人教版数学八年级上册第14章整式的乘除与因式分解教案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册第14章整式的乘除与因式分解教案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 921.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-21 18:06:20 | ||
图片预览
文档简介
第十四章 整式的乘法与因式分解
单元教学设计
◎课标要求
1. 了解幂的意义，并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方积同底数幂的除法的运算，能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题。
2. 了解零指数幂的意义；探索整式乘除法的法则，会进行简单的整式乘除法运算。
3. 要求学生说出平方差公式和完全平方公式的特点，能正确地利用平方差公式和完全平方公式进行多项式的乘法。
4. 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的思想，学会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
5. 让学生主动参与到一些探索过程中来，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。
6. 通过本章中一些生活实例的学习，体会数学与生活之间的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，提高数学学习的兴趣。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章是整式的加减的后续学习。首先，从幂的运算开始入手，逐步展开整式的乘除法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式。最后，从整式乘法的逆过程出发，引入因式分解的相关知识。
本章主要有如下特点：
1. 注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟的过程中构建体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移。
2. 知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征。
3. 让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担。
4. 注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯。
5. 教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间，教师应根据各地学生的实际情况，充分发挥自己的教学主动性和积极性，创造性地践行教学。
【教法建议】
在本章的教学中，教师要创造性地使用教材，充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用，通过创设一定的问题情境，帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中，主动地去获取知识。在本章的教学中，教师不要人为地增加学生的记忆负担，提高对学生的要求，也不人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容，根据学生的具体情况，可以在某些具体问题上，，让一部分学有余力的学生得到更好的发展，体现教材的弹性。
◎学情学法
【学情分析】
学生在此前学习了有理数的运算和乘方的意义，在此基础上学习幂的各种运算，可以提高学生对运算的理解能力和应用能力。此阶段学生已经具备了一定的运算技能，只是对知识间的联系认识还比较肤浅，缺少对零散知识点进行串联，使之条理化、系统化，形成新的认知结构。
【学情建议】
幂的运算是整式乘除的基础，要注意掌握这些幂的运算特点，注意它们之间的联系和区别。在进行整式乘除法计算的过程中，易出现符号问题，特别是多项式，要注意多项式的每一项都包括它前面的符号。对于乘法公式和因式分解，要逐步感受它们之间的关系，注意掌握公式的特点，以便能准确地运用公式。在公式和法则的学习过程中，防止死记硬背，要重视知识的形成过程，重视法则的理解和应用。
◎课时安排
14.1整式的乘法 9课时
14.2乘法公式 3课时
14.3因式分解 3课时
总计 15课时
第14章 整式乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.1 同底数幂的乘法
教学设计
课题 14．1.1 同底数幂的乘法 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握同底数幂的乘法的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．2．会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”，使学生初步理解特殊到一般、一般到特殊的认知规律．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4．通过对公式的应用，进一步发展学生观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力.5．体会科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则.
教学难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
在2010年全球超级计算机排行榜中，中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一，其实测运算速度可以达到每秒2 570万亿次．
它工作103 s可进行运算的次数为1015×103，怎样计算1015×103呢？
二、探究新知
探究点 同底数幂的乘法
根据乘方的意义可知1015×103＝(10×…×10)×(10×10×10)
＝
＝1018.
学生试练习：(1)25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)＝2(7 )；
(2)a3·a2＝（a﹒a﹒a）﹒（a﹒a）＝a( 5 )．
(3)5m×5n＝=(5×5……×5)×(5×5……×5)＝5( m+n )（m，n数正整数）;
m个 n个
猜一猜：am·an＝a( )．
学生活动：根据上面的练习，学生自由讨论后填写
am·an＝a(m+n )(m，n都是正整数)．
师生活动：教师引导学生用文字概括这个性质．
同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
条件：(1)同底数幂；(2)乘法．
结果：(1)底数不变；(2)指数相加．
一般地，对于任意底数a与任意正数m，n
am×an=（a·a·…·a）（a·a·…·a）=a·a·…·a
m个a n个a m+n个a
=am+n
即am·an=am+n(m，n都是正整数)
思考：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
学生活动：观察am·an·ap(m，n，p都是正整数)，然后回答得出结论．
am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
总结：同底数幂的乘法运算法则:同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(1)底数必须相同，底数互为相反数时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
(2)相乘时，底数不能发生变化.
(3)指数相加的和作为结果幂的指数．
am·an＝a(m+n )(m，n都是正整数)．
am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
三、典例精析
例1 (教材第96页例1)计算：(1)x2·x5；（2）a·a6；(3)(－2)×(－2)4×(－2)3；(4)xm·x3m＋1.
（1）解：原式＝x2＋5＝x7.
（2）解：原式＝a1＋6＝a7.
温馨提示：a＝a1，不要漏掉单独字母的指数1.
（3）解：原式＝(－2)1＋4＋3＝(－2)8＝256.
（4）解：原式＝xm＋3m＋1＝x4m＋1.
【变式训练】1.计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)mn＋1·mn·m2·m.
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
2.计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5.
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法总结：将底数看成一个整体进行计算．
师生活动：学生先独立思考，教师提问并让学生代表上台演板，最后进行讲解.
四、随堂检测
《随堂检测》p52练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
同底数幂乘法法则．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳同底数幂的乘法运算的性质并强调计算过程中要注意的地方．
六、作业布置
《课时训练》p63—p64练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.2 幂的乘方
教学设计
课题 14.1.2 幂的乘方 授课人
素养目标 教学目标 1．知道幂的乘方的意义，掌握幂的乘方的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．2．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4．会用数学的思维探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．5．通过分组探究，培养学生合作交流的意识，提高学生勇于探究数学的品质. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．
教学难点 掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
一个正方体的棱长是10,它的体积是多少？如果它的棱长是,它的体积又是多少 如果棱长是呢
当棱长是10时，体积是10；当棱长是时，体积是；当棱长是时，体积是.
如何计算、呢？这节课我们一起来学习幂的乘方，相信学完这节课，我们会很容易解决这个问题.
二、探究新知
探究点 幂的乘方
对于上面的问题，我们可以根据幂的意义知，(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3＝102×102×102＝102＋2＋2＝106；同样根据幂的意义可知(104)3＝104×104×104＝104＋4＋4＝1012.
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果；你能发现什么规律？
(1)(32)3＝32×32×32＝3(6 )；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a(6 )；(3)(am)3＝am·am· am＝a(3m)(m是正整数)．
问题：从上面的计算中，你发现了什么规律？
把乘方转化为乘法，进而再由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后易找出规律。
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n＝＝＝amn.
因此，(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
注意：
1.公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．
2.注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加．
学生总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
思考：(-a2)3和(-a3)2的结果相同吗？为什么？
不相同，(-a2)3表示3个-a2相乘，其结果带有负号为-a6.
(-a3)2表示2个-a3相乘，结果没有负号为a6.
师生活动：根据上面的内容，教师引导学生总结.
思考：a3·a2和（a3)2的结果相同吗？为什么？
不相同，a3·a2是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果是a5.
（a3)2是幂的乘方，底数不变，指数相乘，结果是a6.
师生活动：根据上面的内容，教师引导学生总结.
（1）形式不同，一个为相乘形式，一个为乘方形式.
（2）法则不同，一个指数相加，一个指数相乘.
三、典例精析
例1 (教材第96页例2)计算：(1)(103)5；(2)(a4)4；(3)(am)2；(4)－(x4)3.
解：(1)(103)5＝103×5＝1015.
(2)(a4)4＝a4×4＝a16.
(3)(am)2＝am×2＝a2m.
(4)－(x4)3＝－x4×3＝－x12.
【变式训练】1.比较2100与375的大小.
解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．
方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用，当底数和指数都不相同时，应该化为指数相同或者底数相同，然后再进行比较.
例2 计算：(1)(am＋1)3；(2)[(x－y)3]2；(3)[(x2)3]7.
（1）解：原式＝a3m＋3.
（2）解：原式＝(x－y)6.
（3）解：原式＝(x6)7＝x42.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p54练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．幂的乘方及拓展
2．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳幂的乘方的性质及逆应用并强调其与同底数幂的乘法的区别．
六、作业布置
《课时训练》p65—p66练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.3 积的乘方
教学设计
课题 14.1.3 积的乘方 授课人
素养目标 教学目标 1．经历积的乘方的运算性质的探索过程，熟练运用法则进行计算．2．综合运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的性质进行计算．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4.在探究积的乘方的运算法则的过程中，会用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力．5．在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的乐趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 积的乘方运算法则及其应用.
教学难点 积的乘方的运算法则的灵活运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？
学生回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．
二、探究新知
探究点 积的乘方
问题1 观察计算结果你能发现什么规律？
(1) (3×4)2＝________；32×42＝________；
(2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( )b( )
(3)(ab)3＝____________＝____________＝a( )b( )
学生独立思考后，教师讲解．
（1） (3×4)2＝144；32×42＝144；
(2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( 2)b( 2)；
(3)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)（乘方的含义）
＝(a·a·a)·(b·b·b)（乘法交换律、结合律）
＝a( 3)b( 3) （乘方的含义）
根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果．
你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算结果．
(ab)5＝a5b5.
学生观察并独立思考，初步获得结论．通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律．
总结：用符号表示发现的规律.
(ab)n＝anbn (n是正整数)．
问题2：你能将上述发现的规律推导出来吗？
学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解．
(ab)n＝ 乘方的意义
＝ 乘法交换律和乘法结合律
＝anbn. 乘方的意义与同底数幂的乘法运算
积的乘方的运算性质：(ab)n＝anbn(n是正整数)
通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的乘方的运算性质吗？
文字表达：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
思考：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？
(abc)n＝
＝＝anbncn.
一般地，(abc)n＝anbncn(n是正整数)．
三、典例精析
例1 (教材第97页例3)计算：
(1)(2a)3； (2)(－5b)3； (3)(xy2)2； (4)(-2x3)4；
解：(1)原式＝23·a3＝8a3.
