21.3 实际问题与一元二次方程 动态几何问题同步练习（含答案）

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专题5 一元二次方程实际问题的应用-动态几何问题
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
2、如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　)
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
3、如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为　　
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
4、如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3
5、如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于 _________
6、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm．
7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边BC上，从点C向点B移动，若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是_____．
8、在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为 时，△PQB为直角三角形．
9、如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
10、△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，点p从点A开始延边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒，PQ的长为 cm？
（3）经过几秒，的面积等于
11、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ．
12、（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发　 　时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？
答案版
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【解析】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．故当动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选B．
2、如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　)
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
【解析】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知(10－2x)(8－x)＝24,
(10－2x)(8－x)＝48,选D.
3、如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为　　
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【解析】由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴ PC CQ=300，∴ （50﹣2t） 3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．故选C．
【小结】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
4、如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3
【解析】∵△ABC中，AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，∴BD=12厘米，
情况一：若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12厘米，BP=CP=BC=×16=8（厘米）
∵点Q的运动速度为2厘米/秒，∴点Q的运动时间为：8÷2=4（s），∴v=CQ÷4= 12÷4=3（厘米/秒）；
情况二：
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
得出，解得：解出即可．
因此v的值为：2厘米/秒或3厘米/秒，
故选：D．
5、如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于 _________
【解析】
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
6、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【解析】
设当P、Q两点从出发开始到t秒时，点P和点Q的距离是10cm，
如图，作PE⊥CD于E，
则PE=AD=8cm，
∵DE=AP=3t，CQ=2t，
∴EQ=CD－DE－CQ=，
由勾股定理得：(16－5t)2+62=102，
解得t1=2，t2=.
7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边BC上，从点C向点B移动，若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是_____．
【解析】∵AP=CQ=t，∴CP=6-t，
∴PQ==
∵0≤t≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2.
8、在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为 时，△PQB为直角三角形．
【解析】由题易知，B(6,2)，P(t,t)，Q(2t,0)
则BP2=(6-t)2+(2-t)2;BQ2=(6-2t)2+4;PQ2=2t2;
当△PQB为直角三角形时，
①BP2=BQ2+ PQ2时, (6-t)2+(2-t)2=(6-2t)2+4+2t2
解得t=2；t=0(舍去)
②BP2+BQ2= PQ2时, (6-t)2+(2-t)2+(6-2t)2+4=2t2
解得：
②BP2+PQ2=BQ2时, (6-t)2+(2-t)2+2t2= (6-2t)2+4
解得：t=0(舍去)
综上，t=;t=2
考点：1 两点之间的距离；2 一元二次方程的解法；3 直角三角形
9、如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．
在RtPQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．
如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．
在RtAPD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝，，，．
10、△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，点p从点A开始延边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒，PQ的长为 cm？
（3）经过几秒，的面积等于
【解析】（1）2t，9 – t.
（2）由题意得：（9-t）2+（2t）2=72，
解得：t1=，t2=3；
（3）S△PBQ =×BP×BQ =×(9-t)×2t=8，
解得：t1=8，t2=1.
∵0≤t≤6,
∴t=1 .
11、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ．
【解析】（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
设AQ=t，BP=2t，则DQ=16 t，PC=21 2t，
过点P作PE⊥AD于E，则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S=DQ AB=(16 t)×12= 6t+96
（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，∴21 2t=16 t解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ时，QE=ED=QD，
∵DE=16 2t，∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16 2t，解得：t=，∴当t=时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2
∴t2+122=(16 t)2解得：t=，∴当t=时，DQ=PQ
12、（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发　 　时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？
【解析】（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，
解得t1=，t2=，
∴t＝或.
（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=,
∴当t＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
当t＝4 s时，由运动知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4
∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得PQ=,
P，Q两点的距离为2cm.
（3）点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s，
当点P在AO上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝4．
当点P在OC上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝6或﹣（舍弃）．
当点P在CB上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s或6 s时，△POQ的面积为12 cm2．
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