2023-2024 学年度第一学期高二年级开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．
2．
3．
4．
5．
6．
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}
7．
8．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 7 分，共 28 分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 7 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．下列四个命题中 , 是真命题的是
10．若a,b∈R, i为虚数单位,且（a+i）i=b+i,则( )
A. a=1 B. a= -1 C. b=1 D. b=-1
11．下图是某市 6月 1日至 14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于 100表示
空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，则下列说法正确的是（ ）
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}
A. 该市 14天空气质量指数的平均值大于 100
B. 该市 14天空气质量指数的中位数为 78.5
C. 该市 14天空气质量指数的 30百分位数为 55
D. 计算连续 3天空气质量指数的方差，其中 6日到 8日的方差最大
12．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ）
π
A．两条异面直线D1C和 BC1所成的角为 4
π
B．直线 BC与平面 ABC1D1所成的角等于 4
C 3．点 D到面 ACD1的距离为
3
D．三棱柱 AA1D1 BB
3
1C1外接球半径为
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 7 分，共 28 分。
13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为 72，120，160，为了解该医院医
生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人
数为 20，则抽取老年医生的人数为______．
14．以下数据为参加数学竞赛决赛的 15人的成绩：（单位：分）78，70，72，85，88，79，
80，81，94，81，56，98，83，90，91．则这 15人成绩的第 80百分位数是_________
15．
16．如图，某登山队在山脚 A处测得山顶 B的仰角为 45°，沿倾斜角
为 30°的斜坡前进 2千米后到达 D处，又测得山顶 B的仰角为 75°，则
山的高度 BC为___________千米.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}
四、解答题：本题共 3 小题，共 38 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12分）
已知平面向量 a (1, 2),b ( 1, 1)，．
（1）求 2a b 的值；
（2）若向量 a λb与2a b夹角为 ，求实数λ的值．4
18．（本小题满分 12分）
19．（本小题满分 14分）
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}2023-2024 学年度第一学期高二年级开学考试
数学试卷答案
一、单项选择题： 1.B. 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C
二、多项选择题： 9.BC 10．AD 11．BCD 12．BCD
三、填空题： 13．9 14．90.5或181 15．M l 16．2
2
四、解答题：
r
17.（1）因为 a 1, 2 ，b 1, 1 ，
r r
所以 2a b 2 1, 2 1, 1 3, 3 ，
r r
2a b 32 3 2所以 3 2 ；
（2）解： a λb 1, 2 λ 1, 1 1 λ, 2 λ ，
所以 a λb 1 λ 2 2 λ 2 ， a b 2a b 3 1 3 2 9，
又向量a λb 与2a b 夹角为 ，4
所以 a b 2a b a b 2a b cos ，4
1 λ 2 2 λ 2 3 2 2即 9，
2
2 2
即 1 λ 2 λ 9，解得 1或 2 .
答案第 1页，共 2页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}
18
19、.
答案第 2页，共 2页
{#{QQABCQiEggAAAAJAAQgCEQHwCAOQkBEACIoOxEAIsAIAgQFABCA=}#}
