内江名校高 2025 届高二上学期入学考试数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项是符合题目要求的.
1 z i．若复数 ，则 z的实部为 ( )
1 i
A 1 1． B． C．1 D． 1
2 2
→ → → →
2.已知向量| |= 3，| |＝2，它们的夹角为 ，则| + |＝（ ）
6
A．10 B． 10 C． 13 D．13
3.如图，用斜二测画法得到 ABC 的直观图为等腰直角三角形 A B C ，其中 A B 2 ，则 ABC的面积为 ( )
A．1 B． 2 2 C．2 D． 2
4样本数据 x1，x2，…，xn的平均数 = 4，方差 S2＝1，则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数，方差分别
为（ ）
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
5．在 ABC中，若 a cosB c，则 ABC 的形状是 ( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．已知 a ( 2, 1),b ( ,1) 1，则 a 是“ 与 b的夹角为钝角”的 ( )条件
2
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．若点 P(cos ,sin ) 在直线 y 2x上，则 sin2 cos(2 ) ( )
2
A 0 B 2 6 8． ． C． D．
5 5 5
8．已知 f (x) a sin 2x bcos2x ，其中 a，b R，ab 0，若 f (x) | f ( ) |对 x R恒成立，且 f ( ) 0，则 f (x)的
6 2
单调递增区间是 ( )
A．[k ， k ](k Z ) B．[k ， k 2 ](k Z )
3 6 6 3
C． [k ， k ](k Z ) D． [k ， k ](k Z )
2 2
第 1页（共 4页）
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二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全对得 5 分，漏选得 2 分，错选得 0 分.
9．同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件 A，“出现两个反面”为事件 B，则 ( )
A． A B为必然事件 B． AB为不可能事件 C． A与 B为互斥事件 D． A与 B为独立事件
10．若复数 z 2 i，则下列说法正确的是 ( )
A． z 2为纯虚数
B．方程 x2 4x 5 0的两个复数根分别为 z， z
C． z在复平面内对应的点位于第二象限
D． z在复平面内对应的点在以原点为圆心， 5 为半径的圆上
11．已知函数 f (x) 2sin2 x sin 2x 1，则 ( )
A． f (x) 的图象可由 y 2 sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到
8
B． f (x)在 (0, )上单调递增
8
C． f (x)在[0， ]内有 2个零点
D ． f (x)在 [ ,0]上的最大值为 2
2
12．在 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 sin A : sin B : sin c 3 : 4 : 5，下列结论错误的是 ( )
A． sin A cosB
B．若 b 4，则 ABC 内切圆的半径为 2
C．若 b 4，则 AB BC 9
D．若 P为 ABC 内一点满足 PA 2PB PC 0，则 APC 与 BPC的面积相等
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知 sin 1 sin ，则 ．
2 3 2
14．《中国居民膳食指南 (2022)》数据显示，6岁至 17岁儿童青少年超重肥胖率高
达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取 100名
学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按[40， 45)，[45，50)，
[50， 55)， [55， 60)， [60， 65)， [65， 70]分成六组，得到的频率分布直方图
如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的 50%分位数是 ．
15．在 ABC A B C 2 中，角 ， ， 的对边分别为 a，b，c， A ，a 4，D为 BC的中点， AD 2 ，则 ABC
3
的周长为 ．
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16.一个球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，
球缺的体积公式为V (3R h)h2，其中 R为球的半径，h为球缺的高，则棱长为 2的正四面体的一个侧面截其外
3
接球所得的球缺（不大于半球的部分）的体积为 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.