(2)原式＝(－5)3·b3＝－125b3.
(3)原式＝x2·(y2)2＝x2y4.
(4)原式＝(－2)4·(x3)4＝16x12.
提示：(3)(4)涉及到幂的乘方和积的乘方的综合运用．
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
【变式训练】1．计算： (1)[(x＋y)(x－y)]5; (2)(－2ab)3. (3)0.254·45； (4)(0.04)2 004×[(－5)2 004]2.
解：(1)原式＝(x＋y)5(x－y)5.
提示：当底数为多项式时将多项式看作整体进行计算．
(2) 原式＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3.
(3)原式＝0.254×44×4＝(0.25×4)4×4＝4.
(4)原式＝(0.04)2 004×54 008＝[(0.2)2]2 004×54 008＝0.24 008×54 008＝(0.2×5)4 008＝1.
例2 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式＝4xy2·x2y4·8x6＝8x9y6；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：不要将同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方混淆．混合运算的顺序依旧是先乘方，再乘除，后加减合并同类项．
【变式训练】如果(an·bm·b)3＝a9b15，求m, n的值．
解：∵(an·bm·b)3＝a9b15，
∴(an)3·(bm)3·b3＝a9b15.
∴a3n·b3m＋3＝a9b15.
∴
解得
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p56练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．积的乘方法则
2．积的乘方的运用．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳积的乘方法则及灵活运用．
六、作业布置
《课时训练》p67—p68练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第1课时 单项式与单项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1．经历单项式与单项式的乘法法则的探索过程，培养观察、归纳能力，领会类比、转化思想．2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单项式)．3.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力．4.在探索整式运算的过程中，会用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣． 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
教学难点 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
1．教师引导学生回忆幂的运算公式．
学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：am·an＝am＋n(m，n为正整数)．
幂的乘方公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．
积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式相乘．
二、探究新知
探究点 单项式与单项式相乘
问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
(1)学生看题并思考回答．怎样计算(3×105)×(5×102)呢？
根据乘法的交换律和结合律(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107.
(2)如果将上式中的数字改为字母，即ac5 bc2，如何计算？
思考：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？怎样计算这个式子呢？
ac5·bc2＝(a·c5)·(b·c2)
＝(a·b)·(c5·c2)(乘法交换律和结合律)
＝abc5＋2(同底数的幂相乘)
＝abc7.
(3) 类似地，请你试着计算： ①)2c5 5c2； ②(-5a2b3) (-4b2c)
①原式=10c7 ②原式=20a2b5c
师生活动：学生小组合作交流，教师引导归纳单项式相乘法则．
文字表述：①各单项式的系数相乘；②同底数幂分别相乘；
③只在一个单项式因式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．
(4)思考：对于三个及三个以上的单项式是否适应，并试着计算(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2
原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9
结论：单项式与单项式相乘法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
(5)思考：单项式相乘的结果是什么？并试着计算－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2
原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
结论：单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.
三、典例精析
例 (教材第98页例4)计算：(1)(－5a2b)(－3a)；(2)(2x)3(－5xy2)．
解：(1)原式＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b＝15a3b.
(2)原式＝8x3·(－5xy2)＝[8×(－5)](x3·x)·y2＝－40x4y2.
方法总结：单项式乘单项式的“三点注意”：①在计算时，应先确定积的符号；②按计算顺序进行；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母．
【变式训练】1.计算：(1)3ab2c·(2a2b)·(－abc2)3；(2)－6x2y·(a－b)3·xy2·(b－a)2.
解：（1）原式＝3ab2c·(2a2b)·(－a3b3c6)＝－6a6b6c7.
（2）原式＝－6x2y·xy2·(a－b)3·(a－b)2＝－2x3y3(a－b)5.
方法总结：在混合运算中先算乘方，再算乘除，最后算加减；有同类项的一定要合并同类型，使结果最简．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p58练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
单项式与单项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式与单项式相乘的法则．
六、作业布置
《课时训练》p69—p70练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第2课时 单项式与多项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1.掌握单项式与多项式相乘的乘法法则．2.(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘多项式)．3.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.4.培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
教学重点 单项式与多项式相乘的法则.
教学难点 单项式与单项式相乘的法则及单项式与多项式相乘的法则的综合运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
上节课我们学习了单项式乘单项式，请同学们结合上节课的知识，思考这样一个问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
二、探究新知
探究点 单项式与多项式相乘
1.学生活动：针对上面问题，先独立思考，后带着自己的想法与小组内交流。小组代表汇报自己的想法和结果。
教师指导：如果把图中看成一个大长方形，它的长为a＋b＋c，宽为p，那么它的面积为p(a＋b＋c)；
如果把图中前两个长方形作为一个长方形，第3个作为一个长方形，那么它的面积为p(a＋b)＋pc；
如果把图中第一个长方形作为一个长方形，后两个个作为一个长方形，那么它的面积为pa＋p(b＋c)；
如果把上图看成是由3个小长方形组成的，那么它的面积为pa＋pb＋pc．
2．思考：p(a＋b＋c)和pa＋pb＋pc之间有着怎样的关系？为什么？
p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，它们都表示长方形绿地的面积．
3．学生观察等式，思考各等式的规律？
p(a＋b＋c)=p(a＋b)＋pc=pa＋p(b＋c)=pa＋pb＋pc．
4．思考：你能根据分配律得到这个等式吗？怎么得到？
由此得到：p(a＋b＋c)=pa＋pb＋pc．
5．鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、典例精析
例1 (教材第100页例5)计算：(1)(－4x2)(3x＋1)；(2)(ab2－2ab)·ab.
解：(1)原式＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)＝(－4×3)(x2·x)＋(－4x2)＝－12x3－4x2.
(2) 原式＝ab2·ab＋(－2ab)·ab＝a2b3－a2b2.
【变式训练】1．如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
解：(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，得到n＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
例2 先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，
当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
【变式训练】(1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
(2)如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度)
解：(1)由题意知，两个卧室以外的部分面积为
3y·y＋2y·(3x－x－y)＝3y2＋4xy－2y2＝(y2＋4xy)平方米．
∴购买地砖所需的费用为(y2＋4xy)a＝(ay2＋4axy)元．
(2)客厅贴墙纸的面积为(2y＋6y)h＝8yh平方米，
两个卧室贴墙纸的面积为(4x＋6y)h＝(4xh＋6yh)平方米，
∴贴墙纸的总面积为8yh＋4xh＋6yh＝(14yh＋4xh)平方米．
∴购买墙纸所需的费用为(14yh＋4xh)b＝(14yhb＋4xhb)元．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p60练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
单项式与多项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式与多项式相乘的法则．
六、作业布置
《课时训练》p71—p72练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1．理解多项式乘多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)．3．用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.4．充分调动学生学习的积极性、主动性，提高与他人沟通交流的能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
教学重点 多项式乘法法则的理解及运用.
教学难点 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、探究新知
探究点 多项式与多项式相乘
1.请同学们在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1所示的四部分，标上字母．
师生活动：要求学生根据图中的数据，求一下这个长方形的面积．学生与同伴交流，表示出它的面积为(m＋b)(n＋a)．
2.请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开，分成两部分，如图．剪开之后分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．
学生活动：分成小组，合作探究，求出第一块的面积为m(n＋a)，第二块的面积为b(n＋a)，它们的和为m(n＋a)＋b(n＋a)．
3.请同学们将纸板上的长方形沿中间的横的线段剪开，将图形分成四部分后再求这四块长方形的面积．
学生分成小组，合作学习，求出S1＝mn；S2＝nb；S3＝am；S4＝ab，它们的和为S＝mn＋nb＋am＋ab.
4.教师引导学生思考：依据上面的操作中求得的图形面积，(m＋b)(n＋a)应该等于什么？
学生活动：分成小组讨论，并交流自己的看法．
总结：三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，三次的计算结果应该是相同的，所以(m＋b)(n＋a)＝m(n＋a)＋b(n＋a)＝mn＋nb＋am＋ab.
4.你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
几何语言：.
把（a+b看成一个整体（单项式）是一个很重要的思想和方法，学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它们归结为已学的数学知识、方法.
三、典例精析
例1 (教材第101页例6)计算：(1)(3x＋1)(x＋2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
解：(1)(3x＋1)(x＋2)＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2.
(2)(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2.
(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【变式训练】计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号，相乘后，若有同类项，则合并同类项，一项进行相乘时，避免出现符号问题．
例2 先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)
＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.
【变式训练】某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63m2.
方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p62练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
多项式与多项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳多项式与多项式相乘的法则及注意事项．
六、作业布置
《课时训练》p73—p74练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第4课时 同底数幂的除法
教学设计
课题 14.1.4 第4课时 同底数幂的除法 授课人
素养目标 教学目标 1．理解同底数幂的除法的运算法则及运算算理．2．会用同底数幂的除法的法则进行计算． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握同底数幂的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行同底数幂的除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
根据题意，请同学们列出算式，可得1011÷105，它是两个同底数幂相除，那么如何进行计算呢？学生认真分析后完成计算：需要滴数：1012÷109.
以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法，那么像这种同底数幂的除法该怎样计算呢？
二、探究新知
探究点 同底数幂的除法
1.计算：（1）109 × 102=1011；（2）a4 ﹒a4 =a8；（3）（-b）7 ·（-b）2 =（-b）9 ；
我们知道109×102＝1011，根据乘法与除法互为逆运算，1011÷109＝102.
学生独立思考，利用乘法、除法互逆的意义填空，根据自己所填结果，探索、归纳同底数幂的除法法则．
所以a8÷a4＝a4；（-b）9÷（-b）7 ＝（-b）2 ；
2.(1)a9÷a3； (2)212÷27； (3)(－x)4÷(－x)； (4)am÷an.
提出问题：（1）上述式子有什么特点？
底数相同，指数不同.
