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2023-2024学年人教版数学七年级上册同步系列
1.4有理数的乘除法
【基础巩固】
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先对进行化简，再求倒数即可．
【详解】解：，的倒数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了化简绝对值和求一个数的倒数，互为倒数的两个数乘积为1．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．0是绝对值最小的数 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
C．任何有理数都有倒数 D．任何有理数都有相反数
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义、有理数和数轴的关系、倒数和相反数的定义逐项判断即可.
【详解】解：A、0是绝对值最小的数，说法正确，不符合题意；
B、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，说法正确，不符合题意；
C、0没有倒数，故本选项的说法错误，符合题意；
D、任何有理数都有相反数，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的相关知识，属于基础题目，熟知有理数的绝对值、倒数和相反数的定义是解题的关键.
3．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法法则求解即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2．任何数与0相乘都得0；3．多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正号；当负因数的个数为奇数个时，积的符号为负号；并把绝对值相乘．掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
4．若，则必有（ ）
A．， B．，
C．， D．，或者，
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴a与b同号，
∴，或者，，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负．
5．下列运算中，结果小于0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减乘运算法则先逐项计算，再由计算结果与0比较逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的加减乘相关运算及比较大小，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
6．已知三个实数a，b，c满足，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据，可得a和b同号，再根据和，即可判断a，b，c的符号．
【详解】解：∵，
∴a和b同号，
又∵和，
∴，，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
7．计算的值为（ ）
A．1 B．36 C．﹣1 D．0
【答案】C
【分析】先去绝对值，再将带分数化成假分数，然后运用乘法结合律进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了去绝对值、乘法结合律等知识点，灵活运用乘法结合律是解答本题的关键．
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a，b在数轴上的位置，得，，然后对四个选项逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，故此选项正确；
B、∵，，
∴，故此选项错误；
C、∵，，
∴，故此选项错误；
D、∵，
∴，
∵，
∴，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、实数加减、乘法的综合应用，熟练掌握离原点越远绝对值越大；异号相加减，取绝对值较大的符号，再相加减；两数相乘，同号为正，异号为负是解此题的关键．
9．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
【答案】A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令，，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
10．如图，数轴上点A和点B分别表示数和，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用的位置，进而得出：，即可分析得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，故选项A错误；
异号，，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
二、填空题
11．计算：________．
【答案】
【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键．
12．的倒数是________．
【答案】
【分析】根据倒数的定义即可完成．
【详解】解：，
∴的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
13．计算：________．
【答案】25
【分析】根据乘法分配律将25提出来之后，再根据有理数的加减运算法则即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：25．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键．
14．若定义一种新运算，规定，则________．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．已知，，且 ，则______．
【答案】或
【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值．
【详解】解：，，且 ，
，；，，
则或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．计算：__________．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
17．有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为________（填“正”或“负”或“零”）
【答案】负
【分析】由数轴判断出，，再确定和符号即可．
【详解】解：由数轴知：，，
∴和
∴，即的符号为负
故答案为：负．
【点睛】本题考查了数轴上两个有理数大小以及有理数的乘法，明确负数乘以正数积小于0是解题的关键．
18．在数5，，2，中任取三个数相乘，其中积最小的是_______．
【答案】
【分析】因为几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，而负数小于一切正数，由于本题负数只有两个，故四个数中取三个数相乘，负因数有1个时，可得到积的最小值．
【详解】由题意知，两个正数与最小的负数的积最小，
即．
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．已知，均不为，请计算：________．
【答案】0或2或
【分析】分别讨论，；，；，；，即可求解．
【详解】解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上所述，或或，
故答案为：0或2或．
【点睛】本题考查有理数的除法，注意分类讨论，解题的关键是找出所有可能的结果，防止遗漏．
20．若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
【答案】20.
【分析】根据题意确定出a，b，c，d的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵四个互不相同的正整数a，b，c，d，
∴（5﹣a）、（5﹣b）、（5﹣c）、（5﹣d）也为四个互不相同的整数，
∵4=（-1）×1×（-2）×2，只有这一种情况
∴可设，5﹣a＝1，5﹣b＝﹣1，5﹣c＝2，5﹣d＝﹣2，
解得：a＝4，b＝6，c＝3，d＝7，
则a+b+c+d＝20，
故答案为：20．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，把4拆成四个不同整数的积是解本题的关键．
三、解答题
21．
【答案】4
【分析】将符号化简，将带分数华为假分数，将除法化为乘法，再约分计算．
【详解】解：
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是正确化简算式，才能正确约分计算．
22．计算
【答案】
【分析】根据有理数混合运算的顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法法则、加法法则和减法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键．
24．用简便算法计算：
【答案】
【分析】将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握乘法法则，是解题的关键．
【能力提升】
25．阅读下列解题过程：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
解答问题：
(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．
(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．
【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正
(2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答；
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知：
解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正，
故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正；
（2）
，
建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
26．阅读并解答后面的问题.
