高二（上）期入学考试题（创新班参考答案）
1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 【详解】设，则，故，由于线段的中点坐标为，故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直线的斜率为.故选：C 6．【答案】B 7．【答案】A 【详解】连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以，易知四边形为等腰梯形，所以，所以，因为上下底面面积分别为：，所以四棱台的体积为.故选：A
8．【答案】C 【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
9．【答案】BD 【详解】若，，则或，故A错误；设，，因为，所以，又，，所以，又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，所以，故B正确；若，，则不一定成立，故C错误；若，，，，，两两垂直，则，，必相交于同一点，假设与不垂直，则存在直线，使得，，所以直线与可确定平面，且，这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，所以假设不成立，即，同理可证，，即，，两两垂直，故D正确.故选：BD
10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：由，则在方向上的投影向量是，正确；D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.故选：BCD
12．【答案】BCD【详解】对A，由题意，圆的半径为，且点到直线的距离为，所以，故A错误；对B，由直线的方程，可得直线过定点，则圆心到直线距离的最大值为圆心到点的距离，即最大值为，故B正确；对C，为的值，因为圆的半径为，可得，又，所以，所以的最小值为，故C正确；对D，，则，因为，所以，所以，所以的值为，故D正确.故选：BCD
填空题（满分20分，每小题5分）
13．【答案】或
14．【答案】【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.
15．【答案】【详解】设，由得，所以，所以，解得，所以直线或，
圆心到直线的距离，（圆心到直线的距离）
由圆的弦长公式：，可得.故答案为：
16．【答案】
【详解】因为，，，所以，在直三棱柱中，，易得四边形为正方形，又，因此平面的中心即为直三棱柱的外接球的球心，取中点，连结，易知，且，所以球的半径等于，因此球的表面积为.故答案为：.
四、解答题（满分70分）
17．（本小题满分10分）【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在正方体中，且，且
所以且，则.为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面. ...................................................................................................5分
（2）记点到平面的距离为的面积为S，则由题意可知.
在中，由余弦定理得，则，所以，则，又，所以，
即点到平面的距离为.......................................................................................................................10分
18．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)和.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，.................................................................................3分
由解得圆心，半径
故圆的方程为；.............................................................................................................6分
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；.................................................................................................................9分
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切......................................11分
所以直线的方程为和．.............................................................................................12分
（本小题满分12分）【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在中，，，，则，
所以，则，所以，......................................................................................2分
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，...........................................................................................................................................4分
又平面，所以平面平面；.............................................................................................6分
作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则即为与平面所成角的平面角，所以，
又，所以为等边三角形，故，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，.....................8分
则，因为平面，
所以即为平面的一条法向量，.............................................................................................9分
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，........................................................................................................................10分
则，即锐二面角的余弦值.............................................12分
20．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)
【详解】（1）设直线为，代入整理得，设，
所以，，所以，
由即，得，
∴，∴所求抛物线的方程为....................................................................................................5分
（2）由（1）得..............................................................................................................7分
，点到直线的距离为，.........................................9分
则，当时，等号成立，..............................11分
故当时，三角形面积有最小值..................................................................................................12分
21．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题设，，，
双曲线的方程为，故渐近线方程为．...........................................................................4分
（2）当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，
所以，当时有；当时有，此时，..............................................................6分
当l的斜率k存在时，设，，l为，将直线l代入双曲线方程得，所以，， .......................................................8分
因为，
所以，即，
综上，为定值，得证．..................................................................................................................................12分
22．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)是，过定点.
【详解】（1）由题意可知，面积的最大时M位于椭圆上或下顶点，即，...........................................................2分
又因为，
联立解方程，可得，所以，
故椭圆标准方程为..............................................................................4分
（2）如图所示，由题意可设，
所以，即①，...........................6分
将直线方程与椭圆方程联立化简，.................8分
代入①，得或，.......................................................................................10分
当时，，直线l 过N点，不符合题意；
当时，，直线l 过点，符合题意.
故直线l 过定点..........................................................................................................................................12分内江名校高二（上）期入学考试数学试题（创新班）
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题（满分 40 分，每小题 5 分）
1．已知直线 l1 : x +2y 1 =0， l2 : 3x y 0的倾斜角分别为 1， 2，则（ ）
π π π π
A． 1 2 B． 2 1 C． 1 2 D． 2 2 2 2 2 1
2．已知向量 a 2,1,3 ，b 1,1,x ，若 a与b 垂直，则 a 2b （ ）.