(2)能不能根据除法是乘法的逆运算，用学过的同底数幂的乘法法则来计算呢？
可以，∵am-n· an=a（m-n）+n=am，∴am÷an=am-n
(3)通过计算，你发现了什么规律？
教师活动：教师引导学生自主探索，发现规律，归纳同底数幂的除法法则．
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3.计算：(1)55÷52＝1； (2)107÷107＝1； (3)a6÷a6＝1(a≠0).
根据除法的意义填空，你有什么发现？
底数都不等于0
学生独立完成填空，根据所填结果，教师引导学生根据幂的除法法则得出结论：
a0＝1(a≠0)．即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
注意：在这个过程中要学生理解a不能等于0的原因．
三、典例精析
例1 (教材第103页例7)计算：(1)x8÷x2； (2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
【变式训练】计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
2.已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
解：∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p64练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.同底数幂的除法法则.
2.同底数幂的除法法则的逆用.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳同底数幂的除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p75—p76练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第5课时 单项式除以单项式
教学设计
课题 14.1.4 第5课时 单项式除以单项式 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用．2．经历探索整式的除法的运算法则的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的自信心．3．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握单项式除以单项式的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行单项式除以单项式除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
出示题目，请同学们算一算： x5y ， 8m2n2 ， 12a3b2x3 .
总结：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
问题：根据除法是乘法的逆运算，如果12a3b2x3÷3ab2，你可以写出下列式子的结果吗？
二、探究新知
探究点1 单项式除以单项式
1.计算：12a3b2x3÷3ab2.
思考：(1)这是单项式除以单项式吗？怎样求解？
(2)同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来求，单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算？
(3)观察下面各式，并思考被除式、除式和商式，都有什么特点？
被除式 除式 商式
被除式、除式和商式都是一个单项式.
(4)通过计算，你发现了什么规律？概括探究两个单项式相除的方法．
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变， 保留在商里
指数相减 作为因式
(5)比对单项式乘单项式和单项式除以单项式，思考它们的区别和联系.
①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
三、典例精析
例1 (教材第103页例8)计算：(1)28x4y2÷7x3y；(2)－5a5b3c÷15a4b；
解：(1)28x4y2÷7x3y＝(28÷7)·x4－3·y2－1＝4xy.
(2)－5a5b3c÷15a4b＝[(－5)÷15]a5－4b3－1c＝－ab2c.
【变式训练】计算．(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
解：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝18x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p66练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.单项式除以单项式的除法法则.
2.运算顺序和符号.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式除以单项式的除法法则及运算顺序和符号．
六、作业布置
《课时训练》p77—p78练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第6课时 多项式除以单项式
教学设计
课题 14.1.4 第6课时 多项式除以单项式 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用．．2．经历探索整式的除法的运算法则的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的自信心．3．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握多项式除以单项式的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行多项式除以单项式除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
张大爷家一块长方形的田地，它的面积是6a2+2ab，宽为2a，聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗？
问题1：长方形的面积公式是什么？
问题2：已知面积和宽，如何求田地的长呢？
问题3：列式并观察算式与以前学习有什么不同.
请同学们观察下列算式，它是我们上节课学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点。
今天我们来一起学习多项式除以单项式。
二、探究新知
探究点 多项式除以单项式
1.出示式子：（am +bm）÷m
讨论：你能尝试计算吗？说说你是怎样算出来的？
思考：除法是乘法的逆运算，求（am +bm）÷m 的值，就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）.你知道这个多项式是什么吗？根据单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式的运算吗？
（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b
总结：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法．
2.（1）出示式子：（18x4－4x2－2x）÷2x
学生分组讨论后解答
（18x4－4x2－2x）÷2x=18x4÷2x-4x2÷2x－2x÷2x=9x3-2x-1
注意：多项式除以单项式用的不是除法分配律！
归纳：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
(2)从上面的计算中，你还能发现什么规律？与同伴交流一下．
①多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项，不要漏项.
②计算时多项式里的各项要包含它前面的符号.
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验.
④计算最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排序.
三、典例精析
例1 (教材第103页例8)计算：(12a3－6a2＋3a)÷3a.
解：(12a3－6a2＋3a)÷3a＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a＝4a2－2a＋1.
【变式训练】1.计算：(1)(x4y＋6x3y2－x2y3)÷3x2y；（2）(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
解：(1)原式＝x2＋2xy－y2.
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
2.已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
解：根据题意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
3.已知2a－b＝6，求代数式[(a2＋b2)＋2b(a－b)－(a－b)2]÷4b的值.
解：原式＝[a2＋b2＋2ab－2b2－a2＋2ab－b2]÷4b＝(－2b2＋4ab)÷4b=—0.5b+a=0.5（2a-b）
当2a－b＝6时，原式＝0.5×6=3.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p68练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
多项式除以单项式的除法法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳多项式除以单项式的除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p79—p80练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.2 乘法公式
14．2.1 平方差公式
教学设计
课题 14．2.1 平方差公式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)经历探索平方差公式的过程，理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景．2．(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理．3.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想.4.让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦，在感悟数学美同时激发学习数学的兴趣和信心. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观
教学重点 平方差公式的推导和应用.
教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
王叔叔将一块边长为a米的正方形菜地租给李爷爷。到了第二年，王叔叔对李爷爷说：“老李，我把这块菜地一边减少b米，相邻的另一边增加b米，租金不变继续租给你，你看如何？”李爷爷说：“可以，可以。”
同学们，你们认为李爷爷有没有吃亏？
二、探究新知
探究点 平方差公式
1．根据多项式的乘法法则，计算下列多项式的积．观察、分析题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？(让学生进行小组讨论)
(1)(x＋1)(x－1)＝x2－1；(2) (m＋2)(m－2) ＝ m2－4；(3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－1.
问题1：观察、分析等式左边的两个多项式有什么共同特点？等式右边的结果有什么特点？请用一句话归纳总结出等式的特点．
发现：左边为两个数的和与两个数差的积，右边为这两个数的平方差．
用字母表示：猜想：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
问题2：代数验证：你能通过计算(a＋b)(a－b)，说明猜想的合理性吗？
代数说明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
问题3：几何验证：你能借助图形的面积，说明猜想的正确性吗？
几何说明：(1)请表示出原来的（图1）的面积．
S阴＝a2－b2
(2)将阴影部分剪拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
(a＋b)和(a－b) S长方形= (a＋b)(a－b)
(3)比较前面两个结果，你有什么发现？
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
归纳公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．
问题4：现在，你知道李爷爷有没有吃亏了吧？
2．平方差公式具有什么样的结构特征呢？
请同学们仔细观察公式，试着模仿公式写出几个可以应用平方差公式进行计算的题目，指名汇报．
问题：想一想①(－a＋b)(a＋b)，②(－a－b)(－a＋b)，③(a－b)(－a－b)这些可以用平方差公式进行计算吗？教师引导学生从项的符号上辨析公式的特征并归纳．
结构特征：
相同项 相反项 相同项2 -相反项2
[a与a] [b与b] a2-b2
(1)公式左边是两个二项式相乘，并且两个二项式中有一项(a)是相同的，有一项(b与－b)互为相反数；
(2)公式的右边是乘数中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；
(3)公式中字母可以是具体数字，也可以是多项式或单项式；
(4)对于具有与此相同形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果．
3. 平方差公式的变形
问题：想一想除了常见的平方差公式，还有哪些式子也可以借助平方差公式来计算？
(1)位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
(2)符号变化：(－a－b)(－a＋b)＝(－a)2－b2＝a2－b2．
(3)系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2．
(4)指数变化：(a3+b2)(a3-b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4．
(5)项数变化：(a+b+c)((a+b-c)＝(a+b)2－(c)2＝a2+b2+2ab-c2．
(6)连用变化：(a+b)((a-b)（a2+b2）＝(a2-b2)（a2+b2）＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4．
(7)数字变化：198×202＝(200-2)(200+2)＝(200)2－(2)2＝39996
三、典例精析
例1 (教材第108页例1)运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22
(a ＋b)(a －b)＝ a2 － b2
在(2)中，可以把－x看成a，2y看成b，即
(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2
( a ＋ b )(a － b )＝ a2 － b2
解：(1)(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4.
(2)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.
例2 (教材第108页例2)计算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.
解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1.
方法总结：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10 000－4＝9 996.
【变式训练】1.利用平方差公式简算：(1)20×19；(2)13.2×12.8.
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
2.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p70练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.平方差公式.
2.平方差公式的变形
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳平方差公式及平方差公式的结构特征和变形．
六、作业布置
《课时训练》p81—p82练习题
七、教学反思
14.2 乘法公式
14．2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
教学设计
课题 14.2.2 第1课时 完全平方公式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景．2．(2022新课标)能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．3．用数学的思维探索完全平方公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力．4．引发和培养学生观察、分析和归纳能力，进一步培养学生的思维条理性和表达能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观
教学重点 完全平方公式的推导和应用.
教学难点 理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
上节课，我们学方差公式，请同学们回忆下平方差公式是怎样的？
教师引导学生复习平方差公式．学生积极举手回答．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．
二、探究新知
探究点 完全平方公式
1.根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么(a＋b)2 应该写成什么样的形式呢？(a＋b)2的运算结果有什么规律？
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(m＋2)2＝________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________； (m－2)2＝________；
学生独立完成计算．教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项，猜测它们的共同特点．
学生活动：分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下：
(1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍．
(2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号．
2.代数验证：利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
所以，对于具有此相同的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
完全平方公式可以看成是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形.
3.几何推导验证：
问题1：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。(如图)
(1)四块面积分别为：a2、ab、ab、b2；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为(a＋b)的大正方形，S＝(a＋b)2；②部分看：四块面积的和，S＝a2＋2ab＋b2．
总结：通过以上探索你发现了什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
问题2：如果将该正方形田地的边长缩减b米，则其边长又为多少？面积呢？通过探索你发现了什么？
根据问题1的推理过程，学生回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
问题3：也可以借助刚刚推导出来的公式， 用“－b”代替公式中的“b”
［a +(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2.
