1.5 全称量词与存在量词 课件（31张PPT）

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1.5 全称量词与存在量词
人教A版2019必修第一册
学习目标
1、理解全称量词和存在量词的含义；
2、判断全称量词命题和存在量词命题的真假；
3、正确地对含有一个量词的命题进行否定。
情景导入
我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高二年级；
（2）至少有30名学生来自高二(1)班；
（3）每一个学生都有固定表演路线.
结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词.
情景导入
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．
思考探究
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1) x>3； (2) 2x+1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3； (4) 对任意一个x∈Z，2x+1是整数．
语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．
(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.
新知讲解
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)” ．
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
含有变量x的语句
典例分析
【例1】判断下列全称量词命题的真假．
(1)所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|+1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．
∵2是素数,但不是奇数, ∴命题(1)是假命题;
∵|x|≥0，∴|x|+≥1，∴命题(2)是真命题；
∵ 是无理数,但 是有理数,∴命题(3)是假命题;
思考探究
下列语句是命题吗 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R,使2x +1=3； (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除．
容易判断，语句（1）（2）不是命题．
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
新知讲解
存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“某一个”等
存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做全称量词命题．
典例分析
【例2】判断下列存在量词命题的真假.
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
∵由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此
不存在两个相交的直线垂直于同一条直线,∴命题(2)是假命题;
∵△=-8<0,∴一元二次方程x2+2x+3=0无实根,∴命题(1)是假命题;
∵菱形是平行四边形，∴命题(3)是真命题.
即时训练
【练习1】将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.
x0<0，ax0 ＋2x0＋1＝0(a<0)．
x∈R，x2≥0．
即时训练
【练习2】判断下列量词命题的真假．
(1)末位是零的整数，可以被5整除．
(2) x∈R，有|x＋1|>1.
(3) x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以(1)是真命题.
当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以(2)为假命题.
x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)为真命题．
如存在整数3只有正因数1和3，所以(4)为真命题．
新知讲解
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．
例如：
“56是7的倍数”的否定是：“56不是7的倍数”；
“空集是集合A={1，2，3}的真子集”的否定是：“空集不是集合A={1，2，3}的真子集”．
注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
思考探究
（3）的否定： x∈R，x+|x|<0．
全称量词命题的否定变成了存在量词命题.
（1）的否定：“存在一个矩形不是平行四边形”；
（2）的否定：“存在一个素数不是奇数”；
全称量词命题的否定
写出下列命题的否定
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；
（3） x∈R，x+|x|≥0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
新知讲解
全称量词命题：
的否定为：
即“ x∈M， p(x)．”
对任意的x∈M，p(x)成立．
存在x∈M，p(x)不成立，即存在x∈M，p(x)的对立面成立．
“ x∈M，p(x)．”
p(x)
全称量词命题的否定：
全称量词命题的否定
典例分析
【例3】写出下列全称量词命题的否定．
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
全称量词命题的否定
思考探究
写出下列命题的否定
（1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形；
（3） x∈R，x2－2x+3=0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
（3）的否定： x∈R，x2－2x+3≠0．
存在量词命题的否定变成了全称量词命题.
（1）的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”；
（2）的否定：“每一个平行四边形都不是菱形”；
存在量词命题的否定
新知讲解
存在量词命题的否定：
存在量词命题：
的否定为：
即“ x∈M， p(x)．”
存在x∈M，p(x)成立．
不存在x∈M，p(x)成立，即任意x∈M，p(x)不成立
任意x∈M，p(x)的对立面 p(x)成立．
“ x∈M，p(x)．”
存在量词命题的否定
典例分析
存在量词命题的否定
【例4】写出下列全称量词命题的否定.
(1) x∈R，x+2≤0；
x∈R，x+2＞0；
(2)有的三角形是等边三角形；
所有的三角形都不是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
任意一个偶数都不是素数.
典例分析
【例5】写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2) x∈R，x2－x+1=0；
命题的否定： x∈R，x2-x+1≠0.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
因为对于任意x∈R，x2-x+1= ,所以这是一个真命题.
命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
典例分析
【例6】已知 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可.
所以m的取值范围是{m|m<－5}.
典例分析
【例7】已知命题：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”为真命题，求实数m的取值范围.
【解析】令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以m的取值范围是{m|m<3}.
归纳小结
求解含有量词的命题中参数范围的策略
（1）对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或a即a>ymax(或a（2）对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或a即a>ymin(或a当堂检测
解析:由于方程x2-3x+2=0只对x=2和x=1成立,不能对 x∈R成立,故A不对,B中不存在x∈R满足方程,D中x2-2x+1>0仅对x≠1时成立,故选C.
1、下列命题是真命题的是(　 　)
(A) x∈R,x2-3x+2=0
(B) x∈R,x2+1=0
(C) x∈Q,|x|+x≥0
(D) x∈R,4x2>2x-1+3x2
C
当堂检测
C
解析:由题意得原命题的否定为 x∈R,x2+x+1≥0.故选C.
当堂检测
答案:{a|-1当堂检测
4、(1)已知命题“任意1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
因为“任意1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
所以x2－m≥0，即m≤x2对任意的1≤x≤2恒成立，
【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，
所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1．
所以m≤1，
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}．
当堂检测
(2)已知命题“存在1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，
所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4．
因为“存在1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
所以x2－m≥0，即m≤x2在1≤x≤2有解，
所以m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|m≤4}．
课堂小结
全称量词命题
全称量词
定义
存在量词
存在量词命题
表示
命题的否定
含有量词的命题的否定
应用
谢谢
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