 点评：难度中等，关键在于从实际问题中整理出相似三角形的模型。 21·世纪*教育网
11. 如图,小丽在观察某建筑物 ． （1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物在阳光下的投影． （2）已知小丽的身高为,在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和,求建筑物的高． 21*cnjy*com
知识点：相似三角形的应用 答案：（1）图形见解析;（2）建筑物AB的高为11m． 解析：试题分析:因为在同一时刻物高与影长成正比例,所以解题的关键是将实际问题转化为数学问题． 试题解析:（1）如图: 2-1-c-n-j-y
（2）如图,因为DE,AB都垂直于地面,且光线DF∥AC, 所以Rt△DEF∽Rt△ABC, 所以, 即,所以AB=11（m）． 即建筑物AB的高为11m． 考点:相似三角形的应用． 三、拓展提升 ? 12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m） 知识点：相似三角形的应用 答案：解：如图，设CD长为xm， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD。 ∴ ， 即?，解得（检验适合）。 答：路灯高CD约为6.1米。 13.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置． （1）求证：△BEF∽△CDF； （2）求CF的长． 21·cn·jy·com
