2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.1 复数的概念 同步练习
一、选择题
1．（2022高一下·宁波期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合向量求模公式和复数的几何意义，再结合几何法得出 的最大值。
二、多项选择题
2．（2023高一下·上饶期末）复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的虚部为2
D．在复平面内对应点位于第一象限
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为虚数不能比较大小，故B错误；
对于C：因为z的虚部为2，故C正确；
对于D：因为z在复平面内对应点为(1，2)，位于第一象限，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据复数的相关概念逐项分析判断.
3．设复数满足，为虚数单位，则
A．
B．复数在复平面内对应的点在第四象限
C．的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点在直线上
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ， A符合题意；
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不符合题意 ；
的共轭复数为 ， C符合题意；复数 在复平面内对应的点 不在直线 上， D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合复数求模公式、复数的几何意义、复数与共轭复数的关系，进而找出正确的选项。
4．（2022高三上·泰兴期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】A选项：因为，所以的虚部为-2，A不符合题意；
B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，B不符合题意；
C选项：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以，所以，解得，，C符合题意；
D选项：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】A选项：根据虚部的概念判断即可；
B选项：根据模的公式判断即可；
C选项：，然后代入中得到，解方程即可；
D选项：设，根据得到，然后根据几何图形求面积即可.
5．（2022高二上·江西开学考）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A不符合题意；
z的虚部为1，B符合题意；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的虚部的定义、复数的几何意义以及点的坐标与象限的关系、复数的加法运算法则和复数求模的公式，进而找出结论正确的选项。
6．（2022高一下·武汉期末）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】A中，令，则，A不符合题意；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，B符合题意；
C中，易知的虚部为-2，C不符合题意；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为π，
所以点的集合所构成的图形的面积为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和复数的几何意义，进而得出复数z；再利用已知条件结合复数的几何意义和复数相等的判断方法，进而得出p，q定值，从而得出p+q定值；利用已知条件结合复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部；再结合复数求模公式和已知条件，进而结合复数的几何意义和圆的面积公式得出点Z的集合所构成的图形的面积，进而找出说法正确的选项。
7．（2021高一下·聊城期末）已知复数 、 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为
B． 的共轭复数
C． 是关于 的方程 的一个根
D．若 ，则 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于A选项，复数 的虚部为 ，A不符合题意；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， 解方程 ，即 ，可得 ，
解得 ，C对；
对于D选项，设 ，则 ，
所以， ，即 ，
故 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，D对.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部；利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数；利用解一元二次方程的方法结合复数相等的等价关系，从而求出 是关于 的方程 的一个根；设 ，再结合复数的加减法运算法则和复数的模求解公式，从而求出，再利用复数的几何意义得出复数 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，从而找出结论正确的选项。
8．（2022高二上·萧山期中）设复数，下列说法正确的是（）
A．z的虚部是y
B．
C．若，则z为纯虚数
D．若满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆
【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由复数的概念知，A符合题意；
，B不正确；
当 且 时，z是纯虚数，C不正确；
因为 ，所以 ，即 ，表示以 为圆心，1为半径的圆，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的基本概念、复数的模以及轨迹方程，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
9．（2023高一下·资阳期末）复平面内复数，对应的两点之间的距离为 .
【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：复数，，对应的两点的坐标分别为（8，5），（4，2），再利用两点间距离公式得.
故答案为：5.
【分析】先求出复数对应两点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
10．（2023高一下·闵行期末）若复数，则 .
【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解： .
故答案为：1.
【分析】根据复数的模长公式求解.
11．（2021高一下·厦门期末）已知 ，一元二次方程 的一个根z是纯虚数，则 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由题意，可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，
由z是 的复数根，
可得（bi）2﹣（2m-1）bi+ ＝0，
即（﹣b2+1+ ）﹣（2m-1）bi＝0，
∴ ，
解得 ， ， ，
∴z＝ i，z+m＝ i，
∴|z+m|＝ 。
故答案为 。
【分析】由题意，再结合纯虚数的定义，可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，由z是 的复数根结合代入法和复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，从而解方程组求出m，b的值，进而求出z＝ i，从而得出z+m＝ i，再利用复数求模公式求出|z+m|的值。
12．（2021高一下·武清月考）若复数 ， 的共轭复数 对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】
因为 对应的点在第一象限，所以 的对应点在第四象限，
所以 ，解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出 的对应点在第四象限，从而即可得出关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
13．（2021高一下·平潭月考）已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第 象限．
【答案】二
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则 ∴a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．
故答案为：二
【分析】根据题意由复数的概念即可得出关于a的方程，求接触a的值，再由复数代数形式的几何意义即可得出答案。
14．（2018·广元模拟）已知 是实数， 是虚数单位，若 是纯虚数，则 ．
【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由题意得 ，解得 ．
故答案为：1
【分析】复数为纯虚数即实部为0,虚部不为0.
