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2023-2024学年人教版数学七年级上册同步系列
1.2有理数同步专练
【基础巩固】
一、单选题
1．已知，则下列结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算结果为2的是（ ）
A． B． C． D．
3．若有理数，在数轴上的对应点如图，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列判断正确的是（ ）
A．任何有理数的绝对值都是正数 B．在有理数中，零是绝对值最小的数
C．一个数的相反数，一定是负数 D．若，则
5．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是（ ）
A．6， B．0，6 C．0， D．3，
6．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各数中，8的相反数是（ ）
A．8 B． C． D．
8．如果|m+n|＝|m|+|n|，则（ ）
A．m、n同号
B．m、n异号
C．m、n为任意有理数
D．m、n同号或m、n中至少一个为零
9．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
11．数轴上与的距离等于3个单位长度的点所表示的数为______．
12．比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
13．计算：_________________．
14．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”）
15．如果，那么______；如果 ，那么_______．
16．若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______．
17．若的相反数是2，那么的值是___________．
18．若，那么_____．
三、解答题
19．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，．
(1)正数集合：．
(2)整数集合：．
(3)分数集合：．
20．把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”把这些数连接起来．
21．在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数．
(1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值
(2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值
【能力提升】
22．如图，已知数轴上两点、表示的有理数分别为、．
(1)________0，________0．（填“”或“”）
(2)化简：．
23．若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）
24．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是___________，若，那么x为___________；
(3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．（请写出必要的求解过程）
25．阅读理解
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段．
问题
(1)数轴上点代表的数分别为和，则线段＝ ；
(2)数轴上点代表的数分别为和，则线段 ；
(3)数轴上的两个点之间的距离为，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为，求的值．
26．根据下面给出的数轴，解答下面的问题；
(1)请你根据图中 A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________
(2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：___________；
(3)若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 ___________表示的点重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为16（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后相互重合，则M、N两点表示的数分别是：___________．
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1.2有理数同步专练
【基础巩固】
一、单选题
1．已知，则下列结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得到，再根据绝对值性质求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B；
【点睛】本题考查去绝对值符号及等式的性质，解题的关键是根据等式得到．
2．下列计算结果为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】进行多重符号化简和去绝对值计算，进行判断即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查多重符号化简，求一个数的绝对值．熟练掌握多重符号化简时，负号的个数为奇数个，结果为负，负号的个数为偶数个，结果为正，是解题的关键．
3．若有理数，在数轴上的对应点如图，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得出，，再逐个进行判断即可．
【详解】解：从数轴可知：，，
，，，，
即只有选项A结论错误，符合题意，选项B、C、D结论都正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是比较容易出错．
4．下列判断正确的是（ ）
A．任何有理数的绝对值都是正数 B．在有理数中，零是绝对值最小的数
C．一个数的相反数，一定是负数 D．若，则
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义、相反数的概念，求解即可．
【详解】解：A、0的绝对值不是正数，故该选项错误，不符合题意；
B、在有理数中，零是绝对值最小的数，
∵绝对值都是的，故该选项正确，符合题意；
C、负数的相反数是正数，故该选项错误，不符合题意；
D、例：，但，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、相反数的概念，熟记概念是解题关键．
5．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是（ ）
A．6， B．0，6 C．0， D．3，
【答案】D
【分析】根据绝对值的几何意义得到绝对值相等的两个数到原点的距离相等，由于绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，得到这两个数到原点的距离都等于3，于是这两个数分别为3和．
【详解】解：∵绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，
∴这两个数到原点的距离都等于3，
∴这两个数分别为3和-3．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值和数轴的定义，理解若，则；若，则；若，则是解答此题的关键．
6．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
7．下列各数中，8的相反数是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数判定即可．
【详解】∵8的相反数是，
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握定义是解题的关键．
8．如果|m+n|＝|m|+|n|，则（ ）
A．m、n同号
B．m、n异号
C．m、n为任意有理数
D．m、n同号或m、n中至少一个为零
【答案】D
【分析】分三种类型分别分析即可：m、n同号；m、n异号；m、n中至少一个为零．
【详解】解：当m、n同号时，有两种情况：
①m＞0，n＞0，此时|m+n|＝m+n，|m|+|n|＝m+n，故|m+n|＝|m|+|n|成立；
②m＜0，n＜0，此时|m+n|＝﹣m﹣n，|m|+|n|＝﹣m﹣n，故|m+n|＝|m|+|n|成立；
∴当m、n同号时，|m+n|＝|m|+|n|成立；
当m、n异号时，则：|m+n|＜|m|+|n|，故|m+n|＝|m|+|n|不成立；
当m、n中至少一个为零时，|m+n|＝|m|+|n|成立，
综上，如果|m+n|＝|m|+|n|，则m、n同号或m、n中至少一个为零，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键．
9．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b、、的正负，然后再比较出a、b、、的大小，最后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项C符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．
10．，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．
二、填空题
11．数轴上与的距离等于3个单位长度的点所表示的数为______．
【答案】或2/2或
【分析】分为两种情况：当所求的点在表示的点的左边或右边时，分别列出算式求出即可．
【详解】解：当所求点在表示的点的左边时，此时所求的数为：；
当所求点在表示的点的右边时，此时所求的数为：；