17 ．已知 a (3, 1)， b ( 1,2)．
（1）确定实数 k的值，使 a kb与 2a b 垂直；
2
（ ）求与 2a b 同向的单位向量．
18.如图， AC 1为圆锥 SO底面圆O的直径，点 B是圆O上异于 A，C的动点，等腰直角三角形 SOC 的面积为 ．
2
（1）求圆锥 SO的表面积；
︵
（2）若点 B是AB 的一个三等分点，求三棱锥 A SBC的体积．
19. 已知向量 a ( 3 sin x,cos x),b 1 (cos x,cos x)，函数 f (x) a b ．
2
（1）求 f (x)的单调递增区间；
（2）若 f ( ) 3 , ( ,0)，求 sin ．
2 5 2
第 3页（共 4页）
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20．甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比两局，每局比赛甲赢的概率为 0.6，两人平局的概率为 0.1，设每局的胜方
得 3分，负方得 1分，若该局为平局，则两人各得 2分．
（1）求甲、乙各赢一局的概率；
（2）求两局结束后甲的最后得分不大于 2的概率．
21．等边三角形 ABC ，边长为 2， D为 BC的中点，动点 E在边 AC上， E关于 D的对称点为 F ．
（1）若 E为 AC的中点，求 AD BE．
（2）求 AE AF 的取值范围．
22．记 ABC cos A sin B的内角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，已知 ．
1 sin A 1 cosB
（1）求角C；
2 ab bc ca（ ）求 2 的取值范围．c
第 4页（共 4页）
{#{QQABQQqAggAoABJAAQgCEQUQCgKQkAGACAoOhFAMoAAAwAFABCA=}#}内江市名校高2025届高二上学期入学考试数学试卷 参考答案
一、单项选择题
1.．2.．3.．4．A．5．A．6．．
7．．解析：点在直线上，，即，
则，
8．．解析：根据题意，可得（其中．
对一切恒成立，当时，函数有最大值或最小值．
因此，，解得，，
，从而取得到．由此可得，
令得，
的单调递增区间是，．
二、多项选择题
9．．10．
11.．解析：函数，
对于，的图象向右平移个单位长度得到，故错误；
对于，时，，，所以在上单调递增，故正确；
对于，令，可得，又，，则或，故正确；
对于，时，，，，，
所以在上的值域为，，故在上的最大值为1，故错误．
解析：对于，因为根据正弦定理得，，所以，
则，所以正确；对于，当时，，，由选项可知为直角三角形，设 内切圆半径为，则，所以，解得，所以内切圆半径为1，所以错误；对于，当时，，，可知为直角三角形，，所以错误；对于，即（如图，为中点），
由此可得为中点，，由此知与
的面积不相等，所以错误；故选：．
填空题
13．． 14．53.75．
15． 解析：在中，由余弦定理有：，即，①
为的中点，，，，②
由①②解得：，，，，
的周长为．故答案为：．
解析：设点为正四面体外接球的球心，则为正三角形的重心，
连接、，由，则，，设正四面体外接球的半径为，
则在中，，解得，则该正四面体的一个侧面
截其外接球所得的球缺的高，则棱长为2的
正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺（不大于半球的部分）的体积为.
四、解答题
17．（1）；（2）
解：（1），，，，，
，，，，与垂直，，解得；
（2），，，，
与同向的单位向量为，，．
18.（1）；（2）．
解：（1）等腰直角三角形中，，又因为其面积为，所以，
即圆锥底面半径，圆锥母线长为：，
所以圆锥的表面积为：．
（2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点靠近点，可得，．由此可得的面积，
所以．
19.（1）;（2）
解:（1），，
解，得，
的单调递增区间为；
（2），，，，
．
20．（1）0.36；（2）0.51．
解：（1）每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，每局比赛乙赢的概率为0.3，
甲、乙各赢一局的概率为；
（2）设两局结束后甲的最后得分为，则，，，两局结束后甲的最后得分不大于2的概率为．
(法二：可用例举法)
21．(1) ;(2)
解：（1）为中点，，又为中点，
，
；
（2）根据题意可得为，又关于的对称点为，，
，
又动点在上，当时，取最小值，
当与重合时，取最大值，
，的取值范围为．
故的取值范围为．
22．(1);（2）
解：（1）因为，所以，
，因为，，所以，
所以，
上式整理得，即，所以，
所以．
因为，所以，
因为，,所以，即，解得．
（2）因为
，
所以令，
因为，所以,所以，则．
则，所以，
令，因为的对称轴为，且开口向上，所以在区间上单调递增，
所以的取值范围为，所以的取值范围为．