(1)等于吗？请验证；
(2)计算:
【答案】（1）相等，验证：= ，= ；（2）.
【分析】（1）根据阅读内容了解变化的规律，利用规律进行验证；
（2）根据上面的规律变形计算即可.
【详解】（1）相等，验证：= ，= ；
（2）原式=1- + - + - +… —
=1—
= .
【点睛】此题主要考查了阅读理解能力，关键是通过题目的阅读内容确定算式的关系和方法，并利用解题.
27．已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足
(1)判断：x、y、z中有___________个正数；
(2)的值．
【答案】(1)1
(2)0
【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则可判断x、y、z中正数的个数；
（2）先化简绝对值，再算加减即可．
【详解】（1）∵，
∴x、y、z中有1个正数，2个负数．
故答案为：1；
（2）∵x、y、z中有1个正数，2个负数，
∴可设，
∴
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，有理数的加法法则，化简绝对值，判断出x、y、z中有1个正数，2个负数是解答本题的关键．
28．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为120
(1)请求出的中点C对应的数．
(2)点P从点B出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向右运动，当点P、Q重合时，设重合处为数轴上一点D，求点D对应的数是多少？
(3)在（2）的条件下，点P、Q从点D继续按原速原方向运动，同时线段AB带着点P、Q以2个单位/秒的速度向右运动，求第5秒时P、Q两点在数轴上对应的数是多少？
【答案】(1)50
(2)36
(3)66
【分析】（1）由题意可求得线段、及的长度，则可求得的长度，由点A对应的数及的长度，便可求得点C对应的数；
（2）由题意，两点重合时分别运动的距离和等于线段的长度，由路程、速度与时间的关系可求得两点重合时运动的时间，即可求得点D表示的数；
（3）点P与线段的运动方向相反，则它运动5秒后的距离为、点Q运动与线段的运动方向相同，则5秒后的距离为，从而可分别求出它们在数轴上表示的数．
【详解】（1）解：根据题意，点A对应的数为，点B对应的数为120，
则，，，
则，
所以C点对应的数是．
（2）解：根据题意，当点P、Q重合时，则，
（秒），
，
所以点P、Q重合处，点D对应的数为，
（3）解：根据题意，点P运动5秒的路程为，
则点P在数轴上对应的数是；
点Q运动5秒的路程为，
则点Q在数轴上对应的数是；
答：点P、Q在数轴上对应的数分别是和．
【点睛】本题考查了数轴上点的运动，数轴上的点表示的数，有理数的加减运算等知识，关键是（3）小题中点的运动与线段运动是同向还是反向．
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2023-2024学年人教版数学七年级上册同步系列
1.4有理数的乘除法
【基础巩固】
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．0是绝对值最小的数 B．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
C．任何有理数都有倒数 D．任何有理数都有相反数
3．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
4．若，则必有（ ）
A．， B．，
C．， D．，或者，
5．下列运算中，结果小于0的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知三个实数a，b，c满足，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．计算的值为（ ）
A．1 B．36 C．﹣1 D．0
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
10．如图，数轴上点A和点B分别表示数和，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：________．
12．的倒数是________．
13．计算：________．
14．若定义一种新运算，规定，则________．
15．已知，，且 ，则______．
16．计算：__________．
17．有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为________（填“正”或“负”或“零”）
18．在数5，，2，中任取三个数相乘，其中积最小的是_______．
19．已知，均不为，请计算：________．
20．若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为_________
三、解答题
21．
22．计算
23．计算：．
24．用简便算法计算：
【能力提升】
25．阅读下列解题过程：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
解答问题：
(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．
(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．
26．阅读并解答后面的问题.
(1)等于吗？请验证；
(2)计算:
27．已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足
(1)判断：x、y、z中有___________个正数；
(2)的值．
28．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为120
(1)请求出的中点C对应的数．
(2)点P从点B出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向右运动，当点P、Q重合时，设重合处为数轴上一点D，求点D对应的数是多少？
(3)在（2）的条件下，点P、Q从点D继续按原速原方向运动，同时线段AB带着点P、Q以2个单位/秒的速度向右运动，求第5秒时P、Q两点在数轴上对应的数是多少？
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