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2023-2024学年人教版数学七年级上册同步系列
1.5有理数的乘方
【基础巩固】
一、单选题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．2与 C．2与 D．与
2．据2023年5月6日《天津日报》报道，第133届中国进出口商品交易会（广交会）天津交易团累计实现意向成交美元．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．在，0，，中正数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列式子中，与算式的结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．与（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．它们的积为16
7．若的绝对值是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
8．定义新运算：，例如，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
9．下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
10．下列说法：①不一定是负数；②，则；③；④．其中正确的共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．对于近似数，它的有效数字有___________个．
12．计算：______．
13．计算：___________．
14．如果，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值是______．
15．计算：______．
16．若，则yx的值是________．
17．计算：______．
18．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，则（a＋b）2020＋（cd）2021＋（）2022的值为________．
19．观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 _______．
20．若，则______．
三、解答题
21．计算 ．
22．．
23．计算：．
24．计算：．
【能力提升】
25．老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
26．（1）计算下面两组算式：
①与；
②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
27．观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
28．阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；
（3）请直接写出的个位数字．
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2023-2024学年人教版数学七年级上册同步系列
1.5有理数的乘方
【基础巩固】
一、单选题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．2与 C．2与 D．与
【答案】A
【分析】只有符号不同两个数互为相反数，化简判断．
【详解】A. ，符合相反数的定义，本选项符合题意；
B. 2与，不合题意；
C. ，不合题意；
D. ，，不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查相反数的定义、乘方运算、绝对值的化简，理解相关定义是解题的关键．
2．据2023年5月6日《天津日报》报道，第133届中国进出口商品交易会（广交会）天津交易团累计实现意向成交美元．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．在，0，，中正数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题需先把各式进行化简，得出正确得数，再根据正数的定义进行选择即可求出答案．
【详解】解：∵，
0既不是正数也不是负数，
，
，
∴其中正数有：，共1个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，符号化简，绝对值，有理数乘方，在解题时要根据正数和负数的定义来进行判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断是本题的关键．
4．下列式子中，与算式的结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加法，乘方法则，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．计算等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先根据有理数乘方法则计算，再根据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数乘方法则和有理数加法法则是解题的关键．
6．与（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．它们的积为16
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方法则，算出与的值，即可得到结果．
【详解】解：，，，，
∴与互为相反数．
∴选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方法则，是解题的关键．
7．若的绝对值是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质可求出的值，再根据乘方运算法则即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
∴，
当时，；
当时，；
综上分析可知，．
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值与乘方的综合，掌握绝对值的性质与乘方运算的法则是解题的关键．
8．定义新运算：，例如，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．下列各对数中，不相等的一对数是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方和绝对值的概念，逐一计算即可．
【详解】解：，，，故A不符合题意；
，，，故B不符合题意；
，，，故C符合题意；
，，，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方和绝对值的概念，熟练掌握计算法则是解题的关键．
10．下列说法：①不一定是负数；②，则；③；④．其中正确的共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据正负数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方，相反数的意义等知识点分别判断即可．
【详解】解：当为正数时，为负数；
当为负数时，是正数；
当为零时，为零，
故①正确；
∵，
∴，
故②错误；
当时，，，
∴不一定等于，
故③错误；
∵的相反数为，
∴和也为相反数，
∴，
故④正确；
故正确的结论有：①④，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方，相反数的意义，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键．
二、填空题
11．对于近似数，它的有效数字有___________个．
【答案】4/四
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字．
【详解】近似数的有效数字有6、1、8、0四个．
故答案是：4．
【点睛】考查了有效数字的概念，解题关键是理解有效数字的定义：从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字．
12．计算：______．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟知有理数乘方的运算法则是解题关键．
13．计算：___________．
【答案】
【分析】根据有理数运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
14．如果，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值是______．
【答案】1
【分析】由题意知，再代入计算即可．
【详解】解：由题意知，
∴
，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
15．计算：______．
【答案】
【分析】利用乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘方的意义，解题的关键是掌握的奇次方是，偶次方为1．
16．若，则yx的值是________．
【答案】
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
故答案为-8
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．计算：______．
【答案】17
【分析】先算乘方、再算乘除法、最后算加减法即可．
【详解】解：
=
=
=
=17
故答案为：17
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
18．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，则（a＋b）2020＋（cd）2021＋（）2022的值为________．
【答案】2
【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数可得a+b＝0、cd＝1，再结合b≠0可得a=-b即=-1，然后将它们代入计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，
∴a+b＝0，cd＝1，a=-b，即=-1
∴（a＋b）2020＋（cd）2021＋（）2022
＝02020＋12021＋（-1）2022
＝0+1+1
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了理数的混合运算、相反数、倒数等知识点，掌握相关定义是解答本题的关键．
19．观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 _______．
【答案】-128
【分析】第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3， ，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
【详解】解：∵观察数列中的各数可以发现：
第一个数为﹣2＝（﹣2）1，
第二个数为4＝（﹣2）2，
第三个数﹣8＝（﹣2）3，
，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
故答案为：﹣128．
【点睛】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解答．
20．若，则______．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，平方数的非负性，先计算出的值，再代入求值即可．
【详解】解：，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查含有乘方，绝对值的有理数的运算，掌握绝对值的性质，平方数的性质，乘方的计算方法是解题的关键．
三、解答题
21．计算 ．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
22．．
【答案】
【分析】先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解题的关键是注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
23．计算：．
【答案】
【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
24．计算：．
【答案】
【分析】先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【能力提升】
25．老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
【答案】(1)佳佳，昊昊
(2)见解析
【分析】（1）根据，的运算，即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数的运算即可求解．
【详解】（1）解：根据，可知佳佳算错了，根据，可知昊昊算错了，
故答案为：佳佳，昊昊．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的运算，掌握乘方的奇负偶正的运算方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
26．（1）计算下面两组算式：
①与；
②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
；
②，
；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
27．观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【详解】解：设①，
则②，
由②①，得．
∴，
即原式．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用．
28．阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；
（3）请直接写出的个位数字．
【答案】（1）2；（2）3；（3）1；
【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出；
（2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即可求得；
（3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得；
【详解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…
发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵799＝74×24+3
∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵899＝84×24+3
∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2
（2）由于2 =2，2 =4，2 =8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2 的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数字是3, 82019的个位数字是2
∴22019＋72019＋82019的个位数字是3；
(3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4；
22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4；
32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9；
∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1．
【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力．
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