A． 2 B．5 2 C． 2 13 D． 26
3．在平面直角坐标系 xOy中，已知 P1 0,2 、P2 4,4 两点，若圆M 以 P1P2 为直径，则圆M 的标准方程为（ ）
A x 2 2 y 2． 3 5 B． x 2 2 y 3 2 5
C． x 1 2 y 4 2 5 D． x 1 2 y 4 2 5
4．若一个圆锥的轴截面是一个底边长是 2，腰长为 π的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
π
A． 2π B． C．2 D．4
2
5．已知抛物线G : y2 4x，直线 l交该抛物线于 A,B两点．若线段 AB的中点坐标为 3,2 ，则直线 l斜率为（ ）
1 1A． 2 B． C．1 D． 24
2
6 x．设椭圆C : y2 1的左、右焦点分别为F1， F2， P是C上的动点，则下列四个结论正确的个数（ ）2
① PF1 PF2 2 2
3
； ②离心率 e ；
2
③△PF1F2面积的最大值为 2；④以线段 F1F2 为直径的圆与直线 x y 2 0相切．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．正四棱台的上、下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 3，则该四棱台的体积为（ ）
28 7 56A． B． 28 7 C． D．56
3 3
2 2
8．已知双曲线C : x y 1 a 0,b 0 的左，右焦点分别为F1， F2，O为坐标原点，过F2 2 1作C的一条a b
浙近线的垂线，垂足为D，且 DF2 2 2 OD ，则C的离心率为（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．3
二、多选题（满分 20 分，每小题 5 分，选对但不全得 2分，有错得 0 分，全对得 5 分）
9．已知三条不同的直线 l，m，n和三个不同的平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 l ，m l，则m / /
B．若m，n为异面直线，且 n ，m ，m / / ，n// ，则 //
C．若m l， m，则 l
D．若 l， m， n， ， ， 两两垂直，则 l，m， n也两两垂直
2 2
10 x y．已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭圆 E于 A,B两点．若 AB的中a b
点坐标为 (1, 1)，则（ ）
1 2 2
A x y．直线 AB的方程为 y (x 3) B．a2 2b2 C 2．椭圆的标准方程为 1 D．椭圆的离心率为
2 9 3 2
11．已知空间中三个向量 AB 2,1,0 ， AC 1,2,1 ， BC 3,1,1 ，则下列说法正确的是（ ）
2 5 5
A． AB与 AC是共线向量 B．与 AB同向的单位向量是 , ,0
5 5
C． BC在 AB方向上的投影向量是 2, 1,0 D．平面 ABC的一个法向量是 1, 2,5
试卷第 1页，共 4页
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12．已知 A x1, y1 ,B x2 , y2 是圆O : x2 y2 3上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点O到直线 AB的距离为 2，则 AB 1
B．若直线 AB的方程为 kx y 1 k 0，则圆心到直线 AB距离的最大值为 2
C． x1x2 y1y2的最小值为 3
D π．若 AOB 2 ，则 x
2 2
1 x2 y1 y2 的值为6
三、填空题（满分 20 分，每小题 5 分）
13．过点 3, 2 且在 x轴、 y轴上截距相等的直线方程为 .
14．已知直线 l : kx y 2k 4 0与曲线 y 4 x 2 有两个交点，则 k的取值范围为 ．
15 2 2 2．已知抛物线C1 : y 4x，圆C2 : (x 2) y 2，直线 l : y k(x 1)与C1交于 A，B两点，与C2交于 M，
N两点，若 AB 8，则 MN ．
16．已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6个顶点都在球O的球面上，若 AB 3，AC 4，AB AC，AA1 5则
球O的表面积为
四、解答题（满分 70 分）
17．（本小题满分 10 分）如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M 为线段 AA1的中点.
(1)证明： A1B / /平面MCD1；
(2)求点D到平面MCD1的距离.
18．（本小题满分 12 分）已知圆C经过点 A(1,2)和 B(5, 2)，且圆C关于直线 2x y 0 对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D( 3,1)作直线 l与圆C相切，求直线 l的方程．
试卷第 2页，共 4页
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19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中， ABCD为平行四边形， PA PB，平面 PAB 平
面 ABCD， AD 2， AB 3， BAD 30 .
(1)求证：平面 PBD 平面 PAB；
(2)若 AP与平面 ABCD所成角为60 ，E为PC的中点，求锐二面角 B AD E的余弦值.
20．（本小题满分 12 2分）已知抛物线 E： y 2 px p 0 ，过点P 3,0 的直线 l交抛物线 E于A， B，且
OA OB 3（O为坐标原点）．
(1)求抛物线 E的方程；
(2)求三角形 AOB面积的最小值．
试卷第 3页，共 4页
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21 x
2 y2
．（本小题满分 12 分）已知双曲线 : 1（a 0，b 0）的左、右顶点分别为 A1 1,0 、A2 1,0 a2 b2
，
离心率为 2，过点F 2,0 斜率不为 0的直线 l与 交于 P、Q两点．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
k
(2) 1记直线 A1P、 A2Q的斜率分别为 k1、 k2，求证： k 为定值．2
x2 y222 3．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率 e ，Ma b 2
为椭圆上一动点，△MF1F2 面积的最大值为 3．
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)设点 N为椭圆 E与 y轴负半轴的交点，不过点 N且不垂直于坐标轴的直线 l交椭圆 E于 S，T两点，直
线 NS，NT分别与 x轴交于 C，D两点，若 C，D的横坐标之积是 2．问：直线 l是否过定点？如果是，求
出定点坐标，如果不是，请说明理由．
试卷第 4页，共 4页
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