21.2.1 配方法的应用同步练习 （含答案）

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专题3 配方法解一元二次方程配方法的应用
1、用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
2、已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．
3、若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
4、已知实数a、b、c，满足a2﹣a+b＝0，c＝4a2﹣4a+b2﹣，则实数c的取值范围是____．
5、用适当的方法解下列方程．
（1）； （2）.
6、阅读理解：已知，求m 、n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
方法应用：（1）已知，求a 、b 的值；
（2）已知 ．
①用含 y 的式子表示 x ： ；
②若，求 的值．
7、特值验证：
当，0，1，2，5，…时，计算代数式的值，分别得到5，2，1，2，17，…．当x的取值发生变化时，代数式的值却有一个确定的范围，通过多次验证可以发现它的值总大于或等于1，所以1就是它的最小值．
变式求证：我们可以用学过的知识，对进行恒等变形：．（注：这种变形方法可称为“配方”） ，．所以无论x取何值，代数式的值不小于1，即最小值为1．
迁移实证：（1）请你用“配方”的方法，确定的最小值为3；
（2）求的最大值．
8、阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：是的一种形式的配方；所以，，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
9、先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值．
（2）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数．
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c比a、b都大，求c的取值范围．
10、若a，b，c为的三边．
（1）化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|；
（2）若a，b，c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，的周长．
11、阅读下面的解答过程，求的最小值．
解：
∵即的最小值为0
∴的最小值为4．
仿照上面的解答过程，
（1）求的最小值
（2）求的最大值
答案版
1、用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
【解析】，
，
，
所以，
故选D.
2、已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．
【答案】（x﹣3）2＝11
【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，
移项得：x2﹣6x＝2，
配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．
故答案为：（x﹣3）2＝11．
3、若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】x 4x 5=x 4x+4 4 5
=(x 2) 9，
所以m=2，k= 9，
所以m+k=2 9= 7.
故答案为：-7
4、已知实数a、b、c，满足a2﹣a+b＝0，c＝4a2﹣4a+b2﹣，则实数c的取值范围是____．
【解析】∵a2﹣a+b＝0，
∴a2﹣a＝﹣b．
∴c＝4a2﹣4a+b2﹣＝4（a2﹣a）+b2﹣＝﹣2b+b2﹣＝（b﹣1）2﹣
∵（b﹣1）2≥0，
∴（b﹣1）2﹣≥﹣，即c≥﹣．
5、用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）.
【解析】（1），
，
，
，
，
所以；
（2）
二次项系数化为1得， ，
移项，得 ，
配方，得 ，
，
6、阅读理解：已知，求m 、n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
方法应用：（1）已知，求a 、b 的值；
（2）已知 ．
①用含 y 的式子表示 x ： ；
②若，求 的值．
【解析】（1）∵a2+b2-10a+4b+29=0，∴（a2-10a+25）+（b2+4b+4）=0，
∴（a-5）2+（b+2）2=0，
∴（a-5）2=0，（b+2）2=0，∴a=5，b=-2；
（2）①∵x+4y=4，
∴x=4-4y；
②∵xy-z2-6z=10，
∴y（4-4y）-z2-6z=10，
∴4y-4y2-z2-6z=10，
∴4y2-4y+z2+6z+10=0，
∴（2y-1）2+（z+3）2=0，
∴y＝，z=-3，∴x=2，
∴yx+z的值=()2 3=2．
7、特值验证：
当，0，1，2，5，…时，计算代数式的值，分别得到5，2，1，2，17，…．当x的取值发生变化时，代数式的值却有一个确定的范围，通过多次验证可以发现它的值总大于或等于1，所以1就是它的最小值．
变式求证：我们可以用学过的知识，对进行恒等变形：．（注：这种变形方法可称为“配方”） ，．所以无论x取何值，代数式的值不小于1，即最小值为1．
迁移实证：（1）请你用“配方”的方法，确定的最小值为3；
（2）求的最大值．
【解析】（1）证明：
，.所以得最小值为3.
（2）
， ，所以的最大值为．
8、阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：是的一种形式的配方；所以，，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
【解析】（1）的三种配方分别为：
；
；
（或；
（2）∵x2+y2-6x+10y+34=x2-6x+9+y2+10y+25=（x-3）2+（y+5）2=0，
∴x-3=0，y+5=0，
∴x=3，y=-5，
∴3x-2y=3×3-2×（-5）=19
（3）
∴，，
∴，，，
则
9、先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值．
（2）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数．
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c比a、b都大，求c的取值范围．
【解析】（1）已知等式整理得：（x+2）2+（y﹣4）2＝0，
可得x+2＝0，y﹣4＝0，
解得：x＝﹣2，y＝4，
则；
（2）∵（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴原式＝（x﹣1）2+（y+1）2+1≥1，
则不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数；
（3）已知等式整理得：（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
可得a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝5，b＝4，
∵
则c的范围是5＜c＜9．
10、若a，b，c为的三边．
（1）化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|；
（2）若a，b，c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，的周长．
【解析】（1）∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b＞0，
∴|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b+c﹣c+a+b﹣a﹣b＝a﹣b；
（2）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝1，b＝4，
∵a，b，c为△ABC的三边，∴4﹣1＜c＜4+1，∴3＜c＜5，
∵若a，b，c都是正整数，∴c＝4，∴△ABC的周长＝1+4+4＝9
11、阅读下面的解答过程，求的最小值．
解：
∵即的最小值为0
∴的最小值为4．
仿照上面的解答过程，
（1）求的最小值
（2）求的最大值
【解析】（1）
∵
∴
∴的最小值是3.
（2）
∵
∴
∴的最大值为5
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