参考答案：
1．B 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C
9．AC 或只选 C，都算全对 10．AD 11．AB 12．AD
43 5
13．6 14． 15． 16．6π
39 13
3 3b 0
17．（1）由题意 (1 3i)(3 bi) 3 3b (b 9)i，它为纯虚数，则 b 1 z 3 i
b
，∴ ，∴ ；
9 0
3 i 3 i 2 i 6 3i 2i i
2 7 1
（2 7 1） i 2 22 i 2 i 2 i 5 5 5 ， ( ) ( ) 2 ．5 5
π
18．【详解】（1） f (x) 2 3 cos 2 x 2sin x cos x 3 sin 2x 3cos2x 2sin(2x ) ,
3
2x π π 4πx [0, ] , sin
π 3
因为 ，则 ，所以 2x ,1 ，所以 f (x) [ 3, 2] .2 3 3 3 3 2
π π π 8 4
（2）由第（1）问知 f 2sin 2 ，所以 sin = ， 2 6 2 6 3 5 5
π
因为 (0, )，所以 cos
3
，因为 ， 为锐角，
2 5
所以 0, π 12 5，因为 cos( ) ，所以 sin( ) ，
13 13
所以 sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin
5 3 12 4 63
.
13 5 13 5 65
19．【详解】（1）由频率分布直方图知数据落在 20,25 内的频率为
1 0.024 0.036 0.060 0.024 0.012 5 0.220.22，所以 x 0.044；
5
（2）估计这 100户居民月用水量的中位数为 a .
因为 0.024 0.036 5 0.3 0.5, 0.024 0.036 0.060 5 0.6 0.5，
所以15 a 20 .由0.3 a 15 0.06 0.5，可得 a 18.3 .
（3）估计该市每户居民月用水量的平均数为
7.5 0.024 5 12.5 0.036 5 17.5 0.060 5 22.5 0.044 5 27.5 0.024 5 32.5 0.012 5
18.6，故估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额为12 3 18.6 12 5 69（元）.
20．【详解】（1）因为
cosC (cosB 3sinB)cosA cos A B (cosB 3sinB)cosA sin B s in A 3 cos A 0，
答案第 1页，共 3页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
A,B 0, π π且 ，则 sinB 0，可得2 sin A 3 cos A 0 ，整理得 tan A 3，所以
A .
3
2 2
1
（ ）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cosA，即12 8 c 2 2 2c ，解得 c 2 6或
2
c 2 6 （舍去），所以 ABC的面积
S 1VABC = bc sinA=
1 2 2 ( 2+ 62 2 )
3 3+ 3 .
2
a b c 2 3
3 4（ ）由正弦定理 sin A sin B sinC 3 ，可得b 4sin B,c 4sinC，
2
则b+c= 4sinB+ 4sinC = 4sinB+ 4sin (A+B )= 4sinB+ 2sinB+ 2 3 cosB
6sin B 2 3 cosB 4 3sin π B ，
6
0
π
B
π 2 π π
因为 ABC为锐角三角形，且 A ，则 2π π，解得
B ，
3 0 B 6 2
3 2
π π 3π
B 3 π
π
则 ，可得 sin B 1，则b+c= 4 3 sin B+ 6 (6,4 3
ù
3 6 3 2 6 ú
，
所以b c的取值范围为 6, 4 3 .
21．【详解】（I）证明：连接 BD，易知 AC BD H ， BH DH ，
又由 BG= PG，故GH PD，
又因为GH 平面 PAD， PD 平面 PAD，
所以GH 平面 PAD .
（II）证明：取棱 PC的中点N，连接DN，
依题意，得DN PC，
又因为平面PAC 平面 PCD，平面PAC 平面
PCD PC，
所以DN 平面PAC，又 PA 平面 PAC，故DN PA，
又已知PA CD，CD DN D ，
所以 PA 平面 PCD .
答案第 2页，共 3页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
（III）解：连接 AN，由（II）中DN 平面 PAC，
可知 DAN 为直线 AD与平面PAC所成的角.
因为 PCD为等边三角形，CD 2且N为PC的中点，
所以DN 3，又DN AN，
在Rt AND中， sin DN 3 DAN ，
AD 3
3
所以，直线 AD与平面PAC所成角的正弦值为 .