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a + b)2 =a2+2·a ·b + b2
归纳：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，这个公式叫做完全平方公式．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
结构特征：(首 ± 尾) = 首 ± 2×首×尾 +尾
口诀强化记忆：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方.
4.思考并讨论：（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ 为什么？
（a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？
（a-b）2与a2-b2相等吗？为什么？
发现：积的2倍前的符号与前两个数的符号的关系是同号得正，异号得负.
三、典例精析
例1 (教材第110页例3)运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2； (2)(y－)2.
解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2.
(2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2＝y2－y＋.
例2 (教材第110页例4)运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.
解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 000＋400＋4＝10 404.
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10 000－200＋1＝9 801.
【变式训练】1.利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
2.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p72练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.完全平方公式.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳完全平方公式．
六、作业布置
《课时训练》p83—p84练习题
七、教学反思
14.2 乘法公式
14．2.2 完全平方公式
第2课时 添括号法则
教学设计
课题 14．2.2 第2课时 添括号法则 授课人
素养目标 教学目标 1．使学生掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形，进一步灵活运用乘法公式进行计算．培养学生独立思考，分析及归纳能力.2．经历由去括号到添括号的探索过程，培养学生的逆向思维能力.3．熟练运用添括号法则，渗透类比、转化和整体思想.4．引导学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，逐步培养学生的合作交流意识. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 添括号法则的推导与应用.
教学难点 掌握添括号法则.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
七年级时，我们学过去括号法则，请同学们根据去括号法则填空：
a＋(b＋c)＝________；a－(b＋c)＝________．
去括号法则内容是什么？学生回答，教师出示内容。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项的符号与原来的符号相反。
总结：去括号，看符号，是“+”，不变号；是“-”，全变号.
如果把左右各式反过来，即交换等式的左右两边，会是怎样呢，这节课我们就来学习添括号法则.
二、探究新知
探究点1 添括号法则
1.问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
2.出示算式，学生计算.
（1）4+5+2=11 4+（5+2）=11 （2）4-5-2=-3 4-（5+2）=-3
4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
① 4+5+2=4+（5+2） ② 4-5-2=4 -（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
添括号其实就是把去括号反过来，由去括号问题引出添括号问题，用到的知识是“等号两边的式子可以互换位置”。
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变.
a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
3.下面我们给下面等式添上括号，并用去括号进行验证.
（1）a+b-c=a+( )；(2) a+b-c=a-( )； (3) a-b+c=a-( )；(4) a-b+c=a+( )
(5) -a-b+c=-a+( )； (6) -a-b+c=-a- ( ) (7) a+b-c+d=a-( )=a+b-( )；
(8) a+b-c+d=a- ( )+d=a+( )+d
解：（1）a+b-c=a+(b-c) ；(2) a+b-c=a-(-b+c) ；(3) a-b+c=a-(b-c)； (4) a-b+c=a+(-b+c)
(5) -a-b+c=-a+(-b+c) ； (8) -a-b+c=-a-(b-c）；（7）a+b-c+d=a-(-b+c-d)=a+b-(c-d)
(8) a+b-c+d=a-(-b+c)+d=a+(b-c)+d
三、典例精析
例 (教材第111页例5)运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
解：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9.
（2）(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
【变式训练】1.计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p74练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
添括号法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳添括号法则．
六、作业布置
《课时训练》p85—p86练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14．3.1 提公因式法
教学设计
课题 14．3.1 提公因式法 授课人
素养目标 教学目标 1．了解因式分解的含义及它与整式乘法的区别与联系．2．理解提公因式法的依据和意义．3．(2022新课标)能用提公因式法进行因式分解(指数为正整数)．4．在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 理解因式分解的概念；会用提公因式法分解因式.
教学难点 理解多项式的因式分解与整式乘法的联系和区别.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
把下列多项式写成整式的积的形式：
x2＋x＝x（x+1）； x2－1＝（x+1）（x-1）；ma＋mb＋mc＝m（a+b+c）.
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？这节课，我们一起来讨论这个问题.
二、探究新知
探究点 提公因式法
1.（1）根据整式的乘法，可知x2＋x＝ x(x＋1) ，x2－1＝(x＋1)(x－1) .
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解．
(2)小组活动，共同探究：因式分解与整式乘法有什么关系？
x2－1(x＋1)(x－1)
(互逆变形)
2.观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；m (2) 4kx-8ky； 2k (3) 5y3+20y2；4y2 (4) a2b-2ab2+ab. ab
思考：找公因式有什么方法呢？
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低次数
3. 提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
你能很快地把下列各式进行因式分解吗？说说你的理由．
① 5a＋5b＋5c＝5(a+b+c) ；② 3x－3＝3（x-1）；③ ab2－a2b＝ab（b-a）．
教师提问，学生共同回答，对于有疑问的地方及时处理．
三、典例精析
例1 (教材第115页例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式．
解：8a3b2＋12ab3c
＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc
＝4ab2(2a2＋3bc)
例2 (教材第115页例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．
解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)．
【变式训练】1.把下列名式分解因式.
(1)2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)
注意：1不能漏掉.
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
2.先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3.
解：4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3)
把 a=-5，x=3 代入 (x+7)(4a2-3) 得 (3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97=970
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
3.计算 5×34+4×34+9×32
解：5×34+4×34+9×32=5×34+4×34+32×32=5×34+4×34+34=34×(5+4+1)=81×10=810
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p76练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.因式分解
2.公因式
3.提公因式法
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳因式分解及提公因式法．
六、作业布置
《课时训练》p87—p88练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
教学设计
课题 14．3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能说出平方差公式的特点，能用平方差公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．2. 初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．3．培养学生的观察、联想能力，会用数学的眼光观察现实世界，进一步了解换元的思想方法.激发探究兴趣，体验学习数学的快乐. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 应用平方差公式分解因式.
教学难点 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
请同学们计算下列各式：
(1)(a＋4)(a－4)； (2)(2m＋3n)(2m－3n)．
学生计算出上面的两道题，并指名上台板演．
(1)(a＋4)(a－4)＝a2－42＝a2－16.
(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2.
那多项式a2-b2有什么特点，应该怎样进行因式分解呢，这节课我们一起来学习运用平方差公式分解因式.
二、探究新知
探究点 运用平方差公式分解因式
1.多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到运用平方差公式因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
因式分解的公式法中平方差公式具有如下特点：
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差.
（3）对于平方差公式中的字母a，b，它们可以表示数，也可以表示含字母的整式．
2.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
（1）a2－36； (2)16m2－n2；（3）4x2-9 （4）（x+p)2-（x+q)2
能否用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点，分别从项数、符号、平方项等方面判断.
总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式.
3.运用平方差公式进行分解因式的一般步骤：
（1）先排列，首系数不为负；
（2）然后提取公因式；
（3）再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
（4）不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．
三、典例精析
例1 (教材第116页例3)分解因式：(1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)．
(2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q).
例2 (教材第116页例4)分解因式：(1)x4－y4；(2)a3b－ab.
解：(1)x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．
注意：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(2)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．
【变式训练】1.分解因式：(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.
解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；
(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
2.分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．
方法总结：在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p78练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.运用平方差公式分解因式
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳运用平方差公式分解因式．
六、作业布置
《课时训练》p89—p90练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14．3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
教学设计
课题 14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解 授课人
素养目标 教学目标 1．理解因式分解的完全平方式的特征．2．(2022新课标)能用完全平方公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．3．能综合运用提公因式法与公式法分解因式．4．培养逆向思维能力，领会整体、转化思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 理解完全平方公式因式分解，并学会应用.
教学难点 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法.
现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2；完全平方公式：(a±b) 2= a2±2ab+ b2.
这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式.
二、探究新知
探究点 运用完全平方式分解因式
1.多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？它们是完全平方式吗？它们与整式的完全平方公式有什么关系？
分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号为“+”是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+”可“–”，它是那两项幂的底的乘积两倍.
凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的式子叫做 完全平方式 .
2.你能将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式吗？
把乘法公式的等号左右两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 公式法 .
利用 完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解：a2±2ab+b2= （a±b）2 ，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和（或差） 的平方.
归纳公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.将它写成平方形式，便实现了因式分解。
例如 x2 + 6x + 9
↓ ↓ ↘
=(x) 2+2(3)(x)+(3) 2
=(x+3) 2.
4 x2 – 20x + 25
↓ ↓ ↘
=(2x) 2 – 2(2x)(5) + (5) 2
=(2x+5) 2.
3.用完全平方式分解因式：(1)m2－8mn＋16n2； (2)a2－2ab＋b2.
学生活动：从逆向思维的角度入手，很快得到下面的答案．
解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2； (2)a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
归纳公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
如果一个二次三项式的二次项系数为1，要使它成为完全平方式，则需其常数项等于一次项系数一半的平方，即关于x的二次三项式x2＋mx＋n是完全平方式的条件为：()2＝n.
4.运用完全平方式进行因式分解的一般步骤：
一提：优先考虑用提公因式法(公因式可以是数字、单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三分解：一定要分解到每个因式不能再分解为止．
三、典例精析
例1 (教材第118页例5)分解因式：(1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.
解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32＝(4x＋3)2.
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法总结：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
例2 (教材第118页例6)分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.
(3) (a＋b)2－12(a＋b)＋36＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62＝(a＋b－6)2.
方法总结：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36.
【变式训练】利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
2.已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.
