21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习 （含答案）

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专题4 一元二次方程根与系数的关系以及韦达定理的应用
1、以3和-2为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2、若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
3、已知方程的两个实数根为，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
4、若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
6、已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是__________
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
7、关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．
8、设α、β是方程的两个实数根，则的值为_______
．
9、关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且x12﹣2x1+x2＝2x1x2，则m的值为_____．
10、设a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为_____．
11、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
12、关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
已知，求该一元二次方程的根．
13、已知 关于x的一元二次方程．
求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
14、已知一元二次方程有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．
（1）求的取值范围；
（2）当在的取值范围内取最小的偶数时，方程的两根是，，求．
15、已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
16、阅读材料I：教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值．
问题解决:
（1）已知为方程的两根，则 ， ，那么 .(请你完成以上的填空)
阅读材料II：已知，且．求的值．
解:由可知
又且，即
是方程的两根．
问题解决:
（2）已知且．求的值；
（3）若，则 .
17、关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案版
1、以3和-2为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，，
∴3和-2为根的一元二次方程（二次项系数为1）为．故选：C．
2、若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【解析】根据题意得x1+x2=3，x1x2=﹣2，
所以x1+x2﹣x1 x2=3﹣(﹣2)=5．故选：C．
3、已知方程的两个实数根为，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
【解析】∵方程的两个实数根为，
∴，，∴，故选：C．
4、若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故选：B．
5、定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【解析】根据题意可得，又因为a，b是方程的两根，所以，化简得，同理，，代入上式可得，故选A．
6、已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是__________
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解析】
设方程的另一根为t,
根据题意得3＋t＝2,
解得t＝﹣1.
即方程的另一根为﹣1.
7、关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．
【解析】∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴，∴m＝2，n＝﹣4，∴．
8、设α、β是方程的两个实数根，则的值为_______
【解析】∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
9、关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且x12﹣2x1+x2＝2x1x2，则m的值为_____．
【解析】由题意可知：x1+x2=3，x1x2=﹣m，﹣3x1=m，
∵，
∴﹣3x1+x1+x2=2x1x2，
∴m+3=﹣2m，
∴m=﹣1，
10、设a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为_____．
【解析】∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2018﹣（﹣1）+1＝﹣2016，
11、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，
∴，解上述不等式得：；
（2）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，
∴，，
将两边同时乘可得：，
将代入上式可得：．
∵，∴，
整理上式并将对应数值代入可得：，
求解上述关于的一元二次方程可得：，，
∵k，∴．
12、关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
已知，求该一元二次方程的根．
【解析】直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵、、分别为三边的长，∴为直角三角形．
∵，∴设，，，
∴原方程可变为：，解得：．
13、已知 关于x的一元二次方程．
求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
【解析】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3
所以，
∵∴即
∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根
∴根据韦达定理可知
∴，解得.
14、已知一元二次方程有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．
（1）求的取值范围；
（2）当在的取值范围内取最小的偶数时，方程的两根是，，求．
【解析】（1）由一元二次方程的定义得：，解得
此方程有两个不相等的实数根
方程的根的判别式，解得
又这两个根又不互为相反数
这两个根的和不等于0，即，解得
综上，的取值范围为且且；
（2）结合（1）的结论得：
则一元二次方程为
是方程的根
，即
又由根与系数的关系得：
则
．
15、已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【解析】(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，
∴m2＋5－2(m＋1)＝27，
解得m1＝6，m2＝－4，
又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，m≥2，
∴m的值为6;　
(2) 若7为腰长，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一根为7，
即72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，方程x2－22x＋105＝0，根为x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．
当m＝4时，方程为x2－10x＋21＝0，根为x1＝3，x2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17　
若7为底边，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两等根，
∴Δ＝0，解得m＝2，此时方程为x2－6x＋9＝0，根为x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，
综上所述，三角形周长为17
16、阅读材料I：教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值．
问题解决:
（1）已知为方程的两根，则 ， ，那么 .(请你完成以上的填空)
阅读材料II：已知，且．求的值．
解:由可知
又且，即
是方程的两根．
问题解决:
（2）已知且．求的值；
（3）若，则 .
【解析】（1）由题意，得-3，-1，；
（2）由，得
又，且，即
∴是方程的两根
∴
∴；
（3）由，得
又
∴是方程的两根
∴
∴
17、关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【解析】（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，解得：x＝2k﹣4，
∵关于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数，∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，
∵由一元二次方程②，可知k≠1，∴k≤2且k≠1；
（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，
∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，
∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，
因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣=，x2＝﹣1，
∵方程②的解为负整数，m为整数，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3；
（3）|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知：k≤2且k≠1，又∵k是正整数，∴k＝2，
∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝ ＝﹣2m，x1x2＝ ＝1+n，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5 ①，
△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，
把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2．
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