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1.5 有理数的乘方（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、乘方的概念】
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中，a 叫做底数，n 叫做指数．
【知识点二、乘方的性质】
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数．
2. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
【知识点三、有理数的混合运算】
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
【知识点四、科学记数法】
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法．
【知识点五、近似数的精确位】
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位．
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
【重点题型】
考点1：有理数的乘方运算
例1．等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选D
【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方法则，是解题的关键．
【变式训练1-1】．若的绝对值是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质可求出的值，再根据乘方运算法则即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
∴，
当时，；
当时，；
综上分析可知，．
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值与乘方的综合，掌握绝对值的性质与乘方运算的法则是解题的关键．
【变式训练1-2】．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．
【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意；
B、因为，，所以和相等，故B符合题意．
C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意．
D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式训练1-3】．计算等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先根据有理数乘方法则计算，再根据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数乘方法则和有理数加法法则是解题的关键．
考点2：含乘方的程序流程图
例2．下图为“数值转换机”，问：当，时，输出的值为（ ）
A． B． C． D．109
【答案】B
【分析】观察数值转换机的示意图可得，用表示输出的结果为，再将,代入数值转换机的示意图，计算可得出结果．
【详解】解：由题意得计算过程为，
则当,时，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是弄清楚题图给的计算程序，按照程序进行计算．
【变式训练2-1】．按如图所示的程序运算：当输入的数据为时，则输出的数据是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】把x＝﹣1代入程序中计算，判断结果与0的大小，即可确定出输出结果．
【详解】解：把x＝﹣1代入程序中得：（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0，
把x＝﹣2代入程序中得：（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0，
则输出的数据为4，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练2-2】按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（ ）
A．16 B．26 C．﹣16 D．﹣26
【答案】D
【分析】将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可．
【详解】解：当x＝2时，10﹣x2＝10﹣4＝6＞0，不输出；
当x＝6时，10﹣x2＝10﹣36＝﹣26＜0，符合题意，输出结果，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关键．
【变式训练2-3】．根据如图所示的程序计算：若输入的x的值为-1，则输出的y的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据所在范围确定利用哪个函数解析式计算，然后代入求值即可．
【详解】解：当x=-1时，y=x2=（-1）2=1，
故选B．
【点睛】本题考查了函数求值，正确读懂程序图，确定正确的算式是关键．
考点3：有理数含乘方的混合运算
例3．计算：
【答案】
【分析】先算乘方，再算乘除，最后计算加减法．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序．
【变式训练3-1】．计算 ．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
【变式训练3-2】．计算：．
【答案】
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算即可得解；
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算顺序是：先乘方，再乘除，后加减；同级运算，从左到右，有括号，先算括号里的．
【变式训练3-3】．．
【答案】
【分析】先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解题的关键是注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
考点4：科学计数法
例4．已知水星的半径约为2440000米，该数据用科学记数法表为___米．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正数，当原数绝对值时，为负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定和的值．
【变式训练4-1】．目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共余册．数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【分析】根据题意用科学记数法表示即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
【变式训练4-2】．年月日，我国国产大飞机商业首飞成功，成为中国人的骄傲，这是民航一次载入历史的飞行，飞机最大起飞重量千克，用科学记数法表示为______．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解答本题的关键是要正确确定的值以及的值．
【变式训练4-3】．截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据此形式表示即可．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．
考点5：近似数
例5．近似数精确到______位．
【答案】千
【分析】利用科学记数法的定义判断数字所在的位是哪一位即可．
【详解】解：近似数是精确到千位，
故答案为：千．
【点睛】本题考查了近似数，科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法定义．
【变式训练5-1】．用四舍五入法对3.1415取近似值________（精确到千分位）．
【答案】3.142
【分析】根据近似数可直接进行求解．
【详解】解：由四舍五入法对3.1415取近似数，精确到千分位为3.142；
故答案为：3.142．
【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握求一个数的近似数是解题的关键．
【变式训练5-2】．用四舍五入法取近似值： ____________（精确到百分位）；
【答案】
【分析】把千分位上的数进行四舍五入即可解答．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求一个数取近似数，熟练掌握要求精确到某一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数；该近似数最后一位数是由“四舍五入”得到的数，最后一位数所在的数位即是精确到的数位是解题的关键．
【变式训练5-3】．把0.2395精确到0.01得 _____．
【答案】0.24
【分析】根据近似数可进行求解．
【详解】解：把0.2395精确到0.01得0.24；
故答案为0.24．
【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键．
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1.5 有理数的乘方（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、乘方的概念】
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中，a 叫做底数，n 叫做指数．
【知识点二、乘方的性质】
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数．
2. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
【知识点三、有理数的混合运算】
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
【知识点四、科学记数法】
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法．
【知识点五、近似数的精确位】
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位．
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
【重点题型】
考点1：有理数的乘方运算
例1．等于（ ）
A． B． C．4 D．
【变式训练1-1】．若的绝对值是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式训练1-3】．计算等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
考点2：含乘方的程序流程图
例2．下图为“数值转换机”，问：当，时，输出的值为（ ）
A． B． C． D．109
【变式训练2-1】．按如图所示的程序运算：当输入的数据为时，则输出的数据是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练2-2】按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（ ）
A．16 B．26 C．﹣16 D．﹣26
【变式训练2-3】．根据如图所示的程序计算：若输入的x的值为-1，则输出的y的值为（ ）
A． B．1 C． D．
考点3：有理数含乘方的混合运算
例3．计算：
【变式训练3-1】．计算 ．
【变式训练3-2】．计算：．
【变式训练3-3】．．
考点4：科学计数法
例4．已知水星的半径约为2440000米，该数据用科学记数法表为___米．
【变式训练4-1】．目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共余册．数据用科学记数法表示为________．
【变式训练4-2】．年月日，我国国产大飞机商业首飞成功，成为中国人的骄傲，这是民航一次载入历史的飞行，飞机最大起飞重量千克，用科学记数法表示为______．
【变式训练4-3】．截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为___________．
考点5：近似数
例5．近似数精确到______位．
【变式训练5-1】．用四舍五入法对3.1415取近似值________（精确到千分位）．
【变式训练5-2】．用四舍五入法取近似值： ____________（精确到百分位）；
【变式训练5-3】．把0.2395精确到0.01得 _____．
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