方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p80练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.运用完全平方公式分解因式
2.运用完全平方公式分解因式注意事项
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳运用完全平方公式分解因式及注意事项．
六、作业布置
《课时训练》p91—p92练习题
七、教学反思
单元教学设计
◎课标要求
1. 了解幂的意义，并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方积同底数幂的除法的运算，能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题。
2. 了解零指数幂的意义；探索整式乘除法的法则，会进行简单的整式乘除法运算。
3. 要求学生说出平方差公式和完全平方公式的特点，能正确地利用平方差公式和完全平方公式进行多项式的乘法。
4. 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的思想，学会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
5. 让学生主动参与到一些探索过程中来，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。
6. 通过本章中一些生活实例的学习，体会数学与生活之间的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，提高数学学习的兴趣。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章是整式的加减的后续学习。首先，从幂的运算开始入手，逐步展开整式的乘除法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式。最后，从整式乘法的逆过程出发，引入因式分解的相关知识。
本章主要有如下特点：
1. 注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟的过程中构建体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移。
2. 知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征。
3. 让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担。
4. 注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯。
5. 教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间，教师应根据各地学生的实际情况，充分发挥自己的教学主动性和积极性，创造性地践行教学。
【教法建议】
在本章的教学中，教师要创造性地使用教材，充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用，通过创设一定的问题情境，帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中，主动地去获取知识。在本章的教学中，教师不要人为地增加学生的记忆负担，提高对学生的要求，也不人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容，根据学生的具体情况，可以在某些具体问题上，，让一部分学有余力的学生得到更好的发展，体现教材的弹性。
◎学情学法
【学情分析】
学生在此前学习了有理数的运算和乘方的意义，在此基础上学习幂的各种运算，可以提高学生对运算的理解能力和应用能力。此阶段学生已经具备了一定的运算技能，只是对知识间的联系认识还比较肤浅，缺少对零散知识点进行串联，使之条理化、系统化，形成新的认知结构。
【学情建议】
幂的运算是整式乘除的基础，要注意掌握这些幂的运算特点，注意它们之间的联系和区别。在进行整式乘除法计算的过程中，易出现符号问题，特别是多项式，要注意多项式的每一项都包括它前面的符号。对于乘法公式和因式分解，要逐步感受它们之间的关系，注意掌握公式的特点，以便能准确地运用公式。在公式和法则的学习过程中，防止死记硬背，要重视知识的形成过程，重视法则的理解和应用。
◎课时安排
14.1整式的乘法 9课时
14.2乘法公式 3课时
14.3因式分解 3课时
总计 15课时
第14章 整式乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.1 同底数幂的乘法
教学设计
课题 14．1.1 同底数幂的乘法 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握同底数幂的乘法的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．2．会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”，使学生初步理解特殊到一般、一般到特殊的认知规律．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4．通过对公式的应用，进一步发展学生观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力.5．体会科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则.
教学难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
在2010年全球超级计算机排行榜中，中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一，其实测运算速度可以达到每秒2 570万亿次．
它工作103 s可进行运算的次数为1015×103，怎样计算1015×103呢？
二、探究新知
探究点 同底数幂的乘法
根据乘方的意义可知1015×103＝(10×…×10)×(10×10×10)
＝
＝1018.
学生试练习：(1)25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)＝2(7 )；
(2)a3·a2＝（a﹒a﹒a）﹒（a﹒a）＝a( 5 )．
(3)5m×5n＝=(5×5……×5)×(5×5……×5)＝5( m+n )（m，n数正整数）;
m个 n个
猜一猜：am·an＝a( )．
学生活动：根据上面的练习，学生自由讨论后填写
am·an＝a(m+n )(m，n都是正整数)．
师生活动：教师引导学生用文字概括这个性质．
同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
条件：(1)同底数幂；(2)乘法．
结果：(1)底数不变；(2)指数相加．
一般地，对于任意底数a与任意正数m，n
am×an=（a·a·…·a）（a·a·…·a）=a·a·…·a
m个a n个a m+n个a
=am+n
即am·an=am+n(m，n都是正整数)
思考：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
学生活动：观察am·an·ap(m，n，p都是正整数)，然后回答得出结论．
am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
总结：同底数幂的乘法运算法则:同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(1)底数必须相同，底数互为相反数时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝
(2)相乘时，底数不能发生变化.
(3)指数相加的和作为结果幂的指数．
am·an＝a(m+n )(m，n都是正整数)．
am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
三、典例精析
例1 (教材第96页例1)计算：(1)x2·x5；（2）a·a6；(3)(－2)×(－2)4×(－2)3；(4)xm·x3m＋1.
（1）解：原式＝x2＋5＝x7.
（2）解：原式＝a1＋6＝a7.
温馨提示：a＝a1，不要漏掉单独字母的指数1.
（3）解：原式＝(－2)1＋4＋3＝(－2)8＝256.
（4）解：原式＝xm＋3m＋1＝x4m＋1.
【变式训练】1.计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)mn＋1·mn·m2·m.
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
2.计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5.
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法总结：将底数看成一个整体进行计算．
师生活动：学生先独立思考，教师提问并让学生代表上台演板，最后进行讲解.
四、随堂检测
《随堂检测》p52练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
同底数幂乘法法则．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳同底数幂的乘法运算的性质并强调计算过程中要注意的地方．
六、作业布置
《课时训练》p63—p64练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.2 幂的乘方
教学设计
课题 14.1.2 幂的乘方 授课人
素养目标 教学目标 1．知道幂的乘方的意义，掌握幂的乘方的运算法则，并能熟练应用这些法则进行有关计算．2．通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4．会用数学的思维探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．5．通过分组探究，培养学生合作交流的意识，提高学生勇于探究数学的品质. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．
教学难点 掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
一个正方体的棱长是10,它的体积是多少？如果它的棱长是,它的体积又是多少 如果棱长是呢
当棱长是10时，体积是10；当棱长是时，体积是；当棱长是时，体积是.
如何计算、呢？这节课我们一起来学习幂的乘方，相信学完这节课，我们会很容易解决这个问题.
二、探究新知
探究点 幂的乘方
对于上面的问题，我们可以根据幂的意义知，(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3＝102×102×102＝102＋2＋2＝106；同样根据幂的意义可知(104)3＝104×104×104＝104＋4＋4＝1012.
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果；你能发现什么规律？
(1)(32)3＝32×32×32＝3(6 )；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a(6 )；(3)(am)3＝am·am· am＝a(3m)(m是正整数)．
问题：从上面的计算中，你发现了什么规律？
把乘方转化为乘法，进而再由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后易找出规律。
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n＝＝＝amn.
因此，(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
注意：
1.公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．
2.注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加．
学生总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
思考：(-a2)3和(-a3)2的结果相同吗？为什么？
不相同，(-a2)3表示3个-a2相乘，其结果带有负号为-a6.
(-a3)2表示2个-a3相乘，结果没有负号为a6.
师生活动：根据上面的内容，教师引导学生总结.
思考：a3·a2和（a3)2的结果相同吗？为什么？
不相同，a3·a2是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果是a5.
（a3)2是幂的乘方，底数不变，指数相乘，结果是a6.
师生活动：根据上面的内容，教师引导学生总结.
（1）形式不同，一个为相乘形式，一个为乘方形式.
（2）法则不同，一个指数相加，一个指数相乘.
三、典例精析
例1 (教材第96页例2)计算：(1)(103)5；(2)(a4)4；(3)(am)2；(4)－(x4)3.
解：(1)(103)5＝103×5＝1015.
(2)(a4)4＝a4×4＝a16.
(3)(am)2＝am×2＝a2m.
(4)－(x4)3＝－x4×3＝－x12.
【变式训练】1.比较2100与375的大小.
解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．
方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用，当底数和指数都不相同时，应该化为指数相同或者底数相同，然后再进行比较.
例2 计算：(1)(am＋1)3；(2)[(x－y)3]2；(3)[(x2)3]7.
（1）解：原式＝a3m＋3.
（2）解：原式＝(x－y)6.
（3）解：原式＝(x6)7＝x42.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p54练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．幂的乘方及拓展
2．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳幂的乘方的性质及逆应用并强调其与同底数幂的乘法的区别．
六、作业布置
《课时训练》p65—p66练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.3 积的乘方
教学设计
课题 14.1.3 积的乘方 授课人
素养目标 教学目标 1．经历积的乘方的运算性质的探索过程，熟练运用法则进行计算．2．综合运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的性质进行计算．3．(2022新课标)了解整数指数幂的意义和基本性质．4.在探究积的乘方的运算法则的过程中，会用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力．5．在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的乐趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 积的乘方运算法则及其应用.
教学难点 积的乘方的运算法则的灵活运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？
学生回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．
二、探究新知
探究点 积的乘方
问题1 观察计算结果你能发现什么规律？
(1) (3×4)2＝________；32×42＝________；
(2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( )b( )
(3)(ab)3＝____________＝____________＝a( )b( )
学生独立思考后，教师讲解．
（1） (3×4)2＝144；32×42＝144；
(2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( 2)b( 2)；
(3)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)（乘方的含义）
＝(a·a·a)·(b·b·b)（乘法交换律、结合律）
＝a( 3)b( 3) （乘方的含义）
根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果．
你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算结果．
(ab)5＝a5b5.
学生观察并独立思考，初步获得结论．通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律．
总结：用符号表示发现的规律.
(ab)n＝anbn (n是正整数)．
问题2：你能将上述发现的规律推导出来吗？
学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解．
(ab)n＝ 乘方的意义
＝ 乘法交换律和乘法结合律
＝anbn. 乘方的意义与同底数幂的乘法运算
积的乘方的运算性质：(ab)n＝anbn(n是正整数)
通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的乘方的运算性质吗？
文字表达：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
思考：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？
(abc)n＝
＝＝anbncn.
一般地，(abc)n＝anbncn(n是正整数)．
三、典例精析
例1 (教材第97页例3)计算：
(1)(2a)3； (2)(－5b)3； (3)(xy2)2； (4)(-2x3)4；
解：(1)原式＝23·a3＝8a3.
(2)原式＝(－5)3·b3＝－125b3.
(3)原式＝x2·(y2)2＝x2y4.
(4)原式＝(－2)4·(x3)4＝16x12.
提示：(3)(4)涉及到幂的乘方和积的乘方的综合运用．
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
【变式训练】1．计算： (1)[(x＋y)(x－y)]5; (2)(－2ab)3. (3)0.254·45； (4)(0.04)2 004×[(－5)2 004]2.