故答案为∶或2．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确理解题意、分情况求解是关键．
12．比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】分别将两个数化简后，利用有理数比较大小的法则进行比较．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数大小的比较，相反数的意义，绝对值的意义．将要比较的两数进行化简是解题的关键．
13．计算：_________________．
【答案】/0.4
【分析】根据绝对值的定义即可进行解答．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
14．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键．
15．如果，那么______；如果 ，那么_______．
【答案】 3
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：，
；
，
，
，
故答案为：，3．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离．
16．若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______．
【答案】1
【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴，
∵c是最小的非负数，
∴，
∵d是最小的正整数，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
17．若的相反数是2，那么的值是___________．
【答案】1
【分析】的相反数是2，可得，可求出的值．
【详解】解：由题意可知：
解得
故答案是：1．
【点睛】本题考查了相反数的定义，先求相反数，再求未知数的值即可求解．
18．若，那么_____．
【答案】7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
三、解答题
19．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，．
(1)正数集合：．
(2)整数集合：．
(3)分数集合：．
【答案】(1)，，
(2)，，
(3)，，
【分析】（1）根据大于零的数叫做正数即可解答；
（2）根据正整数、零和负整数统称整数即可解答；
（3）根据正分数和负分数统称分数即可解答；
【详解】（1）解：∵大于零的数叫做正数，
∴正数集合：，，；
（2）解：∵正整数、零和负整数统称整数，
∴整数集合：，，；
（3）解：∵正分数和负分数统称分数，
∴分数集合：，，；
【点睛】本题考查了正数的概念、整数的概念、分数的概念，理解对应概念是解题的关键．
20．把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”把这些数连接起来．
【答案】作图见详解，
【分析】根据有理数与数轴的关系，将各数表示在数轴上，再根据数轴的特点即可求解．
【详解】解：将各数表示在数轴上，如图所示，
∴．
【点睛】本题主要考查数轴，理解并掌握有理数在数轴上表示，数轴上有理数大小的关系是解题的关键．
21．在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数．
(1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值
(2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值
【答案】(1)、；
(2)，
【分析】（1）由相反数的定义及两点间的距离公式可得a、b的值；
（2）求出、的长即可求出a、b的值．
【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3，
∴、；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了数轴和相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【能力提升】
22．如图，已知数轴上两点、表示的有理数分别为、．
(1)________0，________0．（填“”或“”）
(2)化简：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）结合数轴可得，根据异号两数相加取绝对值较大的数的符号、不等式的性质1即可判断；
（2）结合（1）去绝对值符号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，
故答案为：；
（2）由（1）可知，
．
【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负以及化简绝对值；结合数轴得到相关数据的大小是解题的关键．
23．若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）
【答案】
【分析】先根据题意在数轴上标出a，，b，的位置，再比较即可．
【详解】解：∵，，，
在数轴上表示如图：
∴．
【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，能知道a，，b，在数轴上的位置是解此题的关键．
24．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是___________，若，那么x为___________；
(3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．（请写出必要的求解过程）
【答案】(1)3，4；
(2)∣x+2∣，0或；
(3)见解析，6．
【分析】（1）依据数轴上A、B两点之间的距离代入计算即可；
（2）依据数轴上A、B两点之间的距离代入计算即可；
（3）依据数轴上A、B两点之间的距离得表示a和之间的距离，表示a和2之间的距离，由a在和2之间的点，可知表示和2之间的距离即可求解．
【详解】（1）解：依题意可知：
2和5的两点之间的距离是：，
1和的两点之间的距离是：，
故答案为：3，4；
（2）依题意可知：
A和B之间的距离是：，
当时，
或，
解得：或，
故答案为：，0或；
（3）表示a和之间的距离，
表示a和2之间的距离，
因为a在和2之间的点，
表示和2之间的距离，
．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离；理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．
25．阅读理解
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段．
问题
(1)数轴上点代表的数分别为和，则线段＝ ；
(2)数轴上点代表的数分别为和，则线段 ；
(3)数轴上的两个点之间的距离为，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)值为或
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离解答；
（2）根据数轴上两点间的距离解答；
（3）根据题意、结合数轴、方程解答．
【详解】（1）解：∵点代表的数分别为和，
∴线段；
故答案为：；
（2）∵点代表的数分别为和，
∴线段；
故答案为：；
（3）由题可得，，
解得 或，
∴值为或．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、解绝对值方程等知识，涉及数形结合方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26．根据下面给出的数轴，解答下面的问题；
(1)请你根据图中 A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________
(2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：___________；
(3)若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 ___________表示的点重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为16（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后相互重合，则M、N两点表示的数分别是：___________．
【答案】(1)1；；
(2)或5；
(3)；
(4)，7．
【分析】（1）观察数轴，直接得出结论；
（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣3表示的点相距4个单位，其中点为，即可得到与B点重合的点；
（4）根据（3）可知，中点为，M点在中点，距离中点个单位，N点在中点的左侧，距离中点个单位，即可得到M、N两点表示的数．
【详解】（1）解：观察数轴可知，A、B两点所表示的有理数是1和，
故答案为：1；；
（2）解：观察数轴可知，A两点所表示的有理数是1，
当与点A的距离为4的点在A点左侧时，此点表示的数是，
当与点A的距离为4的点在A点右侧时，此点表示的数是，
综上可知，与点A的距离为4的点表示的数是：或5．
故答案为：或5；
（3）解：将数轴折叠，A点与﹣3重合，则中点是，
则数B关于的对称点是：，
故答案为：；
（4）解：M、N两点经过（3）中折叠后相互重合知：M与N的中点为﹣1，
M、N的距离为16，
M到中点的距离为8，N到中点的距离为8，
M 在N的左边，
M：，N：，
故答案为：，7．
【点睛】本题考查了数轴的运用，关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
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