15．（2022高一下·深圳期中）若复数 是纯虚数，其中 ，则 .
【答案】12
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数 是纯虚数，
所以，
所以z=12i，
则.
故答案为：12
【分析】由纯虚数的定义，列出方程，求得m=3，从而求得.
16．（2023高一下·苏州期中）下面给出的几个关于复数的命题，
①若是纯虚数，则实数
②复数是纯虚数
③复数在复平面内对应的点位于第三象限
④如果复数满足，则的最小值是2
以上命题中，正确命题的序号是 .
【答案】②③
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于①，因为为纯虚数，所以，
解得，故①错误；
对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；
对于③，因为，，所以在
复平面内对应的点在第三象限，故③正确；
对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点
和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，
而表示点Z到点的距离，
所以其最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义，逐项进行判断，可得答案.
17．（2021高二下·长春期中）若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝
【答案】1＋2i或－1－2i
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝ ，
得 ＝ ，
解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故答案为：1＋2i或－1－2i.
【分析】 根据已知条件，运用复数的几何意义，以及复数模的计算公式，求解即可.
四、解答题
18．（2021高一下·浙江期中）已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：设，因为，所以，
又因为，的虚部为2，所以，
所以，所以或，
所以或；
（2）解：因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，
设，因为，所以，所以，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以，.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1)利用复数的代数形式，根据复数的运算与概念求解即可；
(2)根据复数的几何意义，结合圆的性质求解即可.
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一、选择题
1．（2022高一下·宁波期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多项选择题
2．（2023高一下·上饶期末）复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的虚部为2
D．在复平面内对应点位于第一象限
3．设复数满足，为虚数单位，则
A．
B．复数在复平面内对应的点在第四象限
C．的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点在直线上
4．（2022高三上·泰兴期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
5．（2022高二上·江西开学考）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．
6．（2022高一下·武汉期末）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
7．（2021高一下·聊城期末）已知复数 、 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为
B． 的共轭复数
C． 是关于 的方程 的一个根
D．若 ，则 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆
8．（2022高二上·萧山期中）设复数，下列说法正确的是（）
A．z的虚部是y
B．
C．若，则z为纯虚数
D．若满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆
三、填空题
9．（2023高一下·资阳期末）复平面内复数，对应的两点之间的距离为 .
10．（2023高一下·闵行期末）若复数，则 .
11．（2021高一下·厦门期末）已知 ，一元二次方程 的一个根z是纯虚数，则 .
12．（2021高一下·武清月考）若复数 ， 的共轭复数 对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为 .
13．（2021高一下·平潭月考）已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第 象限．
14．（2018·广元模拟）已知 是实数， 是虚数单位，若 是纯虚数，则 ．
15．（2022高一下·深圳期中）若复数 是纯虚数，其中 ，则 .
16．（2023高一下·苏州期中）下面给出的几个关于复数的命题，
①若是纯虚数，则实数
②复数是纯虚数
③复数在复平面内对应的点位于第三象限
④如果复数满足，则的最小值是2
以上命题中，正确命题的序号是 .
17．（2021高二下·长春期中）若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝
四、解答题
18．（2021高一下·浙江期中）已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合向量求模公式和复数的几何意义，再结合几何法得出 的最大值。
2．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为虚数不能比较大小，故B错误；
对于C：因为z的虚部为2，故C正确；
对于D：因为z在复平面内对应点为(1，2)，位于第一象限，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据复数的相关概念逐项分析判断.