解：(1)原式＝(x＋y)5(x－y)5.
提示：当底数为多项式时将多项式看作整体进行计算．
(2) 原式＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3.
(3)原式＝0.254×44×4＝(0.25×4)4×4＝4.
(4)原式＝(0.04)2 004×54 008＝[(0.2)2]2 004×54 008＝0.24 008×54 008＝(0.2×5)4 008＝1.
例2 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式＝4xy2·x2y4·8x6＝8x9y6；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：不要将同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方混淆．混合运算的顺序依旧是先乘方，再乘除，后加减合并同类项．
【变式训练】如果(an·bm·b)3＝a9b15，求m, n的值．
解：∵(an·bm·b)3＝a9b15，
∴(an)3·(bm)3·b3＝a9b15.
∴a3n·b3m＋3＝a9b15.
∴
解得
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p56练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．积的乘方法则
2．积的乘方的运用．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳积的乘方法则及灵活运用．
六、作业布置
《课时训练》p67—p68练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第1课时 单项式与单项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1．经历单项式与单项式的乘法法则的探索过程，培养观察、归纳能力，领会类比、转化思想．2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单项式)．3.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力．4.在探索整式运算的过程中，会用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣． 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
教学难点 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
1．教师引导学生回忆幂的运算公式．
学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：am·an＝am＋n(m，n为正整数)．
幂的乘方公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．
积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式相乘．
二、探究新知
探究点 单项式与单项式相乘
问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
(1)学生看题并思考回答．怎样计算(3×105)×(5×102)呢？
根据乘法的交换律和结合律(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107.
(2)如果将上式中的数字改为字母，即ac5 bc2，如何计算？
思考：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？怎样计算这个式子呢？
ac5·bc2＝(a·c5)·(b·c2)
＝(a·b)·(c5·c2)(乘法交换律和结合律)
＝abc5＋2(同底数的幂相乘)
＝abc7.
(3) 类似地，请你试着计算： ①)2c5 5c2； ②(-5a2b3) (-4b2c)
①原式=10c7 ②原式=20a2b5c
师生活动：学生小组合作交流，教师引导归纳单项式相乘法则．
文字表述：①各单项式的系数相乘；②同底数幂分别相乘；
③只在一个单项式因式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．
(4)思考：对于三个及三个以上的单项式是否适应，并试着计算(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2
原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9
结论：单项式与单项式相乘法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
(5)思考：单项式相乘的结果是什么？并试着计算－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2
原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
结论：单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.
三、典例精析
例 (教材第98页例4)计算：(1)(－5a2b)(－3a)；(2)(2x)3(－5xy2)．
解：(1)原式＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b＝15a3b.
(2)原式＝8x3·(－5xy2)＝[8×(－5)](x3·x)·y2＝－40x4y2.
方法总结：单项式乘单项式的“三点注意”：①在计算时，应先确定积的符号；②按计算顺序进行；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母．
【变式训练】1.计算：(1)3ab2c·(2a2b)·(－abc2)3；(2)－6x2y·(a－b)3·xy2·(b－a)2.
解：（1）原式＝3ab2c·(2a2b)·(－a3b3c6)＝－6a6b6c7.
（2）原式＝－6x2y·xy2·(a－b)3·(a－b)2＝－2x3y3(a－b)5.
方法总结：在混合运算中先算乘方，再算乘除，最后算加减；有同类项的一定要合并同类型，使结果最简．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p58练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
单项式与单项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式与单项式相乘的法则．
六、作业布置
《课时训练》p69—p70练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第2课时 单项式与多项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1.掌握单项式与多项式相乘的乘法法则．2.(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘多项式)．3.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.4.培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
教学重点 单项式与多项式相乘的法则.
教学难点 单项式与单项式相乘的法则及单项式与多项式相乘的法则的综合运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
上节课我们学习了单项式乘单项式，请同学们结合上节课的知识，思考这样一个问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
二、探究新知
探究点 单项式与多项式相乘
1.学生活动：针对上面问题，先独立思考，后带着自己的想法与小组内交流。小组代表汇报自己的想法和结果。
教师指导：如果把图中看成一个大长方形，它的长为a＋b＋c，宽为p，那么它的面积为p(a＋b＋c)；
如果把图中前两个长方形作为一个长方形，第3个作为一个长方形，那么它的面积为p(a＋b)＋pc；
如果把图中第一个长方形作为一个长方形，后两个个作为一个长方形，那么它的面积为pa＋p(b＋c)；
如果把上图看成是由3个小长方形组成的，那么它的面积为pa＋pb＋pc．
2．思考：p(a＋b＋c)和pa＋pb＋pc之间有着怎样的关系？为什么？
p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，它们都表示长方形绿地的面积．
3．学生观察等式，思考各等式的规律？
p(a＋b＋c)=p(a＋b)＋pc=pa＋p(b＋c)=pa＋pb＋pc．
4．思考：你能根据分配律得到这个等式吗？怎么得到？
由此得到：p(a＋b＋c)=pa＋pb＋pc．
5．鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、典例精析
例1 (教材第100页例5)计算：(1)(－4x2)(3x＋1)；(2)(ab2－2ab)·ab.
解：(1)原式＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)＝(－4×3)(x2·x)＋(－4x2)＝－12x3－4x2.
(2) 原式＝ab2·ab＋(－2ab)·ab＝a2b3－a2b2.
【变式训练】1．如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
解：(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，得到n＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
例2 先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，
当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
【变式训练】(1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
(2)如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度)
解：(1)由题意知，两个卧室以外的部分面积为
3y·y＋2y·(3x－x－y)＝3y2＋4xy－2y2＝(y2＋4xy)平方米．
∴购买地砖所需的费用为(y2＋4xy)a＝(ay2＋4axy)元．
(2)客厅贴墙纸的面积为(2y＋6y)h＝8yh平方米，
两个卧室贴墙纸的面积为(4x＋6y)h＝(4xh＋6yh)平方米，
∴贴墙纸的总面积为8yh＋4xh＋6yh＝(14yh＋4xh)平方米．
∴购买墙纸所需的费用为(14yh＋4xh)b＝(14yhb＋4xhb)元．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p60练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
单项式与多项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式与多项式相乘的法则．
六、作业布置
《课时训练》p71—p72练习题
七、教学反思
14．1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
教学设计
课题 14.1.4 第3课时 多项式与多项式相乘 授课人
素养目标 教学目标 1．理解多项式乘多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2．(2022新课标)能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)．3．用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.4．充分调动学生学习的积极性、主动性，提高与他人沟通交流的能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观 应用意识
教学重点 多项式乘法法则的理解及运用.
教学难点 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、探究新知
探究点 多项式与多项式相乘
1.请同学们在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1所示的四部分，标上字母．
师生活动：要求学生根据图中的数据，求一下这个长方形的面积．学生与同伴交流，表示出它的面积为(m＋b)(n＋a)．
2.请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开，分成两部分，如图．剪开之后分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．
学生活动：分成小组，合作探究，求出第一块的面积为m(n＋a)，第二块的面积为b(n＋a)，它们的和为m(n＋a)＋b(n＋a)．
3.请同学们将纸板上的长方形沿中间的横的线段剪开，将图形分成四部分后再求这四块长方形的面积．
学生分成小组，合作学习，求出S1＝mn；S2＝nb；S3＝am；S4＝ab，它们的和为S＝mn＋nb＋am＋ab.
4.教师引导学生思考：依据上面的操作中求得的图形面积，(m＋b)(n＋a)应该等于什么？
学生活动：分成小组讨论，并交流自己的看法．
总结：三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，三次的计算结果应该是相同的，所以(m＋b)(n＋a)＝m(n＋a)＋b(n＋a)＝mn＋nb＋am＋ab.
4.你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
几何语言：.
把（a+b看成一个整体（单项式）是一个很重要的思想和方法，学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它们归结为已学的数学知识、方法.
三、典例精析
例1 (教材第101页例6)计算：(1)(3x＋1)(x＋2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
解：(1)(3x＋1)(x＋2)＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2.
(2)(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2.
(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【变式训练】计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号，相乘后，若有同类项，则合并同类项，一项进行相乘时，避免出现符号问题．
例2 先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)
＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.
【变式训练】某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63m2.
方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p62练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
多项式与多项式相乘法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳多项式与多项式相乘的法则及注意事项．
六、作业布置
《课时训练》p73—p74练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第4课时 同底数幂的除法
教学设计
课题 14.1.4 第4课时 同底数幂的除法 授课人
素养目标 教学目标 1．理解同底数幂的除法的运算法则及运算算理．2．会用同底数幂的除法的法则进行计算． 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握同底数幂的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行同底数幂的除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
根据题意，请同学们列出算式，可得1011÷105，它是两个同底数幂相除，那么如何进行计算呢？学生认真分析后完成计算：需要滴数：1012÷109.
以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法，那么像这种同底数幂的除法该怎样计算呢？
二、探究新知
探究点 同底数幂的除法
1.计算：（1）109 × 102=1011；（2）a4 ﹒a4 =a8；（3）（-b）7 ·（-b）2 =（-b）9 ；
我们知道109×102＝1011，根据乘法与除法互为逆运算，1011÷109＝102.
学生独立思考，利用乘法、除法互逆的意义填空，根据自己所填结果，探索、归纳同底数幂的除法法则．
所以a8÷a4＝a4；（-b）9÷（-b）7 ＝（-b）2 ；
2.(1)a9÷a3； (2)212÷27； (3)(－x)4÷(－x)； (4)am÷an.
提出问题：（1）上述式子有什么特点？
底数相同，指数不同.
(2)能不能根据除法是乘法的逆运算，用学过的同底数幂的乘法法则来计算呢？
可以，∵am-n· an=a（m-n）+n=am，∴am÷an=am-n
(3)通过计算，你发现了什么规律？
教师活动：教师引导学生自主探索，发现规律，归纳同底数幂的除法法则．
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3.计算：(1)55÷52＝1； (2)107÷107＝1； (3)a6÷a6＝1(a≠0).