3
22．【详解】（1）∵H是 ABC的垂心，∴ AH BC，AH BC 0，
即 AH BC
1 AB 1AC BC 1 AB
1
BC AC BC 1 1， accosB abcosC 0，
4 3 4 3 4 3
由余弦定理可得上式等价于
4abcosC 3accosB 2 a2 b2 c2 3 a2 c2 b22 ，
化简得7c2 7b2 a2；
（2） 如图所示，取 AB、AC中点分别为 E、F，
∵H是 ABC的外心，∴ EH AB,FH AC，
1 1 EH 1即 AB 0 AH AE AB AC AB AB bccos BAC 1 2c 0，
3 4 3 4
故 4b cos BAC 3c ,
同理，FH AC 0 3c cos BAC 2b ，
cos BAC 3c 2b c 2 2b联立可得 , cos BAC 2 ,
4b 3c 3 2
∵ BAC 0, π BAC π
4
答案第 3页，共 3页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}绝密★启用前
2023-2024学年眉山冠城七中实高高二第一学期入学测试
数 学 试 题 卷
考试时间：120 分钟；满分：150 分。考试范围：必修第五章至第九章。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I卷（选择题）
一、单选题（本大题 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的 A，B，C
三所中学抽取 80 名学生进行调查，已知 A，B，C 三所学校中分别有 400，560，320 名学生，则从C学校
中应抽取的人数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
2
．向量 a，b 的夹角为60 ，且 a 1， b 2，则a b （ ）
A．4 B．2 C． 2 D．1
1
3．复数 z 的虚部是（ ）
1 2i
2 2 1 1
A． B． i C． D． i
5 5 5 5
4．为了得到函数 f (x) cos(2x
π
) 的图象，只需要把函数 y cos x图象（ ）
4
A 1
π
．先将横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位4
1 πB．先将横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 8 个单位
π
C．先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
4
π
D．先向左平移 8 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
5．已知 (0, π) 2，且3 1 2sin 8cos 5，则 sin （ ）
2 1
A 5 5． B．
3 3
C． D．
3 9
6．设 a,b为两条直线， , 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 a / / ，b ，则 a / /b B．若 a / / ， b / / ， / / ，则 a / /b
C．若 a ，b ， a / /b，则 / / D．若 a ,b , a / /b，则 a / /
7．已知向量 a cos x，cos x ，b cos x，3sin x ，若函数 f x a b, x 0, π ，则 f (x)的零点之和等于（ ）
2 7 π 4 π 5A． π B3 ． C． D． π6 3 3
8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
2 2 2 2 a b c c
b，c 1，则△ABC 的面积 S a 2c 2 a c b ．若b 2 ， ，则△ABC4 2 sin A sin B sinC 2sin A
面积 S 的最大值为（ ）
2
A 2． 2 B．1 C． 3 D． 3
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
a
9．已知向量 = 1,3 ，b= 3, 1 ，下列命题中正确的有（ ）
A． a 10 B． a b
C
． a b D． a b a b
10．小张于 2017 年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选
择了 10 年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021 年底贷
款购置了一辆小汽车，且截至 2022 年底，他没有再购买第二套房子．如
图是 2018 年和 2022 年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配
图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小张一家 2022 年的家庭收入比 2018 年增加了 1 倍
B．小张一家 2022 年用于娱乐的支出费用为 2018 年的 5 倍
C．小张一家 2022 年用于饮食的支出费用小于 2018 年
D．小张一家 2022 年用于车贷的支出费用小于 2018 年用于饮食的支出
费用
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
11． ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若 A B ，则 sin A sin B
B．若 A 30 ，b 4， a 3，则 ABC有两解
C．若 ABC为钝角三角形，则 a2 b2 c2
π
D．若 c2 (a b)2 6，C ，则 ABC的面积是 3
3
12．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M ， N分别为 AC， A1B的中点，
下列说法中正确的是（ ）
A．MN / /平面 ADD1A1 B．MN 平面 ACD1
C．MN与CC1所成角为60 D．MN AB
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分)
13．已知平面向量 a 1, 2 ，b 3,m ，若 a,b 共线，则m .
14．已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，m，49，50；乙：24，27，n，43，48，52．若
m
这两组数据的第 40 百分位数、第 50 百分位数分别相等，则
n
4
15．已知 ， 为锐角，且 cos ， cos( )
16
，则 cos 的值为 ．
5 65
16．如图，已知球 O 的面上四点 A，B，C，P，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC 2，
AP 3，则球 O 的表面积等于 ．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17.(本大题共 10分）
已知复数 z 3 bi b R ，且 1 3i z为纯虚数.
z
(1)求复数 z； (2)若 ，求复数 以及模 .
2 i
18.(本大题共 12分）
已知函数 f (x) 2 3 cos 2 x 2sin x cos x 3 .
x 0, π (1)当 时，求 f (x)
8 12
的取值范围； (2)若锐角 ， 满足 f ( ) ， cos( ) ，求 sin .
2 2 6 5 13
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
19.(本大题共 12分）
为保护水资源，节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.从该市随机抽取 100 户居民进行月用水量
调查，发现每户月用水量都在5m3至 35m3之间，其频率分布直方图如图所示.
(1)求 x的值.
(2)估计这 100 户居民月用水量的中位数.（结果精确到 0.1）
(3)该市每户的月用水量计费方法：每户月用水量不超过12m3
时按照 3 元 /m3计费；超过12m3但不超过 20m3的部分按照 5
元 /m3计费；超过 20m3的部分按照 8 元 /m3计费.把这 100 户
居民月用水量的平均数作为该市居民每月用水量的平均数，
估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额.（同一组中的数据
用该组区间的中点值作代表）参考数据：7.5 0.12 12.5 0.18 17.5 0.3 27.5 0.12 32.5 0.06 13.65 .
20.(本大题共 12分）
在锐角 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a，b， c，已知 a 2 3且 cosC (cosB 3sinB)cosA 0．
(1)求角 A 的大小； (2)若b 2 2，求 ABC的面积； (3)求b c的取值范围．
21.(本大题共 12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， PCD为等边三角形，平面 PAC 平面PCD，
PA CD，CD 2， AD 3，
（Ⅰ）设G，H分别为 PB，AC的中点，求证：GH 平面 PAD；
（Ⅱ）求证： PA 平面 PCD；
（Ⅲ）求直线 AD与平面 PAC所成角的正弦值.
22.(本大题共 12分）
1 1
在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,H 是 ABC内的一点，且 AH AB AC．
4 3
(1)若H是 ABC的垂心，证明：7c2 7b2 a2 ；
(2)若H是 ABC的外心，求 BAC．
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABBQIEggiAABBAAQhCAQEgCACQkBGACAoOAEAIMAAAgQFABCA=}#}