3．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ， A符合题意；
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不符合题意 ；
的共轭复数为 ， C符合题意；复数 在复平面内对应的点 不在直线 上， D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合复数求模公式、复数的几何意义、复数与共轭复数的关系，进而找出正确的选项。
4．【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】A选项：因为，所以的虚部为-2，A不符合题意；
B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，B不符合题意；
C选项：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以，所以，解得，，C符合题意；
D选项：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】A选项：根据虚部的概念判断即可；
B选项：根据模的公式判断即可；
C选项：，然后代入中得到，解方程即可；
D选项：设，根据得到，然后根据几何图形求面积即可.
5．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A不符合题意；
z的虚部为1，B符合题意；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的虚部的定义、复数的几何意义以及点的坐标与象限的关系、复数的加法运算法则和复数求模的公式，进而找出结论正确的选项。
6．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】A中，令，则，A不符合题意；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，B符合题意；
C中，易知的虚部为-2，C不符合题意；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为π，
所以点的集合所构成的图形的面积为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和复数的几何意义，进而得出复数z；再利用已知条件结合复数的几何意义和复数相等的判断方法，进而得出p，q定值，从而得出p+q定值；利用已知条件结合复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部；再结合复数求模公式和已知条件，进而结合复数的几何意义和圆的面积公式得出点Z的集合所构成的图形的面积，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于A选项，复数 的虚部为 ，A不符合题意；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， 解方程 ，即 ，可得 ，
解得 ，C对；
对于D选项，设 ，则 ，
所以， ，即 ，
故 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，D对.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部；利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数；利用解一元二次方程的方法结合复数相等的等价关系，从而求出 是关于 的方程 的一个根；设 ，再结合复数的加减法运算法则和复数的模求解公式，从而求出，再利用复数的几何意义得出复数 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，从而找出结论正确的选项。
8．【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由复数的概念知，A符合题意；
，B不正确；
当 且 时，z是纯虚数，C不正确；
因为 ，所以 ，即 ，表示以 为圆心，1为半径的圆，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的基本概念、复数的模以及轨迹方程，逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：复数，，对应的两点的坐标分别为（8，5），（4，2），再利用两点间距离公式得.
故答案为：5.
【分析】先求出复数对应两点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可.
10．【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解： .
故答案为：1.
【分析】根据复数的模长公式求解.
11．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由题意，可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，
由z是 的复数根，
可得（bi）2﹣（2m-1）bi+ ＝0，
即（﹣b2+1+ ）﹣（2m-1）bi＝0，
∴ ，
解得 ， ， ，
∴z＝ i，z+m＝ i，
∴|z+m|＝ 。
故答案为 。
【分析】由题意，再结合纯虚数的定义，可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位，由z是 的复数根结合代入法和复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，从而解方程组求出m，b的值，进而求出z＝ i，从而得出z+m＝ i，再利用复数求模公式求出|z+m|的值。
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】
因为 对应的点在第一象限，所以 的对应点在第四象限，
所以 ，解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出 的对应点在第四象限，从而即可得出关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
13．【答案】二
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则 ∴a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．
故答案为：二
【分析】根据题意由复数的概念即可得出关于a的方程，求接触a的值，再由复数代数形式的几何意义即可得出答案。
14．【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由题意得 ，解得 ．
故答案为：1
【分析】复数为纯虚数即实部为0,虚部不为0.
15．【答案】12
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数 是纯虚数，
所以，
所以z=12i，
则.
故答案为：12
【分析】由纯虚数的定义，列出方程，求得m=3，从而求得.
16．【答案】②③
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于①，因为为纯虚数，所以，
解得，故①错误；
对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；
对于③，因为，，所以在
复平面内对应的点在第三象限，故③正确；
对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点
和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，
而表示点Z到点的距离，
所以其最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义，逐项进行判断，可得答案.
17．【答案】1＋2i或－1－2i
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝ ，
得 ＝ ，
解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
故答案为：1＋2i或－1－2i.
【分析】 根据已知条件，运用复数的几何意义，以及复数模的计算公式，求解即可.
18．【答案】（1）解：设，因为，所以，
又因为，的虚部为2，所以，
所以，所以或，
所以或；
（2）解：因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，
设，因为，所以，所以，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以，.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1)利用复数的代数形式，根据复数的运算与概念求解即可；
(2)根据复数的几何意义，结合圆的性质求解即可.
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