根据除法的意义填空，你有什么发现？
底数都不等于0
学生独立完成填空，根据所填结果，教师引导学生根据幂的除法法则得出结论：
a0＝1(a≠0)．即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
注意：在这个过程中要学生理解a不能等于0的原因．
三、典例精析
例1 (教材第103页例7)计算：(1)x8÷x2； (2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
【变式训练】计算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
2.已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
解：∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p64练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.同底数幂的除法法则.
2.同底数幂的除法法则的逆用.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳同底数幂的除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p75—p76练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第5课时 单项式除以单项式
教学设计
课题 14.1.4 第5课时 单项式除以单项式 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用．2．经历探索整式的除法的运算法则的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的自信心．3．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握单项式除以单项式的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行单项式除以单项式除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
出示题目，请同学们算一算： x5y ， 8m2n2 ， 12a3b2x3 .
总结：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
问题：根据除法是乘法的逆运算，如果12a3b2x3÷3ab2，你可以写出下列式子的结果吗？
二、探究新知
探究点1 单项式除以单项式
1.计算：12a3b2x3÷3ab2.
思考：(1)这是单项式除以单项式吗？怎样求解？
(2)同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来求，单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算？
(3)观察下面各式，并思考被除式、除式和商式，都有什么特点？
被除式 除式 商式
被除式、除式和商式都是一个单项式.
(4)通过计算，你发现了什么规律？概括探究两个单项式相除的方法．
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变， 保留在商里
指数相减 作为因式
(5)比对单项式乘单项式和单项式除以单项式，思考它们的区别和联系.
①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
三、典例精析
例1 (教材第103页例8)计算：(1)28x4y2÷7x3y；(2)－5a5b3c÷15a4b；
解：(1)28x4y2÷7x3y＝(28÷7)·x4－3·y2－1＝4xy.
(2)－5a5b3c÷15a4b＝[(－5)÷15]a5－4b3－1c＝－ab2c.
【变式训练】计算．(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
解：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝18x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p66练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.单项式除以单项式的除法法则.
2.运算顺序和符号.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳单项式除以单项式的除法法则及运算顺序和符号．
六、作业布置
《课时训练》p77—p78练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第6课时 多项式除以单项式
教学设计
课题 14.1.4 第6课时 多项式除以单项式 授课人
素养目标 教学目标 1．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用．．2．经历探索整式的除法的运算法则的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的自信心．3．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 掌握多项式除以单项式的除法法则与运用．
教学难点 熟练地进行多项式除以单项式除法的计算．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
张大爷家一块长方形的田地，它的面积是6a2+2ab，宽为2a，聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗？
问题1：长方形的面积公式是什么？
问题2：已知面积和宽，如何求田地的长呢？
问题3：列式并观察算式与以前学习有什么不同.
请同学们观察下列算式，它是我们上节课学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点。
今天我们来一起学习多项式除以单项式。
二、探究新知
探究点 多项式除以单项式
1.出示式子：（am +bm）÷m
讨论：你能尝试计算吗？说说你是怎样算出来的？
思考：除法是乘法的逆运算，求（am +bm）÷m 的值，就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）.你知道这个多项式是什么吗？根据单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式的运算吗？
（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b
总结：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法．
2.（1）出示式子：（18x4－4x2－2x）÷2x
学生分组讨论后解答
（18x4－4x2－2x）÷2x=18x4÷2x-4x2÷2x－2x÷2x=9x3-2x-1
注意：多项式除以单项式用的不是除法分配律！
归纳：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
(2)从上面的计算中，你还能发现什么规律？与同伴交流一下．
①多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项，不要漏项.
②计算时多项式里的各项要包含它前面的符号.
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验.
④计算最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排序.
三、典例精析
例1 (教材第103页例8)计算：(12a3－6a2＋3a)÷3a.
解：(12a3－6a2＋3a)÷3a＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a＝4a2－2a＋1.
【变式训练】1.计算：(1)(x4y＋6x3y2－x2y3)÷3x2y；（2）(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
解：(1)原式＝x2＋2xy－y2.
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
2.已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
解：根据题意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
3.已知2a－b＝6，求代数式[(a2＋b2)＋2b(a－b)－(a－b)2]÷4b的值.
解：原式＝[a2＋b2＋2ab－2b2－a2＋2ab－b2]÷4b＝(－2b2＋4ab)÷4b=—0.5b+a=0.5（2a-b）
当2a－b＝6时，原式＝0.5×6=3.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p68练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
多项式除以单项式的除法法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳多项式除以单项式的除法法则．
六、作业布置
《课时训练》p79—p80练习题
七、教学反思
14.1 整式的乘法
14.2 乘法公式
14．2.1 平方差公式
教学设计
课题 14．2.1 平方差公式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)经历探索平方差公式的过程，理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景．2．(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理．3.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想.4.让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦，在感悟数学美同时激发学习数学的兴趣和信心. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观
教学重点 平方差公式的推导和应用.
教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
王叔叔将一块边长为a米的正方形菜地租给李爷爷。到了第二年，王叔叔对李爷爷说：“老李，我把这块菜地一边减少b米，相邻的另一边增加b米，租金不变继续租给你，你看如何？”李爷爷说：“可以，可以。”
同学们，你们认为李爷爷有没有吃亏？
二、探究新知
探究点 平方差公式
1．根据多项式的乘法法则，计算下列多项式的积．观察、分析题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？(让学生进行小组讨论)
(1)(x＋1)(x－1)＝x2－1；(2) (m＋2)(m－2) ＝ m2－4；(3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－1.
问题1：观察、分析等式左边的两个多项式有什么共同特点？等式右边的结果有什么特点？请用一句话归纳总结出等式的特点．
发现：左边为两个数的和与两个数差的积，右边为这两个数的平方差．
用字母表示：猜想：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
问题2：代数验证：你能通过计算(a＋b)(a－b)，说明猜想的合理性吗？
代数说明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
问题3：几何验证：你能借助图形的面积，说明猜想的正确性吗？
几何说明：(1)请表示出原来的（图1）的面积．
S阴＝a2－b2
(2)将阴影部分剪拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
(a＋b)和(a－b) S长方形= (a＋b)(a－b)
(3)比较前面两个结果，你有什么发现？
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
归纳公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．
问题4：现在，你知道李爷爷有没有吃亏了吧？
2．平方差公式具有什么样的结构特征呢？
请同学们仔细观察公式，试着模仿公式写出几个可以应用平方差公式进行计算的题目，指名汇报．
问题：想一想①(－a＋b)(a＋b)，②(－a－b)(－a＋b)，③(a－b)(－a－b)这些可以用平方差公式进行计算吗？教师引导学生从项的符号上辨析公式的特征并归纳．
结构特征：
相同项 相反项 相同项2 -相反项2
[a与a] [b与b] a2-b2
(1)公式左边是两个二项式相乘，并且两个二项式中有一项(a)是相同的，有一项(b与－b)互为相反数；
(2)公式的右边是乘数中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；
(3)公式中字母可以是具体数字，也可以是多项式或单项式；
(4)对于具有与此相同形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果．
3. 平方差公式的变形
问题：想一想除了常见的平方差公式，还有哪些式子也可以借助平方差公式来计算？
(1)位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
(2)符号变化：(－a－b)(－a＋b)＝(－a)2－b2＝a2－b2．
(3)系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2．
(4)指数变化：(a3+b2)(a3-b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4．
(5)项数变化：(a+b+c)((a+b-c)＝(a+b)2－(c)2＝a2+b2+2ab-c2．
(6)连用变化：(a+b)((a-b)（a2+b2）＝(a2-b2)（a2+b2）＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4．
(7)数字变化：198×202＝(200-2)(200+2)＝(200)2－(2)2＝39996
三、典例精析
例1 (教材第108页例1)运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22
(a ＋b)(a －b)＝ a2 － b2
在(2)中，可以把－x看成a，2y看成b，即
(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2
( a ＋ b )(a － b )＝ a2 － b2
解：(1)(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4.
(2)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.
例2 (教材第108页例2)计算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.
解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1.
方法总结：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10 000－4＝9 996.
【变式训练】1.利用平方差公式简算：(1)20×19；(2)13.2×12.8.
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
2.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p70练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.平方差公式.
2.平方差公式的变形
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳平方差公式及平方差公式的结构特征和变形．
六、作业布置
《课时训练》p81—p82练习题
七、教学反思
14.2 乘法公式
14．2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
教学设计
课题 14.2.2 第1课时 完全平方公式 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景．2．(2022新课标)能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．3．用数学的思维探索完全平方公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力．4．引发和培养学生观察、分析和归纳能力，进一步培养学生的思维条理性和表达能力. 核心素养 抽象能力 运算能力
几何直观
教学重点 完全平方公式的推导和应用.
教学难点 理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
上节课，我们学方差公式，请同学们回忆下平方差公式是怎样的？
教师引导学生复习平方差公式．学生积极举手回答．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．
二、探究新知
探究点 完全平方公式
1.根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么(a＋b)2 应该写成什么样的形式呢？(a＋b)2的运算结果有什么规律？
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(m＋2)2＝________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________； (m－2)2＝________；
学生独立完成计算．教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项，猜测它们的共同特点．
学生活动：分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下：
(1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍．
(2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号．
2.代数验证：利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
所以，对于具有此相同的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
完全平方公式可以看成是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形.
3.几何推导验证：
问题1：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。(如图)
(1)四块面积分别为：a2、ab、ab、b2；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为(a＋b)的大正方形，S＝(a＋b)2；②部分看：四块面积的和，S＝a2＋2ab＋b2．
总结：通过以上探索你发现了什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
问题2：如果将该正方形田地的边长缩减b米，则其边长又为多少？面积呢？通过探索你发现了什么？
根据问题1的推理过程，学生回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
问题3：也可以借助刚刚推导出来的公式， 用“－b”代替公式中的“b”
［a +(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2.
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a + b)2 =a2+2·a ·b + b2
归纳：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，这个公式叫做完全平方公式．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
结构特征：(首 ± 尾) = 首 ± 2×首×尾 +尾
口诀强化记忆：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方.
4.思考并讨论：（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ 为什么？
（a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？
（a-b）2与a2-b2相等吗？为什么？
发现：积的2倍前的符号与前两个数的符号的关系是同号得正，异号得负.
三、典例精析
例1 (教材第110页例3)运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2； (2)(y－)2.
解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2.
(2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2＝y2－y＋.
例2 (教材第110页例4)运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.
解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 000＋400＋4＝10 404.
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10 000－200＋1＝9 801.
【变式训练】1.利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.
方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
2.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p72练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.完全平方公式.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳完全平方公式．
六、作业布置
《课时训练》p83—p84练习题
七、教学反思
14.2 乘法公式
14．2.2 完全平方公式
第2课时 添括号法则
教学设计
课题 14．2.2 第2课时 添括号法则 授课人
素养目标 教学目标 1．使学生掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形，进一步灵活运用乘法公式进行计算．培养学生独立思考，分析及归纳能力.2．经历由去括号到添括号的探索过程，培养学生的逆向思维能力.3．熟练运用添括号法则，渗透类比、转化和整体思想.4．引导学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，逐步培养学生的合作交流意识. 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 添括号法则的推导与应用.
教学难点 掌握添括号法则.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
七年级时，我们学过去括号法则，请同学们根据去括号法则填空：
a＋(b＋c)＝________；a－(b＋c)＝________．
去括号法则内容是什么？学生回答，教师出示内容。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项的符号与原来的符号相反。
总结：去括号，看符号，是“+”，不变号；是“-”，全变号.
如果把左右各式反过来，即交换等式的左右两边，会是怎样呢，这节课我们就来学习添括号法则.
二、探究新知
探究点1 添括号法则
1.问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
2.出示算式，学生计算.
（1）4+5+2=11 4+（5+2）=11 （2）4-5-2=-3 4-（5+2）=-3
4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
① 4+5+2=4+（5+2） ② 4-5-2=4 -（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
添括号其实就是把去括号反过来，由去括号问题引出添括号问题，用到的知识是“等号两边的式子可以互换位置”。
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变.
a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
3.下面我们给下面等式添上括号，并用去括号进行验证.
（1）a+b-c=a+( )；(2) a+b-c=a-( )； (3) a-b+c=a-( )；(4) a-b+c=a+( )
(5) -a-b+c=-a+( )； (6) -a-b+c=-a- ( ) (7) a+b-c+d=a-( )=a+b-( )；
(8) a+b-c+d=a- ( )+d=a+( )+d
解：（1）a+b-c=a+(b-c) ；(2) a+b-c=a-(-b+c) ；(3) a-b+c=a-(b-c)； (4) a-b+c=a+(-b+c)
(5) -a-b+c=-a+(-b+c) ； (8) -a-b+c=-a-(b-c）；（7）a+b-c+d=a-(-b+c-d)=a+b-(c-d)
(8) a+b-c+d=a-(-b+c)+d=a+(b-c)+d
三、典例精析
例 (教材第111页例5)运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
解：（1）(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9.
（2）(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
【变式训练】1.计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.
方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±b)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p74练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
添括号法则.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳添括号法则．
六、作业布置
《课时训练》p85—p86练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14．3.1 提公因式法
教学设计
课题 14．3.1 提公因式法 授课人
素养目标 教学目标 1．了解因式分解的含义及它与整式乘法的区别与联系．2．理解提公因式法的依据和意义．3．(2022新课标)能用提公因式法进行因式分解(指数为正整数)．4．在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 理解因式分解的概念；会用提公因式法分解因式.
教学难点 理解多项式的因式分解与整式乘法的联系和区别.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
把下列多项式写成整式的积的形式：
x2＋x＝x（x+1）； x2－1＝（x+1）（x-1）；ma＋mb＋mc＝m（a+b+c）.
我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？这节课，我们一起来讨论这个问题.
二、探究新知
探究点 提公因式法
1.（1）根据整式的乘法，可知x2＋x＝ x(x＋1) ，x2－1＝(x＋1)(x－1) .
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解．
(2)小组活动，共同探究：因式分解与整式乘法有什么关系？
x2－1(x＋1)(x－1)
(互逆变形)
2.观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；m (2) 4kx-8ky； 2k (3) 5y3+20y2；4y2 (4) a2b-2ab2+ab. ab
思考：找公因式有什么方法呢？
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低次数
3. 提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
你能很快地把下列各式进行因式分解吗？说说你的理由．
① 5a＋5b＋5c＝5(a+b+c) ；② 3x－3＝3（x-1）；③ ab2－a2b＝ab（b-a）．
教师提问，学生共同回答，对于有疑问的地方及时处理．
三、典例精析
例1 (教材第115页例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式．
解：8a3b2＋12ab3c
＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc
＝4ab2(2a2＋3bc)
例2 (教材第115页例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．
解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)．
【变式训练】1.把下列名式分解因式.
(1)2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)
注意：1不能漏掉.
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
2.先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3.
解：4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3)
把 a=-5，x=3 代入 (x+7)(4a2-3) 得 (3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97=970
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
3.计算 5×34+4×34+9×32
解：5×34+4×34+9×32=5×34+4×34+32×32=5×34+4×34+34=34×(5+4+1)=81×10=810
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p76练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.因式分解
2.公因式
3.提公因式法
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳因式分解及提公因式法．
六、作业布置
《课时训练》p87—p88练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
教学设计
课题 14．3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能说出平方差公式的特点，能用平方差公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．2. 初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．3．培养学生的观察、联想能力，会用数学的眼光观察现实世界，进一步了解换元的思想方法.激发探究兴趣，体验学习数学的快乐. 核心素养 抽象能力 运算能力
教学重点 应用平方差公式分解因式.
教学难点 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
请同学们计算下列各式：
(1)(a＋4)(a－4)； (2)(2m＋3n)(2m－3n)．
学生计算出上面的两道题，并指名上台板演．
(1)(a＋4)(a－4)＝a2－42＝a2－16.
(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2.
那多项式a2-b2有什么特点，应该怎样进行因式分解呢，这节课我们一起来学习运用平方差公式分解因式.
二、探究新知
探究点 运用平方差公式分解因式
1.多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到运用平方差公式因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
因式分解的公式法中平方差公式具有如下特点：
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差.
（3）对于平方差公式中的字母a，b，它们可以表示数，也可以表示含字母的整式．
2.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
（1）a2－36； (2)16m2－n2；（3）4x2-9 （4）（x+p)2-（x+q)2
能否用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点，分别从项数、符号、平方项等方面判断.
总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式.
3.运用平方差公式进行分解因式的一般步骤：
（1）先排列，首系数不为负；
（2）然后提取公因式；
（3）再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
（4）不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．
三、典例精析
例1 (教材第116页例3)分解因式：(1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)．
(2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q).
例2 (教材第116页例4)分解因式：(1)x4－y4；(2)a3b－ab.
解：(1)x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．
注意：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(2)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．
【变式训练】1.分解因式：(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.
解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；
(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
2.分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．
方法总结：在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p78练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.运用平方差公式分解因式
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳运用平方差公式分解因式．
六、作业布置
《课时训练》p89—p90练习题
七、教学反思
14.3 因式分解
14．3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
教学设计
课题 14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解 授课人
素养目标 教学目标 1．理解因式分解的完全平方式的特征．2．(2022新课标)能用完全平方公式(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．3．能综合运用提公因式法与公式法分解因式．4．培养逆向思维能力，领会整体、转化思想． 核心素养 抽象能力 运算能力
应用意识
教学重点 理解完全平方公式因式分解，并学会应用.
教学难点 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法.
现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2；完全平方公式：(a±b) 2= a2±2ab+ b2.
这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式.
二、探究新知
探究点 运用完全平方式分解因式
1.多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？它们是完全平方式吗？它们与整式的完全平方公式有什么关系？
分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号为“+”是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+”可“–”，它是那两项幂的底的乘积两倍.
凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的式子叫做 完全平方式 .
2.你能将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式吗？
把乘法公式的等号左右两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 公式法 .
利用 完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解：a2±2ab+b2= （a±b）2 ，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和（或差） 的平方.
归纳公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.将它写成平方形式，便实现了因式分解。
例如 x2 + 6x + 9
↓ ↓ ↘
=(x) 2+2(3)(x)+(3) 2
=(x+3) 2.
4 x2 – 20x + 25
↓ ↓ ↘
=(2x) 2 – 2(2x)(5) + (5) 2
=(2x+5) 2.
3.用完全平方式分解因式：(1)m2－8mn＋16n2； (2)a2－2ab＋b2.
学生活动：从逆向思维的角度入手，很快得到下面的答案．
解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2； (2)a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
归纳公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
如果一个二次三项式的二次项系数为1，要使它成为完全平方式，则需其常数项等于一次项系数一半的平方，即关于x的二次三项式x2＋mx＋n是完全平方式的条件为：()2＝n.
4.运用完全平方式进行因式分解的一般步骤：
一提：优先考虑用提公因式法(公因式可以是数字、单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三分解：一定要分解到每个因式不能再分解为止．
三、典例精析
例1 (教材第118页例5)分解因式：(1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.
解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32＝(4x＋3)2.
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法总结：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
例2 (教材第118页例6)分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.
(3) (a＋b)2－12(a＋b)＋36＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62＝(a＋b－6)2.
方法总结：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36.
【变式训练】利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
2.已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.
方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p80练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.运用完全平方公式分解因式
2.运用完全平方公式分解因式注意事项
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳运用完全平方公式分解因式及注意事项．
六、作业布置
《课时训练》p91—p92练习题
七、教学反思